9249-1 (Электрические цепи с нелинейными преобразователями и оперативная коррекция режима энергосистемы)

Электрические цепи с нелинейными преобразователями и оперативная коррекция режима энергосистемы

Хмельник С.И., к.т.н.

Институт "Энергосетьпроект", Москва

Рассматриваются электрические цепи с нелинейными преобразователями. Показывается, что в такимх цепях достигается оптимум некоторой выпуклой функции токов электрической цепи. Далее рассматривается задача оперативной коррекции режима энергосистемы и формулируется критерий качества оптимизации режима по активной мощности. Показывается, что этот критерий совпадает с вышеуказанной функцией с точностью до обозначений. Тем самым задача оперативной коррекции сводится к расчету определенной электрической цепи или к решению задачи выпуклого программирования. Указывается метод решения этой задачи

1. Простая электрическая цепь

Рассмотрим электрическую цепь с источниками тока, подключенными к узлам цепи, и источниками напряжения, включенным в ветви цепи. Такая электрическая цепь описывается следующей системой уравнений:

, (1)

, (2)

где

H - вектор токов, создаваемых источниками тока;

I - вектор токов в ветвях цепи;

E - вектор напряжений в ветвях цепи;

- вектор узловых потенциалов;

N - матрица инциденций с элементами 1,0,-1;

R - диагональная матрица сопротивлений в ветвях цепи.

В этой системе уравнение (2) описывает первый закон Кирхгофа, уравнениe (1) - второй закон Кирхгофа.

Рассмотрим функцию

. (3)

Необходимые условия оптимума этой функции при ограничениях вида (2) имеют вид уравнения (1), где является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (2), которые появляются, когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым . Далее имеем:

(4)

Отсюда следует, что функция (3), имеет глобальный минимум. Итак, минимизация функции (3) при ограничении в виде уранений первого закона Кирхгофа (2) приводит к уравнениям второго закона Кирхгофа (1). Следовательно, расчет электрической цепи постоянного тока эквивалентен поиску минимума функции (3) при ограничении (2). Другими словами электрическая цепь моделирует задачу квадратичного программирования.

Деннис в [1] показал, что все эти выводы справедливы и в том случае, когда электрическая цепь содержит диоды и так называемые трансформаторы постоянного тока, которые мы далее будем называть трансформаторами Денниса - ТД.

Диоды описываются неравенствами и равенством вида

(5)

(6)

. (7)

Необходимые условия оптимума функции (3) при ограничениях вида (5) имеют вид (6, 7).

Трансформатор Денниса ТД содержит две ветви - первичную с током и напряжением и вторичную с током и напряжением .Он описываются уравнениями

(8)

(9)

где h - коэффициент трансформации. Из этих уравнений следует, что

(10)

т.е. мощности, отдаваемые первичной и вторичной ветвями ТД в электрическую цепь, в сумме равны нулю. Необходимые условия оптимума функции (3) при ограничениях вида (8) имеют вид (9).

2. Обратимые преобразователи

Обратимый преобразователь (ОП) предложен в [2] и представляет собой устройство, содержащее две ветви - первичную с током и напряжением и вторичную с током и напряжением . В нем (в отличие от ТД) токи ветвей зависят от напряжений смежных ветвей следующим образом:

(1)

(2)

где - дифференцируемая функция. Будем обозначать ОП так, как показано на фиг. 2.1.

В частности, при , где h - константа (коэффициент преобразования), этот преобразователь является линейным - (ЛОП). В нем токи ветвей зависят от напряжений смежных ветвей следующим образом:

(3)

(4)

Отсюда следует, что

(5)

т.е. мощности, отдаваемые первичной и вторичной ветвями ЛОП в электрическую цепь, в сумме равны нулю (также как и в ТД).

Пример 2.1.. Конструкция ЛОП представлена на фиг. 2.2. Он состоит из двух источников тока VC-1 и VC-2, управляемых напряжением: напряжение на одном из них является управляющим для другого

В общем случае ОП является нелинейным (НОП).

Пример 2.2. В [3] рассмотрен синусно-косинусный преобразователь СКП, в котором

(6)

(7)

Известно, что для энергетических расчетов можно принять

(8)

(9)

В этом случае СКП может быть реализован на сумматорах и умножителях.

