86035 (Линейное и нелинейное программирование)
Описание файла
Документ из архива "Линейное и нелинейное программирование", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86035"
Текст из документа "86035"
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Севастопольский национальный технический университет
Кафедра кибернетики и вычислительной техники
Пояснительная записка
к курсовому проекту
по дисциплине
«Прикладная математика»
Выполнил: ст. гр. М-21д
Ткаченко К. С.
зач. книжка № 040xxx
вариант № 22
Проверил: ст. преп.
Балакирева И. А.
Севастополь – 2006
Содержание
Введение 4
1 Общая формулировка задания на курсовой проект 5
2 Линейное программирование 7
2.1 Задача линейного программирования 7
2.1.1 Постановка задачи линейного программирования 7
2.1.2 Математическая модель задачи линейного программирования 8
2.1.3 Графический метод 9
2.1.4 Алгебраический метод 10
2.1.5 Метод симплекс-таблицы 12
2.1.6 Метод допустимого базиса 14
2.1.7 Решение двойственной задачи 17
2.2 Задача целочисленного линейного программирования 19
2.2.1 Постановка задачи целочисленного линейного программирования 19
2.2.2 Метод Гомори 20
2.2.3 Метод ветвей и границ 22
2.3 Задача целочисленного линейного программирования с булевскими переменными 24
2.3.1 Постановка задачи целочисленного линейного программирования с булевскими переменными 24
2.3.2 Метод Баллаша 25
2.3.3 Определение снижения трудоемкости вычислений 26
3 Нелинейное программирование 27
3.1 Задача поиска глобального экстремума функции 27
3.1.1 Постановка задачи поиска глобального экстремума функции 27
3.1.2 Метод поиска по координатной сетке с постоянным шагом и метод случайного поиска. Сравнение результатов вычислений 28
3.2 Задача одномерной оптимизации функции 29
3.2.1 Постановка задачи одномерной оптимизации функции 29
3.2.2 Метод дихотомии 30
3.2.3 Метод Фибоначчи 31
3.2.4 Метод кубической аппроксимации 32
3.3 Задача многомерной оптимизации функции 33
3.3.1 Постановка задачи многомерной оптимизации функции 33
3.3.2 Метод Хука – Дживса 34
3.3.3 Метод наискорейшего спуска (метод Коши) 36
3.3.4 Метод Ньютона 37
3.3.5 Сравнение результатов вычислений 38
Заключение 39
Библиографический список 40
ПРИЛОЖЕНИЕ 41
А Текст программы глобальной многомерной оптимизации 41
Б. Результаты работы программы 44
Введение
Современный этап развития человечества отличается тем, что на смену века энергетики приходит век информатики. Происходит интенсивное внедрение новых технологий во все сферы человеческой деятельности. Встает реальная проблема перехода в информационное общество, для которого приоритетным должно стать развитие образования. Изменяется и структура знаний в обществе. Все большее значение для практической жизни приобретают фундаментальные знания, способствующие творческому развитию личности. Важна и конструктивность приобретаемых знаний, умение их структурировать в соответствии с поставленной целью. На базе знаний формируются новые информационные ресурсы общества. Формирование и получение новых знаний должно базироваться на строгой методологии системного подхода, в рамках которого отдельное место занимает модельный подход. Возможности модельного подхода крайне многообразны как по используемым формальным моделям, так и по способам реализации методов моделирования. Физическое моделирование позволяет получить достоверные результаты для достаточно простых систем.
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.
1 Общая формулировка задания на курсовой проект
Вариант задания для задачи линейного программирования (ЗЛП) представляет собой область допустимых решений ЗЛП и целевую функцию. Для того чтобы определить, какое значение должна достигать целевая функция – минимальное или максимальное, необходимо найти градиент целевой функции. Если направление градиента совпадает с направлением стрелки у целевой функции в варианте задания, то в задаче определяется максимальное значение целевой функции, иначе – минимальное.
Итак, задание по решению ЗЛП состоит в следующем: построить математическую модель ЗЛП согласно варианту; получить решение ЗЛП графическим методом; решить ЗЛП алгебраическим методом; решить ЗЛП методом симплекс-таблицы; определить допустимое решение ЗЛП методом введения искусственного базиса; построить ЗЛП, двойственную данной, решить эту задачу и исследовать взаимосвязь между решениями взаимодвойственных задач.
Вариант для задачи целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП) представляет собой область допустимых решений ЗЛП и целевую функцию. Задание состоит в следующем: решить ЗЦЛП, при условии целочисленности всех переменных, входящих в задачу методом ветвей и границ и методом отсекающих плоскостей (методом Гомори).
