86102 (Частотно-временной анализ сигналов), страница 2

Выберем из всего множества сигналов такие, которые ограничены полосой частот 2^I, т.е. имеющие спектр . Рассмотрим периодическую функцию такую, что: , т.е. полученную периодизацией F₁(ω) (рис. 3.14)

Тогда спектр функции: F_i (ω) при произвольном I можно представить в виде:

Где - функция окна такая, что:

Посмотрим, как при этих условиях можно представить функцию f (t) во временной области. Для этого разложим периодическую функцию с периодом , в ряд Фурье (см. ):

Где, подставляя (3.5.10а) в (3.5.9) и выполняя обратное преобразование Фурье, получим:

Вычислим первый интеграл. Переставляя операции суммирования и интегрирования и ограничивая пределы интегрирования с учетом функции окна, получим:

где вейвлет

(3.5.14)

и (см. рис. 3.16):

(3.5.15)

Выражение (3.5.13) является представлением функции f (t) в базисе вейвлет. В рассматриваемом частном случае идеальной полосовой фильтрации вейвлетом является функция (3.5.14), образованная из материнской функции по (3.5.15) с учетом (3.5.12). Такой вейвлет называется sinc –вейвлетом по имени функции (3.5.12), которая его образует, а функция (3.5.12) получила название масштабной функции.

Множитель при необходим для сохранения нормы вне зависимости от величины масштаба, так как:

Покажем, что в рассматриваемом частном случае т.е. определяется отсчетами функции при . Рассмотрим интеграл Фурье ( ) при дискретных значениях функции , заданной на интервале Имеем, с учетом (3.5.10б):

Последнее равенство справедливо при и вещественных

Следовательно,

Выполнив преобразование Фурье выражения (3.5.14), можно видеть, что спектр Фурье sinc -вейвлета представляет собой идеальный полосовой фильтр, в общем случае занимающий полосу частот от до

Вейвлет Хаара. Разобьем теперь временную ось на интервалы, как показано на рис. 3.17 и определим на единичном интервале функцию

Эта функция является материнским вейвлетом, так как она удовлетворяет условию ( ). Система сдвигов таких функций образует ортонормальный базис, так как их взаимная энергия равна нулю при и равна единице при

Преобразование Фурье ( ) вейвлета Хаара имеет вид и показано на рис. 3.17б.

Функции Хаара, также как sinc -вейвлет, могут быть получены с помощью масштабной функции

что иллюстрируется на рис. 3.18.

Из приведенных примеров следует ряд интересных выводов:

1. Представление вейвлет-функции в виде прямоугольников в любой из областей (частотной или временной) ведет к бесконечному расширению в противоположной области. Следовательно, для того, чтобы функции вейвлет были локализованы одновременно во временной и частотной областях, они должны убывать с ростом аргумента, по крайней мере, по закону обратной пропорциональности (см.( и )).

1. Вейвлеты ψ(t), спектры Фурье которых представляют собой полосовые фильтры, могут быть выражены через масштабные функции (t), спектры Фурье которых представляют собой фильтры нижних частот (см. формулы (3.5.15) и (3.5.19)).

2. Базисные функции для DWT могут быть получены из одной материнской функции путем ее масштабирования и сдвига (см. формулы (3.5.14) и (3.5.15)).

1. Любой сигнал f(t) из L₂ может быть представлен своим вейвлет- разложением (3.5.13), если число компонентов f_i(t) таково, что они занимают полосу частот большую, чем полоса сигнала.

Литература

1. Новиков И.Я., Стечкин СБ. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. V. 53. № 6. С.9-13.

2.Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд. СПбГТУ, 1999. 131 с.

3.Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: ВУС, 1999. 203 с.

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения// УФН . 1996. Т. 166, № 11. С. 1145-1170.

2. Martin Vatterli, Jelena Kovačevic. Wavelets and Subband Coding. Prentice Hall, New Jersey, 1995.