Решая данную систему, находим x₀ = и y₀ = . Подставим полученные значения в уравнение (4.2):

4x'² - z'² + 12x'z' + 6y' + ( )z' + ( )x' + ( ) = 0

4x'² - z'² + 12x'z' + 6y' + =0 (4.4)

Поскольку коэффициент при x'z' не равен нулю, то продолжим дальнейшее преобразование, совершив поворот осей координат на угол . Координаты произвольной точки поверхности будут связаны следующими соотношениями:

(4.5)

Подставив выражения из (4.5) в уравнение (4.4), получим следующее:

4(Xcos - Zsin)² – (Xsin + Zcos)² + 12(Xcos - Zsin)(Xsin + Zcos) + 6Y + = 0

4X²cos² - 8XZcossin + 4Z2sin² - X2sin² - 2XZsin² - 2XZcossin -Z²cos² + 12X²cossin + 12XZcos² - 12XZsin² - 12Z²sincos + 6Y + = 0

(4cos²-sin²+12cossin)X²+(4sin²-cos²-12sincos)+(-8cossin-2cossin+12cos²-12sin²)XZ+6Y+ =0 (4.6)

Найдём угол такой, что коэффициент при XZ будет равен нулю:

-8cossin-2cossin+12cos²-12sin²=0

6tg²+5tg-6=0

D = 25+144 = 169 = 13²

Откуда следует, что tg = или tg = . Возьмём tg = . Тогда найдём cos= = , sin= . Подставим найдённые значения в уравнение (4.6):

( )X²+( )Z²+( )XZ+6Y+ =0

(4.7)

- это каноническое уравнение поверхности (4.1). Оно имеет сдвиг по оси O'Y на (- ).

3. Исследование формы поверхности методом сечений

Проведём исследование графика уравнения (4.7) методом сечения плоскостями.

Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Y=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость ZO'X имеют вид:

:

Рассмотрим три случая:

Если h + >0, h > , запишем полученное уравнение в виде:

(4.8)

Уравнение (4.8) задаёт гиперболы с центрами в точках (0, h ,0).

Полуоси гипербол:

a = - действительная полуось, b = - мнимая полуось, увеличиваются с увеличением h. При различных значениях h получим семейство соответствующих гипербол:

h = 1 a= ; b= ;

h=2 a= ; b= ;

h=3 a= ; b= ;

Изобразим данные гиперболы на рисунке:

Если h + =0, h = , запишем полученное уравнение в виде:

или

Данное уравнение задаёт две пересекающиеся прямые. Изобразим их на рисунке:

Если h + < 0, h< , запишем полученное уравнение в виде:

Данное уравнение задаёт сопряжённые гиперболы с центрами в точке (0, h, 0).

Полуоси гипербол:

a= - действительная полуось, b= - мнимая полуось, увеличиваются с увеличением | h |.

При различных значениях h получаем семейство соответствующих гипербол:

h=-1 a= ; b= ;

h=-2 a= ; b= ;

h=-3 a= ; b= ;

Изобразим данные гиперболы на рисунке:

Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость XO'Y имеют вид:

: (4.9)

Уравнение (4.9) задаёт параболы, с вершинами в точках V(0, , h) и параметром

p= . При различных h получим семейство соответствующих парабол:

h = 1 :

h = 2 :

h = 3 :

Изобразим данные параболы на рисунке:

Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями X=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость YO'Z имеют вид:

(4.10)

Уравнение (4.10) задаёт параболы, с вершинами в V(h, ,0) и параметром p= . При различных h получаем семейство соответствующих парабол.

h = 1 :

h = 2 :

h = 3 :

Изобразим данные параболы на рисунке:

4. Графики уравнения поверхности

Изобразим поверхность второго порядка в общеалгебраической и канонической системе координат.

График в общеалгебраической системе координат:

График в канонической системе координат:

5. Вывод

Исследовав каноническое уравнение (4.7) гиперболического параболоида, отметим следующее:

1. Оси O'Z и O'X являются осями симметрии поверхности. Центра симметрии у поверхности нет.

2. Рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Y = h, в сечениях получаем:

h > - гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Z

h = - две пересекающиеся прямые

h < - сопряжённые гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Y

1. Рассекая поверхность плоскостями Z = h и X = h, в сечениях получаем параболы, с ветвями, направленными вниз (Z = h) или вверх (X = h).

2. Поверхность гиперболического параболоида бесконечна в направлении всех трёх координатных осей.

Список литературы

1. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997.

2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1974.