Вариант для задачи целочисленного линейного программирования с булевскими переменными составляется студентом самостоятельно с учетом следующих правил: в задаче используется не менее 5 переменных, не менее 4 ограничений, коэффициенты ограничений и целевой функции выбираются произвольно, но таким образом, чтобы система ограничений была совместна. Задание состоит в том, чтобы решить ЗЦЛП с булевскими переменными, используя алгоритм Баллаша и определить снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора.
Задание на поиск глобального экстремума функции состоит в написании программы. Программа для поиска экстремума функции может быть разработана на любом алгоритмическом языке. Задание состоит в следующем: 1) найти точку глобального экстремума функции f(X) методом поиска по координатной сетке с постоянным шагом; 2) найти точку глобального экстремума функции f(X) методом случайного поиска; 3)сравнить результаты вычислений.
Задание для нахождения одномерного локального экстремума функции (одномерная оптимизация) состоит в том, чтобы выполнить поиск минимума заданной функции методом дихотомии (3-4 итерации), уточнить интервал поиска методом Фибоначчи (3 итерации) и завершить поиск методом кубической аппроксимации.
Задание для нахождения многомерного локального экстремума функции (многомерная оптимизация) состоит в том, чтобы минимизировать функцию, применяя следующие методы: нулевого порядка – Хука-Дживса, первого порядка – наискорейшего спуска (Коши), второго порядка – Ньютона, и провести сравнительный анализ методов оптимизации по количеству итераций, необходимых для поиска экстремума при фиксированной точности и начальных координатах поиска X(0)=[-1,-1]T.
2 Линейное программирование
2.1 Задача линейного программирования
2.1.1 Постановка задачи линейного программирования
Построить математическую модель ЗЛП согласно варианту. Получить решение ЗЛП графическим методом. Решить ЗЛП алгебраическим методом. Решить ЗЛП методом симплекс-таблицы. Определить допустимое решение ЗЛП методом введения искусственного базиса. Построить ЗЛП, двойственную данной, решить эту задачу и исследовать взаимосвязь между решениями взаимодвойственных задач.
2.1.2 Математическая модель задачи линейного программирования
AB: 
; 
; 
BC: 
; 
; 
CD: 
; 
; 
DE: 
; 
; 
F: 
; 
; 
Математическая модель:
2.1.3 Графический метод
Вычисляем значение целевой функции во всех вершинах симплекса и выбираем из них наименьшее. Это и будет оптимальное решение.
FA = 1
FB = -8
FC = -14
FD = 0
FE = 3
C(2, 4)
F = -14
2.1.4 Алгебраический метод
x2, x4, x5, x6 – базисные переменные, x1, x3 – свободные переменные
x1↑F↑ x3↑F↓ Выбираем x3 ↔ x4
x2, x3, x5, x6 – базисные переменные, x1, x4 – свободные переменные
x1↑F↓ x4↑F↑ Выбираем x1 ↔ x5
x1, x2, x3, x6 - базисные переменные, x4, x5 – свободные переменные
x1↑F↑ x4↑F↑
X=(2, 4, 7, 0, 0, 5)
F = -14
2.1.5 Метод симплекс-таблицы
Приведем к каноническому виду:
x2, x4, x5, x6 – базисные переменные, x1, x3 – свободные переменные
| ↑ | ||||||||
| b | x1 | x3 | ||||||
| x2 | 1 | 2 | -1 | |||||
| 1 | -3 | 1 | ||||||
| ← | x4 | 1 | -3 | 1 | 1 | |||
| 1 | -3 | 1 | ||||||
| x5 | 12 | -1 | 2 | 6 | ||||
| -2 | 6 | -2 | ||||||
| x6 | 4 | 3 | -1 | |||||
| 1 | -3 | 1 | ||||||
| F | -4 | -9 | 4 | |||||
| -4 | 12 | -4 | ||||||
| ↑ | ||||||||
| b | x1 | x4 | ||||||
| x2 | 2 | -1 | 1 | |||||
| 2 | 1/5 | -2/5 | ||||||
| x3 | 1 | -3 | 1 | |||||
| 6 | 3/5 | -6/5 | ||||||
| ← | x5 | 10 | 5 | -2 | 2 | |||
| 2 | 1/5 | -2/5 | ||||||
| x6 | 5 | 0 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | ||||||
| F | -8 | 3 | -4 | |||||
| -6 | -3/5 | 6/5 | ||||||
| b | x5 | x4 | ||||||||
| x2 | 4 | 1/5 | 3/5 | |||||||
| x3 | 7 | 3/5 | -1/5 | |||||||
| x1 | 2 | 1/5 | -2/5 | |||||||
| x6 | 5 | 0 | 1 | |||||||
| F | -14 | -3/5 | -14/5 | |||||||
X = (2, 4, 7, 0, 0, 5)
