Пример Шабат Г.Б. 14 Бесконечная последовательность чисел определяется условиями: , причем . Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том случае, если рационально.

Решение. Если , то . Действительно, . Если рациональное, то рациональное, причем со знаменателем не большим чем у . Действительно, пусть --- несократимая дробь. Тогда

Если эта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у , если она сократима, то после сокращения знаменатель уменьшится.

Итак, все члены последовательности --- рациональные числа, заключенные между 0 и 1, т. е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины , --- конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.

Простейшие уравнения и неравенства с модулем

К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов: 44()55()66()77()

Примеры решения простейших уравнений.

Пример 15 Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример 16 Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример 17 Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Остановимся подробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей 4 (формулы 4--7).

Теорема 18 Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример 19 Решить уравнение

Решение. Так как , то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Ответ. .

Теорема 20 Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.

Пример 21 Решить уравнение

Решение. ``Загоняем'' коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и ``изолируем'' сумму модулей:

По константам получаем . Действительно, , то есть уравнение имеет вид . Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух систем:

то есть .

Ответ. .

К простейшим (не обязательно простым) неравенствам мы будем относить неравенства, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:

88()

99()

Примеры решения простейших неравенств.

Пример 22 Решим неравенство .

Решение.

.

Ответ. .

Пример 23 Решим неравенство .

Решение.

Ответ. .

Как ни странно, но достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.

Пример 24 Решить неравенство

Решение.

Ответ. .

Пример 25 Решить неравенство

Решение. Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид . Поэтому перебрав все комбинации знаков двух подмодульных выражений, имеем

Ответ. .

Пример 26 При каких значениях параметра неравенство

выполняется при всех значениях ?

Решение. Исходное уравнение равносильно системе:

Выполнение для всех исходного неравенства равносильно выполнению для всех неравенств последней системы. А это равносильно тому, что дискриминанты всех четырёх квадратных трёхчленов неположительны:

Ответ. .

Пример 27 Найти все значения параметра , при каждом из которых число целочисленных решений неравенства

максимально.

Решение. Так как то исходное уравнение равносильно системе:

Поскольку оба неравенства в системе линейны относительно . Решим систему относительно :

1010()

Условия существования параметра равносильно требованию

1111()

Неравенство 11 объявляет все значения , которые могут быть решением исходного неравенства хотя бы при одном значении параметра. Следовательно, целочисленными решениями исходного неравенства могут быть только целые числа из промежутка , то есть

1212()

Естественно, что для любого целого числа из набора 12 надо выяснить, при каких значениях параметра это число будет решением исходного неравенства.

Поскольку исходное неравенство равносильно 10, то поочерёдно подставляя числа из набора 12 в неравенства 10, мы сразу и найдём все соответствующие значения параметра. Имеем

Чтобы выявить значения параметра, при которых исходное неравенство имеет максимальное число целочисленных решений, воспользуемся ``разверткой'', полученной информации вдоль от параметра (см. рис. Error: Reference source not found):

Очевидно, что максимальное количество целочисленных решений равно трём, и это достигается, когда или .

Ответ. .

Графическое решение уравнений и неравенств с модулем

Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).

Построение графиков вида , и

Отметим правило построения графика функции .

1) Строим сначала график функции .

2) Там, где график функции лежит выше оси или на ней, оставляем его без изменения; точки графика, которые лежат ниже оси , заменяем симметричными им относительно оси точками.

Для примера, на рисунке Error: Reference source not found изображен график функции .

Для построения графика функции cтроим график функции для и отображаем симметрично относительно оси .

Для примера, на рисунке Error: Reference source not found изображен график функции .

Для построения графика функции строим график функции для и симметрично отображаем относительно оси .

Для примера, на рисунке Error: Reference source not found изображен график функции .

Пример 28 Построить график функции .

Решение. Воспользуемся правилами преобразования графиков.

1. График функции --- биссектриса первого и третьего координатных углов.

2. График функции получается из графика функции отображением его части, расположенной ниже оси абсцисс (при ) симметрично относительно оси абсцисс.

3. График функции получается из предыдущего сдвигом влево по оси абсцисс на две единицы.

4. Полученный график сдвигаем по оси ординат на 3 единицы вниз. Получаем график функции .

5. Часть его, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси. Итак, получаем график данной функции (см. рис Error: Reference source not found).

Исследуемая функция допускает другую форму записи

Пример 29 В зависимости от параметра , найти количество решений уравнения

Решение. Построим график функции (см. рис. Error: Reference source not found).

В зависимости от положения прямой , получаем следующее: при нет корней, при --- бесконечно много корней, при --- четыре корня, при --- три корня, при --- два корня.

Пример 30 Докажите, что на графике функции можно отметить такую точку , а на графике функции --- такую точку , что расстояние не превышает .

Решение. Положим . Точка с координатами , где , очевидно, лежит на графике функции .

Рассмотрим положительное число . Тогда , следовательно, точка с координатами лежит на графике функции .

Расстояние между точками и равно . Но из равенства следует, что , , .

Пример 31 На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: .

Решение. или .

Ответ. см. рисунок Error: Reference source not found

Пример 32 Дана функция . Сколько решений имеет уравнение ?

Решение. Пусть --- решение уравнения , а . Тогда и , а потому точка с координатами лежит на каждом из графиков и . Наоборот, если точка лежит на пересечении этих графиков, то и , откуда . Тем самым показано, что число решений уравнения совпадает с числом точек пересечения графиков и , а их 16 (см. рис. Error: Reference source not found).

Ответ. 16.

Графики функций, содержащих линейные выражения под знаком абсолютной величины

Сформулируем утверждение, позволяющее строить график алгебраической суммы модулей, не раскрывая модули (это особенно удобно, когда модулей много).

Теорема 33 Алгебраическая сумма модулей линейных выражений представляет собой кусочно-линейную, график которой состоит из прямолинейного участка. Поэтому график может быть построен по точкам, из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна --- произвольная точка, с абсциссой меньше наименьшего из этих корней, и последняя --- с абсциссой, большей наибольшего из этих корней.

Замечание. Аналогично можно строить графики вида .

Примеры построения графиков

1. . Вычисляем значения функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух лучей (см. рис. Error: Reference source not found).