3. Электрическая цепь, содержащая ОП.

Уравнения электрической цепи, содержащей ОП, учитывают тот факт, что в некоторые ветви влючены первичные или вторичные ветви ОП, а некоторые из токов ветвей являются одновременно первичными или вторичными токами ОП [2]. Эти уравнения имеют следующий вид:

(1)

(2)

(3)

(4)

где

- диагональная матрица, в которой "1" находятся в элементах, соответствующих ветвям, состоящим из первичных цепей ОП,

- диагональная матрица, в которой "1" находятся в элементах, соответствующих ветвям, состоящим из вторичных цепей ОП.

Рассмотрим функцию

(5)

Необходимые условия оптимума этой функции при ограничениях вида (2) и (3) имеют вид уравнений (1) и (4), где

является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (2), когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым ,

является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (3), когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым .

Таким образом, расчет данной электрической цепи эквивалентен поиску безусловного оптимума функции

(6)

Далее имеем:

, , ,

Отсюда следует, что функция (11) имеет глобальный минимум при

. (7)

Это имеет место, например, при и, в частности, для ЛОП. Синусно-косинусный преобразователь СКП, рассмотренный в примере 2.2, удовлетворяет соотношению (7) при .

Таким образом, при соблюдении условия (7) в электрической цепи достигается глобальный минимум некоторой выпуклой функции (6) токов I, потенциалов и напряжений E электрической цепи. Все эти выводы справедливы и в том случае, когда она содержит трансформаторами Денниса и диоды. Последнее означает, что математическая модель (1-4) электрической цепи с ОП может быть дополнена неравенствами вида (1.5-1.7):

(8)

(9)

(10)

где

- диагональная матрица, в которой "1" находятся в элементах, соответствующих ветвям, содержащим диоды,

- напряжения на диодах

При этом в электрической цепи, содержащей ОП и диоды, достигается минимум функции (6) при ограничении (8). Этот минимум является глобальным при выполнении условия (7)

4. Сдвоенная электрическая цепь

Рассмотрим частный случай электрической цепи с обратимыми преобразователями - т.н. сдвоенную электрическую цепь. Эта цепь состоит из двух простых электрических цепей, соединенных через ОП таким образом, что первичная ветвь каждого ОП включена в первую цепь, а вторичная ветвь - во вторую цепь. Из (3.1-3.4) следуют уравнения сдвоенной электрической цепи:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Сдвоенная электрическая цепь моделирует следующую задачу выпуклого программирования: минимизируется функция

(7)

при ограничениях (3, 4, 5). Необходимые условия оптимума этой функции при данных ограничениях имеют вид уравнений (1, 2, 6), где

является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условий (1) или (2), когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым ,

является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (5), когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым .

Пример 4.1. На фиг. 4.1. приведен пример сдвоенной электрической цепи.

5. Оперативная коррекция режима электроэнергетической системы по активной мощности

Задача необходима для того, чтобы распределить задания на генерируемые мощности между электростанциями в некоторый расчетный момент времени [4]. Известными являются измеренные в настоящий момент времени значения узловых мощностей и прогнозируемые на расчетный момент времени мощности потребителей. Распределение генерируемых мощностей должно минимизировать некоторый показатель качества, который минимизирует

ü стоимость генерации,

ü стоимость потерь энергии в линиях электропередач,

ü изменения генерируемых мощностей,

ü отклонения генерируемых мощностей от плановых значений (определенных на этапе долгосрочной оптимизации),

ü отклонения нагрузок от прогнозных значений.

Кроме того, распределение генерируемых мощностей должно быть таким, чтобы мощности перетоков удеживались в заданных пределах, определенных по условиям термической, статической и динамической устойчивости.

Рассмотрим энергосистему с узлами и линиями электропередач . Обозначим:

- активнаямощность узла, измеренная в данный момент,

- активная мощность узла, вычисляемая для расчетного момента,

- плановая (генерируемая) или прогнозируемая (нагрузочная) активная мощность узла,

- переток активной мощности по линии электропередач, измеренный в данный момент,

_- фаза напряжения в узле, вычисляемая для расчетного момента,

_- разность фаз напряжений на концах линии электропередач, вычисляемая для расчетного момента.

Вычисляемые мощности и перетоки связаны соотношением