112089 (Векторные многоугольники в физических задачах), страница 2

. (2.1 1)

Соответствующий (2.1 1) многоугольник (треугольник) перемещений представлен на рис.1. Изменение скорости тела

; (2.1 2)

этому выражению соответствует треугольник скоростей (рис.2).

Если тело движется с постоянным по величине и направлению ускорением , то выражение для скорости в любой момент t времени имеет вид:

; (2.1 3)

где при t = 0. В общем случае направления векторов начальной скорости и ускорения могут не совпадать. Треугольник скоростей, соответствующий выражению (2.1 3), приведен на рис.3. Вектор перемещения при этом определяется следующим образом:

. (2.1 4)

Рисунок 1. Рисунок 2. Рисунок 3.

Векторные треугольники перемещений представлены на рис.4 - 6.

Рисунок 4. Рисунок 5. Рисунок 6.

Наиболее эффективно применение векторного способа, основанного на построении векторных треугольников скоростей и перемещений, в тех случаях, когда известны направления векторов ускорения и одной из скоростей (например, начальной). Это относится, в частности, к задачам о движении тепа под действием сипы тяжести.

При движении двух тел (материальных точек), зная их перемещения и относительно некоторой системы отсчета, можно вычислить перемещение второго тепа относительно первого:

. (2.1 5)

Разность скоростей теп (относительная скорость) определяется при этом выражением:

, (2.1 6)

соответствующим закону сложения скоростей Галилея:

, (2.1 7)

где и v₂ - скорости первого и второго теп в неподвижной системе отсчета ("неподвижность" системы относительна), - скорость второго тела относительно первого. Векторные треугольник и параллелограммы скоростей, соответствующие формулам (2.1 6) и (2.1 7), представлены на рисунке 7.

а) б) в)

Рисунок 7.

Заметим, что в задачах об одновременном движении двух или нескольких тел целесообразно, как правило, связывать систему отсчета с одним из этих тел и использовать понятия относительных скорости и перемещения.

2.2 Векторные многоугольники сил в задачах

Основное уравнение динамики материальной точки является математическим выражением второго закона Ньютона и имеет вид:

, (2.2.1)

где - масса материальной точки, - ее ускорение, - действующая на материальную точку сила (или равнодействующая нескольких сил, определяемая их геометрической суммой). Таким образом, при наличии нескольких складываемых сил можно построить их векторный многоугольник. При этом ускорение равно нулю, если равнодействующая сила равна нулю.

2.3 Векторные многоугольники импульсов в задачах

Как известно, одна из форм второго закона Ньютона имеет вид:

(2.3.1)

где - импульс тепа (материальной точки), - его изменение за время - средняя за время сипа, действующая на тело. Формула (2.3.1) представляет собой математическое выражение так называемой теоремы об изменении импульса: изменение импульса тепа равно импульсу средней сипы, приложенной к телу.

Аналогичные формула и теорема имеют место и для системы теп, но в этом случае - суммарный импульс тел системы, - средняя за время геометрическая сумма внешних сил, действующих на тепа системы (так называемый главный вектор внешних сил). При импульс тепа (или системы тел) сохраняется: , .

2.4 Векторные диаграммы импульсов в задачах о столкновениях частиц

Остановимся на механическом описании процессов неупругого и упругого соударений, имеющем прикладное значение в разных разделах физики. Рассмотрим сначала "самопроизвольный" (без воздействия внешних сил) распад частицы на две составные части - на две частицы, движущиеся после распада независимо друг от друга. Наиболее просто процесс выглядит в системе отсчета, в которой частица до распада покоилась; в этой системе будет покоиться центр масс двух образовавшихся после распада частиц. Назовем эту систему отсчета Ц-системой. По закону сохранения импульса сумма импульсов обеих образовавшихся после распада частиц в Ц-системе равна нулю, т.е. импульсы частиц равны по модулю и направлены в противоположные стороны Модуль импульса каждой частицы определяется из закона сохранения энергии:

(2.4 1)

где и - массы образовавшихся частиц, и - их внутренние энергии, - внутренняя энергия исходной частицы. Тогда энергия распада

. (2.4 2)

Распад возможен при ε>0. Из (2.4 1) и (2.4 2) находим:

(2.4 3)

где - приведенная масса образовавшихся частиц. Скорости частиц после распада в Ц-системе: и .

