Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Калужский филиал

С.С. Панаиотти, А.И. Савельев

ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ ЖУКОВСКОГО

Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов направления
657400 — Гидравлическая, вакуумная и компрессорная техника
специальности 121100 — Гидромашины, гидроприводы
и гидропневмоавтоматика

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 532.5

ББК 22.253

П 16

Рецензент:

докт. техн. наук, профессор МГИУ
А.А. Шейпак

Утверждено методической комиссией КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана

(протокол № 7 от 5.05.2005 г.)

П 16 Панаиотти С.С., Савельев А.И. Обтекание профиля Жуковского: Учебное пособие. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 16 с., ил. 2.

В пособии описана программа для расчета обтекания телесных профилей Жуковского – изогнутого и симметричного, а также тонких профилей – пластины и дужки окружности.

Пособие предназначено для студентов специальности «Гидромашины, гидроприводы и гидропневмоавтоматика», изучающих механику жидкости и газа.

Ил. 2. Табл. 2. Библиогр. 3 назв.

УДК 532.5

ББК 22.253

 Панаиотти С.С.,
Савельев А.И., 2006

 Издательство МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2006

ВВЕДЕНИЕ

Расчеты обтекания крыловых профилей обычно основаны на предположении, что течение за пределами пограничного слоя потенциальное, а толщиной слоя ввиду его малости можно пренебречь. Такая схематизация течения вязкой жидкости дает распределения скоростей и давлений, весьма близкие к экспериментальным. Приемлемая точность получается и для приложенных к профилю сил и моментов. Поэтому исследование обтекания профилей потоком идеальной жидкости представляет практический интерес. Сравнительно просто исследовать профили, которые получаются отображением окружности с использованием функции Жуковского. Изучение обтекания таких теоретических профилей Жуковского позволяет судить о влиянии основных параметров, определяющих их форму, на гидродинамические характеристики лопастей, которые применяются на практике. Зависимости коэффициента подъемной силы от угла атаки с поправкой на влияние решетки можно использовать для приближенных расчетов осевых турбомашин. Предельной формой профилей Жуковского являются бесконечно тонкие профили – пластина и дужка. Тонкие профили нашли применение, например, в центробежных и осевых насосах с высокими кавитационными качествами и их исследование также интересно с практической точки зрения.

Описанная ниже программа позволяет рассчитать обтекание телесных профилей Жуковского и как частный случай – тонких профилей. С ее помощью можно исследовать влияние на гидродинамические характеристики профиля угла атаки, его изогнутости, толщины и других кинематических и геометрических параметров.

1. ОБТЕКАНИЕ ИЗОГНУТОГО ПРОФИЛЯ ЖУКОВСКОГО

Проведем в плоскости окружность с центром в точке и радиусом . Окружность проходит через точку , как показано на рис. 1.1. Функция Жуковского

(1)

отображает внешность круга на внешность дужки окружности в плоскости . Проведем через ту же точку еще одну окружность C с центром в точке О и радиусом . Так как окружность С целиком охватывает окружность , то функция (1) отображает внешность окружности С на внешность контура L, охватывающего дужку . В точке В верхняя и нижняя части контура касаются дужки, образуя острие с нулевым внутренним углом. Полученный таким образом контур называется изогнутым профилем Жуковского, а дужка служит его «скелетом». Чем больше расстояние  между центрами окружностей С и , тем больше профиль L отличается от дужки и тем он толще. С увеличением параметра h увеличиваются изогнутость дужки 2h и ее кривизна. Следовательно, параметр характеризует толщину профиля, а параметр h – его изогнутость. Если далее отобразить окружность С на плоскость так, чтобы точка B схода потока находилась на действительной оси, то задача обтекания профиля однородным потенциальным потоком с комплексной скоростью на бесконечности сведется к известному циркуляционному обтеканию цилиндра радиусом R+ .

Произвольная точка окружности имеет декартовы координаты и полярные координаты , r. Полярный угол той же точки в системе координат равен . Положение точки на окружности в плоскости будем задавать углом .

1

Рис. 1.1. Изогнутый профиль Жуковского

Установим зависимость радиуса r и угла  от угла . Очевидно, что

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

. (7)

Уравнение окружности C с центром в точке О и радиусом

(8)

запишем как

.

Уравнение луча

. (9)

Решая эти уравнения совместно, получим координату точки пересечения обоих линий. Эта координата является корнем квадратного уравнения

,

где , (10)

, (11)

. (12)

Обозначим

. (13)

Тогда и в зависимости от угла 

(14)

Радиус

, (15)

а угол

, (16)

причем выбор соответствующей ветви функции арктангенса в зависимости от ω предусмотрен программой, составленной для ПЭВМ.

Координаты точек профиля

, (17)

. (18)

Длина хорды профиля

, (19)

где введено обозначение .

