86347 (Нестандартные методы решения уравнений и неравенств), страница 3

Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Таковой суммой является функция

Первое слагаемое является четной функцией, второе – нечетной.

Сравнительная иллюстрация функций разной четности изображена на рисунке 6

ФОВ

Рисунок 6

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

• Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.

• Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.

• Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.

• Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).

Пример 2.4.1 Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2x⁸ – 3аx⁶ + 4x⁴ – аx² = 5

иметь 5 корней? 

Решение. Обозначим f(x) = 2х⁸ – 3ах⁶ + 4х⁴ – ах². f(x) – функция четная, поэтому, если x₀ – корень данного уравнения, то -x₀ – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

2.5 Использование ОДЗ функции

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 2.5.1 Решите уравнение

. (8)

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям и , т. е. ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, т. е. что уравнение не имеет корней.

Ответ: Ø.

Пример 2.5.2 Решите уравнение

. (9)

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям , , , т. е. ОДЗ есть . Подставляя эти значения х в уравнение (9), получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все , являются его решениями.

Ответ:

Пример 2.5.3 Решите неравенство

. (10)

Решение. ОДЗ неравенства (10) есть все х, удовлетворяющие условию . Ясно, что х = 1 не является решением неравенства (10). Для х из промежутка имеем , а . Следовательно, все х из промежутка являются решениями неравенства (10).

Ответ: .

Пример 2.5.4 [26] Решите неравенство

. (11)

Решение. ОДЗ неравенства (11) есть все х из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка и .

Для х из промежутка имеем , . Следовательно, на этом промежутке, и поэтому неравенство (11) не имеет решений на этом промежутке.

Пусть х принадлежит промежутку , тогда и . Следовательно, для таких х, и, значит, на этом промежутке неравенство (11) также не имеет решений.

Итак, неравенство (11) решений не имеет.

Ответ: Ø.

3 НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Существуют и другие нестандартные методы решения уравнений и неравенств, помимо использования свойств функции. Данная глава посвящена дополнительным методам решения.

3.1 Умножение уравнения на функцию

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию — многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней — корней многочлена, на который умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получать равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример 3.1.1 Решите уравнение

. (1)

Решение. Умножив обе части уравнения на многочлен , не имеющий корней, получим уравнение

, (2)

равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде

. (3)

Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому и уравнение (1) их не имеет.

Ответ: Ø.

Пример 3.1.2 [19] Решите уравнение

. (4)

Решение. Умножив обе части этого уравнения на многочлен , получим уравнение

, (5)

являющееся следствием уравнения (4), так как уравнение (5) имеет корень , не являющийся корнем уравнения (4).

Уравнение (5) есть симметрическое уравнение четвертой степени. Поскольку не является корнем уравнения (5), то, разделив обе его части на и перегруппировав его члены, получим уравнение

(6)

равносильное уравнению (5). Обозначив , перепишем равнение (6) в виде

. (7)

Уравнение (7) имеет два корня: и . Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений

и .

Решив каждое из этих уравнений, найдем четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5):

, , ,

Так как корень является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: x₁, x₂, x₃.

Ответ:

3.2 Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Пример 3.2.1 Решите уравнение

. (8)

Решение. Перепишем уравнение (8) в виде:

. (9)

Из внешнего вида этого уравнения очевидно, что х = 12 есть его корень. Для нахождения остальных корней преобразуем многочлен

Так как многочлен не имеет корней, то исходное уравнение имеет единственный корень х = 12.

Ответ: {12}.

Пример 3.2.2. Решите уравнение

(10)

Решение. Легко заметить, что и являются решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное. А это означает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этого уравнения найдены, то тем самым оно и решено.

Ответ:

3.3 Использование симметричности уравнения

Иногда внешний вид уравнения — некоторая его симметричность — подсказывает способ решения уравнения.

Пример 3.3.1Решите уравнение

. (11)

Решение. Очевидно, что внешний вид уравнения подсказывает, что один из корней уравнения (11) есть . Однако найти остальные корни этого уравнения здесь не так просто. Перепишем уравнение (11) в несколько ином виде.

Поскольку справедливы тождественные равенства

,

то уравнение (11) можно переписать так:

. (12)

Теперь очевидно, что если ― корень уравнения (12), то также корень уравнения (12), поскольку

. (13)

Покажем, что если , есть корень уравнения (11), то также есть корень этого уравнения.

Действительно, так как

то отсюда и вытекает это утверждение.

Итак, если , ― корень уравнения (11), то оно имеет еще корни

, , , ,

т. е. уравнение (11) имеет корни

, , , , , .

Поскольку уравнение (11) есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения (11).

Ответ:

3.4 Исследование уравнения на промежутках действительной оси

Иногда решения уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках.

Пример 3.4.1 Решите уравнение

. (14)

Решение. Перепишем уравнение в виде или, используя формулу разности

, (15)

в виде

. (16)

Отсюда видно, что один из корней данного уравнения есть . Докажем, что уравнение

(17)

решений не имеет.

Разобьем числовую ось на промежутки

Для любого x из промежутка имеем, что левая часть уравнения (17) положительна, поэтому на этом промежутке уравнение решений не имеет.

Поскольку

,

то для любого х из промежутка этот многочлен положителен. Это означает, что на промежутке уравнение (17) также не имеет решений.

Поскольку

,

то для любого x из промежутка этот многочлен положителен. Следовательно, и на промежутке уравнение (17) не имеет решений.

Итак, данное уравнение (17) имеет единственное решение .

Ответ: {1}.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе исследования цель курсовой работы достигнута, полностью решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:

1. Приведены сведения о давности постановки перед человеком задачи решения уравнений и неравенств.

2. Приведены и рассмотрены на примере методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.

3. Рассмотрены и опробованы дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

Продолжение исследования может заключаться в изучении применения свойств синуса и косинуса, применении производной, использовании числовых неравенств, использовании графиков и других нестандартных способов решения уравнений и неравенств.