Перейдем к системе отсчета, в которой первичная частица движется до распада со скоростью . Эту систему отсчета обычно называют лабораторной системой (JI-системой). Пусть скорость одной из частиц после распада в JI-системе равна , а в Ц-системе равна . Тогда

или ; (2.4 4), , (2.4 5)

где - угол выпета частицы по отношению к направлению скорости . Зависимость скорости распадной частицы от направления ее вылета в JI-системе может быть представлена с помощью диаграмм (рисунок 8).

A А

О О

Рисунок 8.

Из рисунка 8 видно, что при частица может вылететь под любым углом ; при - только вперед под углом, где

. (2.4 6)

Легко установить связь между углами вылета в JI-системе и в Ц-системе:

, (2.4 7)

причем если при каждому значению соответствует одно значение , то при каждому значению соответствует два значения (за исключением случая ).

Перейдем к изучению столкновений частиц. Задача о неупругом столкновении двух частиц обратна задаче о распаде частицы на две, рассмотренной выше. В Ц-системе справедливо выражение (2.4 1), а величина в этом случае равна приращению внутренней энергии составной частицы, образовавшейся в результате неупругого столкновения.

Рассмотрим задачу об упругом столкновении двух частиц, при котором не изменяется их внутреннее состояние. Как известно, в JI-системе скорость центра масс двух частиц с массами и скоростями и определяется выражением:

. (2.4 8)

Скорости частиц до столкновения в Ц-системе связаны с их скоростями в JI-системе известными соотношениями

, , (2.4 9)

где . В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц в Ц-системе остаются после столкновения равными по модулю и направленными в противоположные стороны, в силу закона сохранения энергии модули импульсов в Ц - системе при столкновении не меняются. Таким образом, в Ц-системе результат столкновения сводится лишь к повороту скоростей обеих частиц, причем после поворота скорости остаются направленными в противоположные стороны. Если единичный вектор выражает направление скорости первой частицы после столкновения, то в Ц-системе.

, . (2.4 10)

Чтобы вернуться к JI-системе, нужно к этим выражениям добавить скорость центра масс:

(2.4 11)

Этим исчерпываются сведения, которые можно получить из одних только законов сохранения импульса и энергии. Направление вектора зависит от условий взаимодействия частиц (от взаимного расположения во время столкновения и т.п.).

Для геометрической интерпретации результатов перейдем опять к импульсам. Из (2.4 11) получим:

(2.4 12)

где - приведенная масса частицы. Векторная диаграмма импульсов, соответствующая (2.4 12), приведена на рисунке 9. Здесь

, , .

При заданных и радиус окружности и положения точек А и В неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности.

С

А О В

Рисунок 9.

В частном случае, когда частица с массой до столкновения покоится в JI-системе, имеем:

, , (2.4 13)

т.е. на диаграмме т. В лежит на окружности; ОВ = ОС - радиус, вектор совпадает с импульсом первой частицы до удара. При этом точка А может находиться внутри (если ) или вне (если ) окружности (рисунок 10). Несложно показать, что углы и отклонения частиц после столкновения по отношению к (к направлению удара) могут быть выражены через угол поворота первой частицы в Ц-системе:

, , (2.4 14)

С С

А О В А О В

Рисунок 10.

Модули скоростей частиц после удара в Л-системе также могут быть выражены через угол и модуль относительной скорости до удара:

,

. (2.4 15)

Отметим, что сумма определяет угол разлета частиц после столкновения. При эта сумма больше , при - меньше , угол разлета частиц равной массы прямой.

Заключение

В ряде случаев векторный способ имеет преимущество перед координатным, не только упрощая решение конкретной задачи, но и превращая иногда сложные на первый взгляд задачи в подстановочные, решаемые практически устно.

В работе рассмотрены возможности использования одного из не-стандартных методов решения задач механики в курсе физики средней школы. Основные результаты можно сформулировать следующим обра-зом: