Ответ. .

Замечание. Обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

Пример 46 Решите неравенство: .

Решение. Решим неравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется для всех точек c координатой , которые находятся ближе к точке с координатой , чем к точке с координатой . Так как , то искомыми являются все точки, расположенные левее точки с координатой .

Ответ. .

Пример 47 Решите уравнение .

Решение. Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой . Сумма равна сумме расстояний от точки до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек и не меньше длины отрезка (и равенство достигается тогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке ). Отсюда получаем, что не меньше 4, а не меньше 2 при любом . Поэтому для того, чтобы сумма была равна , необходимо, чтобы . Итак, необходимо равен . Легко проверить, что значение действительно является решением данного уравнения.

Ответ. .

Пример Гальперин Г.А. 48 Положительные числа , , и таковы, что система уравнений

имеет решений, а система уравнений

имеет решений. Известно, что . Найдите и .

Решение. Первое уравнение есть уравнение окружности, второму удовлетворяют точки квадрата с центром в начале координат и с диагоналями, принадлежащими осям координат. Система из двух первых уравнений в зависимости от и либо не имеет решений, либо имеет четыре решения, либо восемь. Итак, может равняться либо 0, либо 4, либо 8. Первое уравнение второй системы есть уравнение сферы. Второму удовлетворяют точки октаэдра с центром в начале координат и с вершинами, лежащими на осях координат на равных расстояниях от центра. Эта система в зависимости от и либо не имеет решений, либо имеет 6 решений (вершины октаэдра лежат на сфере), либо имеет 8 решений (сфера касается граней октаэдра), либо имеет бесконечное число решений (сфера пересекает грани октаэдра по окружностям или нескольким дугам окружностей). Итак, может равняться либо 0, либо 6, либо 8, либо . Условию удовлетворяет только вариант , .

Ответ. , .

Перевод алгебраической задачи на геометрический язык --- удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады математико-механического факультета СПбГУ:

Пример 49 Дана функция: .

а) Решите уравнение ;

б) Решите неравенство ;

в) Найдите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра .

Решение. Построим график функции . Для этого заметим, что , а тогда мы можем сначала построить график функции , и затем отразить его относительно оси ординат. Преобразуем выражение, задающее функцию :

Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке (2; 0), график исходной функции представляет собой объединение двух полуокружностей (см. рис. Error: Reference source not found).

Теперь решение задач не представляет труда:

а) Корень уравнения есть абсцисса точки пересечения прямой с графиком функции . Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренным (угловой коэффициент прямой равен ), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс, есть , а искомая абсцисса равна .

б) Неравенство выполнено при всех из отрезка .

в) При , решений нет, при уравнение имеет три решения, при --- четыре решения, при --- два решения.

Решение уравнений с использованием тождества

Пример 50 Решить уравнение

Решение. Дважды применяя тождество , получим уравнение

решением которого является интервал .

Ответ. .

Пример 51 Решить уравнение

Решение. .

Ответ. .

Применение теоремы о знаках при решении уравнений

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:

Теорема 52 Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

Пример 53 Решить неравенство

Решение. Воспользуемся теоремой:

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

Ответ.

Решение уравнений переходом к следствию

Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.

Пример 54 Решим уравнение

Решение. Последовательно переходя к следствиям, получаем:

Нетрудно убедится, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.

Ответ. нет решения.

В случае вложенных знаков модуля тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.

Пример 55 Решите уравнение

Решение. Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений

которые можно переписать в виде

Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два:

что приводит к четырём уравнениям:

Отсюда получаем 4 решения: , , , среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть отрицательна.

Ответ. 3.

Решение уравнений методом интервалов

Применение метода интервалов основано на следующей

Теорема 56 Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.

Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.

Пример 57 Решим неравенство

Пусть . Областью определения данной функции есть . Решая уравнение (см. 54), получим, что функция не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, , получаем, что функция принимает только положительные значения.

Ответ. .

Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).

Решение уравнений домножением на положительный множитель

Пример 58 Решить неравенство

Решение. ``Ловушка'' заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые -- значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:

Ответ. .

Типовые тестовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля

Пример 59 Найти корни уравнения .

Решение. Так как , то из уравнения следует, что , . Тогда исходное уравнение примет вид: , . Корни этого уравнения , . Корень , поэтому он не является решением, а .

Ответ. .

Пример 60 Найти произведение корней уранения .

Решение. Обозначим , . Тогда исходное уравнение примет вид: . Корни этого уравнения , . Так как , то . Отсюда , . Произведение корней равно .

Ответ. .

Пример 61 Найти разность между наибольшими и наименьшим корнями уравнения .

Решение. Обозначим , . Тогда исходное уравнение примет вид: . Решим его. Корни этого уравнения , . Так как , то значение не подходит. Поэтому . Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна .

Ответ. .

Пример 62 Найти сумму корней уравнения .

Решение. Используем правило: . Исходное уравнение запишем в виде совокупности уравнений: Таким образом сумма корней исходного уравнения равна .

Другой путь. Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведем уравнение в квадрат. Получим: , . Так как дискриминант уравнения положительный, то по теореме Виета сумма корней равна

Ответ. .

Пример 63 Сколько целых корней на отрезке имеет уравнение

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен . Так как , то , поэтому исходное уравнение запишется как

Последнее уравнение эквивалентно неравенству , решение которого . Таким образом, уравнение имеет 6 корней на отрезке : , , , , , .

Ответ. 6.