В соответствии с рис. 1.1 относительная изогнутость профиля

. (20)

Циркуляция вокруг профиля

. (21)

Циркуляция и подъемная сила будут равны нулю, если набегающий поток направить под углом

. (22)

Подъемная сила (на единицу размаха профиля)

, (23)

а ее коэффициент

. (24)

Декартовы координаты фокуса  f  профиля

(25)

Момент сил давления потока относительно фокуса (на единицу размаха профиля )

, (26)

где коэффициент момента

. (27)

Модуль скорости на профиле в отношении к модулю скорости потока на бесконечности

, (28)

причем в точке В схода потока с профиля

. (29)

Коэффициент давления

. (30)

2. ПРОГРАММА «ПРОФИЛЬ ЖУКОВСКОГО»

Программа написана и функционирует в среде офисного приложения Microsoft Excel 97 и выше. В табл. 2.1 приведена распечатка результатов расчета обтекания профиля на ПЭВМ. В программу вводятся длина , параметры и , характеризующие изогнутость и толщину профиля, соответственно, модуль скорости потока на бесконечности , угол атаки и плотность жидкости .

ПЭВМ задает положение точки на окружности углом и вычисляет координаты x, y соответствующей точки плоскости z, относительную скорость и коэффициент давления . Кроме того, эти величины вычисляются и в точке A разветвления потока, а также рассчитываются l, Г, , , , и .

Данные вводятся в соответствующие светлые ячейки-окна «поверх» чисел, имеющихся в них. Выделенные серым цветом ячейки содержат величины, рассчитанные ПЭВМ, и защищены от ввода. Чтобы ввести число или текст, следует:

1. Выделить требуемую ячейку, щелкнув по ней левой клавишей мыши.

2. Клавишей <Num Lock> включить цифровую клавиатуру и набрать число.

3. Подтвердить ввод, нажав клавишу <Enter>, или щелкнув мышью на другой ячейке, или покинув ячейку с помощью клавиши управления курсором.

По данным табл. 2.1 студент строит контур профиля, наносит на чертеж фокус профиля и указывает направления подъемной силы и момента (рис. 2.1). Кроме того, строятся распределения скоростей и давлений. Эти построения выполняются вручную на листе миллиметровки или с помощью ПЭВМ по программам Microsoft Excel, MathCAD и др.

Таблица 2.1. Расчет обтекания профиля Жуковского

Р
ис. 2.1. Изогнутый профиль Жуковского (а), распределение скоростей (б) и давлений (в):

1 – верхняя сторона профиля; 2 – нижняя сторона профиля

Домашнее задание предусматривает выполнение ручного расчета на микрокалькуляторе (или на ПЭВМ) для одной контрольной точки (табл. 2.2). Рекомендуется выбрать ω=120…140. Если x, y, , в контрольной точке вычислены с относительными погрешностями не более 1 %, то ПЭВМ отображает на экране монитора и позволяет напечатать табл. 2.1. Если значения величин в контрольной точке вычислены неверно, то ПЭВМ указывает, где допущена ошибка. В этом случае ручной расчет следует повторить.

Таблица 2.2. Расчеты для контрольной точки при ,

№ п/п	Наименование величины	Обозн.	Фор-мула	Значение	Размер-ность
1	Угол		(2)	8,531	градус
2	Радиус окружности	R	(3)	30,336	мм
3	Параметр изогнутости	h	(4)	4,500	мм
4	Параметр толщины		(5)	3,034	мм
5	Горизонт. координата	1O	(6)	-3,000	мм
6	Вертикальн. координата	1O	(7)	4,950	мм
7	Радиус	r*	(8)	33,369	мм
8	Вертикальн. координата	1	(9)	24,938	мм
9	Параметр	A	(10)	1,704
10	Параметр	B	(11)	-14,307	мм
11	Параметр	C	(12)	-1080,001	мм2
12	Параметр	D	(13)	86,985
13	Горизонт. координата	1	(14)	-29,720	мм
14	Радиус	r	(15)	38,797	мм
15	Угол		(16)	151,734	градус
16	Координата профиля	x	(17)	-47,491	мм
17	Координата профиля	y	(18)	10,027	мм
18	Относительная скорость		(28)	1,679
19	Коэффициент давления	p	(30)	-1,821

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Геометрические параметры профиля: длина хорды, средняя линия, изогнутость. Теорема Жуковского о подъемной силе профиля.

2. Механизм возникновения циркуляции и условие Чаплыгина - Жуковского. Формулы подобия для подъемной силы и силы сопротивления. Свойства сил на профиле.

3. Указать положение критических точек на цилиндре при различных значениях наложенной циркуляции.

4. Функция Жуковского. Отображения окружностей, осуществляемые этой функцией.

5. Вывести формулы координат точек тонкой пластины, распределения скоростей и давлений, циркуляции, подъемной силы и момента как частный случай соответствующих формул для изогнутого профиля Жуковского.

6. То же для дужки.

7. То же для симметричного профиля Жуковского.

8. Аэродинамическая хорда профиля. Сравнить коэффициенты подъемной силы профиля Жуковского и его «скелета» (дужки).

9. Указать угол атаки, при котором подъемная сила равна нулю для пластины, дужки, симметричного и изогнутого профилей Жуковского.

10. Коэффициент давления. Чему равен этот коэффициент в точках разветвления потока, максимума скорости и схода потока?

11. Предположим, что кавитация на профиле возникнет при условии равенства минимального давления давлению на насыщенного пара жидкости. Доказать, что число начальной кавитации равно минимальному коэффициенту давления, взятому с обратным знаком.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. – М.: Физматгиз, 1963. – 583 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – 2-е изд. – М.: Наука, 1979. – 536 с.

3. Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика: Учеб. для вузов / Под ред. Д.Н. Попова. 2-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 384 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3