3. Анализ результатов эксперимента

Полученные значения расхождений Δ представим в виде гистограммы и эмпирической функции по интервалам на рисунке 9:

Рисунок 9. (На рисунке представлены гистограмма распределения значений Δ по интервалам, а так же график функции распределения Δ).

Из рисунков видно, что закон Δ больше всего похож на логнормальный, поэтому для сравнения оценки расхождения распределения сгенерируем выборку объемом в 25 (а так же выборки объемом 100, 500 и 1500) по логнормальному закону с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 и вычислим параметры.

Сгенерированная выборка:

Оценки математического ожидания, дисперсии и СКО рассчитаем по формулам:

(24)

M[xL]=1.284; D[xL]=0.848; σ[xL]=0.921

На рисунке 10 показана гистограмма и эмпирическая функция по сгенерированной выборке:

Рисунок 10. (На рисунке показанная функций распределения, а так же гистограмма распределения значений по интервалам для случайной величины, распределенной по логнормальному закону распределения с выборкой 25).

4. Проверка близости по критерию χ2 Пирсона закона распределения расхождений наблюдений и сгенерированного шума

Проверим насколько расходятся значения при прогнозе и по тренду. Для этого определяются интервалы разбиения расхождений прогноза и вычисление вероятностей попасть в интервал по логнормальному закону с математическим ожиданием равным 0 и дисперсией 1 по формуле (9).

Далее посчитаем сумму квадратов расхождения между частотами и вероятностью попасть в интервал логнормального закона:

(25)

На основе суммы квадратов расхождения Δрасх можно посчитать расчетное значение критерия согласия Пирсона:

(26)

На полигоне частот (рисунок 11) показаны значения частоты распределения чисел по интервалам и вероятностей попадания в эти интервалы.

Теоретическое значение критического значения критерия Пирсона при уровне значимости α=0.1 и числом степеней свободы r=m-1 рассчитаем по формуле (11).

Рисунок 11.

(На рисунке показано расхождения между частотой попадания случайной величины в интервал и функцией распределения для попадания в этот интервал для выборок 25, 100, 500 и 1500. Случайная величина распределена по логнормальному закону распределения).

Ставится гипотеза: H₀ – расхождение между прогнозом и трендом распределено по логнормальному закону

Так как в результате опытов выяснилось, что расхождение с ожидаемыми результатами велико, то в таком случае проверим правильность работы нашей модели, сгенерировав шум по нормальному закону распределения и проанализируем результаты.

Рисунок 12.

(На рисунке показано расхождения между частотой попадания случайной величины в интервал и функцией распределения для попадания в этот интервал для выборок 25, 100, 500, 1500 и 10000. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, для проверки взято теоретическое распределение с параметрами m_x=0 и D_x=1).

Поставим гипотезу: H₀ – расхождение между прогнозом и трендом распределено по нормальному закону распределения (с параметрами m_x=0 и D_x=1).

Отвержение гипотезы H₀ о распределении случайной величины по нормальному закону при выборках 1500 и 10000 с параметрами m_x=0 и D_x=1 свидетельствует об изменении параметров закона распределения (т.к. нормальный закон устойчив к линейным преобразованиям и сам закон не меняется), что является следствием линейных преобразований. Используем для проверки гипотезы о законе распределения с помощью критерия Пирсона теоретический закон распределения с дисперсией, равной оценке дисперсии отклонения прогноза от тренда, вычисленной по методу моментов.

Рисунок 13.

(На рисунке показано расхождения между частотой попадания случайной величины в интервал и функцией распределения для попадания в этот интервал для выборок 25, 100, 500, 1500 и 10000. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, для проверки взято теоретическое распределение с параметрами m_x=0 и D_x= D_Δ (D_Δ =1.343; 1.149; 1,235; 1.158; 1.141)).

Поставим новую гипотезу: H₀ – расхождение между прогнозом и трендом распределено по нормальному закону распределения (с параметрами m_x=0 и D_x=D_Δ).

Отклонение тренда от прогноза при шуме, распределенном по нормальному закону распределении, так же подчиняется нормальному закону распределения, что было подтверждено экспериментально.

Заключение

а) на основании проведенных экспериментов и анализа полученных данных можно сделать вывод, подтверждающий, что логнормальное распределение является неустойчивым к линейным преобразованиям, причем с ростом числа наблюдений расхождение будет существенно возрастать;

б) при аппроксимации линейного тренда, к которому был добавлен шум, распределенный по логнормальному закону распределение все прямые, построенные по методу наименьших квадратов, всегда проходили выше прямой тренда. Это является следствием влияния ошибки наблюдений, которая была положительной величиной и говорит о том, что эффективность метода наименьших квадратов при аппроксимации тренда с положительной ошибкой наблюдений ниже, чем при аппроксимации тренда с ошибкой наблюдения, имеющее разные знаки;

в) при аппроксимации линейного тренда, к которому был добавлен шум, распределенный по нормальному закону, распределение отклонения прогноза от тренда так же подчинено нормальному закону распределения, в силу устойчивости последнего к линейным преобразованиям, но, из-за преобразований меняется его дисперсия (в нашем случае увеличивается в среднем на 12%), что было экспериментально подтверждено с использованием критерия Пирсона.

Список использованных источников

1. В.В. Бомас, В.С. Булыгин «Элементы теории Марковских процессов и ее технические приложения».

2. Феллер «Введение в теорию вероятностей и ее приложения»

3. Е.С. Вентцель «Теория вероятностей».