85581 (Дифференциальное исчисление), страница 2

Календарно-тематический план

Календарно-тематический план – планирующее учетный документ, его целями является определение тематики, тип метода и оснащение уроков по выбранному предмету. Составление календарно-тематического плана является первым шагом создания поурочной систематизации. Исходным документом здесь является учебная программа. Календарно тематический план предусматривает межпредметные связи. При соответствии календарно-тематического плана учебной программе ориентируются на тематический план при составлении поурочного плана. Календарно-тематический план (см. таблицу 3).

Разработка урока

Изучая учебную программу, преподаватель внимательно анализирует каждую тему, что дает возможность четко определить содержание обучения, установить межпредметные связи. На основе учебной программы составляется календарно-тематический план и уже на основе календарно-тематического плана составляется поурочный план. При определении цели и содержания урока, вытекающей из учебной программы, определяется содержание записи, умений и навыков, которые учащиеся должны усвоить на данном уроке. Анализируя предыдущие уроки, и устанавливая в какой мере решены их задачи, выясняют причину недочетов, и на основе этого определяют какие изменения необходимо внести в проведения данного урока. Намечают структуру урока и время на каждую ее часть, формируют содержание и характер воспитательной работы во время урока.

План урока

Предмет: Высшая математика Группа 636

Тема: Производная

Цели:

а) обучающая: Познакомить учащихся с понятием производная, рассказать о ее свойства и методы нахождения

б) развивающая: Развить интерес к решению задач по данной теме

в) воспитательная: Выработать потребность в самообразовании

Тип урока: целевой

Метод изложения: словесный

Наглядные пособия: плакат

Время: 90 мин.

Ход урока

I. Вводная часть:

1. Организационный момент: проверка по рапортичке время 2 мин.

2. Проверка домашнего задания: время 15 мин.

Тест (приложение 1)

II. Основная часть:

1. Сообщение цели новой темы

2. Изложение нового материала время 40 мин.

а) Задачи, приводящие к понятию производной

б) Производная функции

в) Физический и геометрический смысл производной

г) Вычисление производной на основе ее определения

д) Дифференцируемость непрерывной функции

3. Ответы на вопросы учащихся время 10 мин.

4. Закрепление нового материала время 20 мин.

Самостоятельная работа по 4 вариантам (приложение 2)

III. Заключительная часть: время 3 мин.

1. Подведение итогов

2. Задание на дом: повторение темы, № 229, 235, 238

3. Заключительное слово преподавателя

Преподаватель:___________________________

Список литературы

1. Г.Л. Луканкин, Н.Н. Мартынов "Высшая математика", Москва "Просвещение" 1988 год

2. Ю.К. Бабанский "Высшая математика", Москва "Просвещение" 1988 год

3. Ю.К. Бабанский "Высшая математика", Москва "Просвещение" 1983 год

4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев "Справочник по математике", Москва "Просвещение" 1990 год

Приложение 1

ТЕСТ

1. Найдите предел

а) 9

б)

в) -9

г) -8

2. Вычислите предел

а) 5

б) -1

в) -5

г) -

3. Вычислите предел

а) cos

б)

в)

г)

4. Вычислите предел

а) -2

б)

в)

г) 2

5. Вычислите предел

а) -1

б) 2

в) -5

г) 1

Правильный ответ г)

Приложение 2

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

1. Найти мгновенную скорость в момент времени t₀ свободного падения тела в поле тяжести Земли (I, II, III, IV).

2. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = V₀t + . Найдите мгновенную скорость этой точки:

I в.: при t = 0

II в.: в момент t₀

III в.: при t = 7

IVв.: в момент времени t = 7c

3. Найдите производную функции:

I в.: f(x) = x²

II в.: f(x) = 2x³ + 4x + 4

III в.: f(x) =

IVв.: f(x) = 3x² + 4

4. Найдите производную функций в точках x = 1, x = 3.

I в.: f(x) =

II в.: f(x) = (x + 5)²

III в.: f(x) = 4 – x³

IVв.: f(x) = 5x⁴ + 2x³ – 3x + 6

5. Найдите производную функций в данных точках.

I в.: f(x) = cos x, при х =

II в.: f(x) = tg x, при х =

III в.: f(x) =cos 2x, при х =

IVв.: f(x) = x² + 4x + 72, при х = -5

Приложение 3

Конспект урока на тему "Производная"

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

Рассмотрим движение материальной точки М вдоль оси Ох (рис.1). За начало отсчета (точка О) примем положение материальной точки в момент времени t = 0. Пусть в момент времени t координата движущейся точки х равна f(t), т.е. координата х материальной точки есть функция времени:

Х = f(t), t Є [0; T]

О М х

Эта функция называется законом движения, задается формулой:

X = Vt

На практике поезда, автомобили движутся равномерно и прямолинейно лишь на некоторых участках, а в общем случае их движение неравномерное. При неравномерном прямолинейном движении материальная точка за разные, но равные по длительности промежутки времени может совершать разные как по времени, так и по направлению перемещения. Для неравномерного движения вводится понятие средней скорости V_ср, которая зависит от выбора моментов времени t₀ и t₁:

V_ср (t₁, t₀) =

Проиллюстрируем сказанное примером. Из курса физики известно, что свободное падение тел в поле тяжести Земли является неравномерным движением и совершается по закону х = , где g – ускорение свободного падения. Его средняя скорость за первую секунду движения, т.е. за промежуток времени от момента t₀ = 0 до момента времени t₁ = 1, равна:

V_ср(1, 0) = ,

в то время как для второй секунды движения (t₁ = 2, t₀ = 1) она уже равна в три раза большему значению:

V_ср(2, 1) = =

Средняя скорость не может полностью характеризовать неравномерное движение. Для полной характеристики вводят так называемую мгновенную скорость. Очевидно, что средняя скорость V_ср (t₁, t₀) тем полнее характеризует движение за промежуток времени от t₀ до t₁, чем меньше длительность этого промежутка. Предел средней скорости за промежуток времени от t₀ до t₁ при t₁, стремящимся к t₀, называется мгновенной скоростью V(t₀) в момент времени t₀, т.е.:

КР – КФЗ – 0313092-624-02

ЛИСТ

4

КР – КФЗ – 0313092-624-02

ЛИСТ

3

КР – КФЗ – 0313092-624-02

ЛИСТ

5

КР – КФЗ – 0313092-624-02

ЛИСТ

7

КР – КФЗ – 0313092-624-02

ЛИСТ

6

2. Производная функции

В рассмотренных выше задачах различные физические величины вводились с помощью некоторого предела одного и того же вида. Поэтому имеет смысл рассмотреть предел для функции в общем случае.

Определение. Пусть задана функция f(x), x Є(a; b), и пусть х₀ – некоторая точка интервала (a; b). Предел называется производной функции f(x) в точке x₀ и обозначается f ′ (x₀). Таким образом, по определению:

f ′ (x₀) =

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием и обозначается с помощью штриха.

Если ввести приращение аргумента х = х – х₀ и приращение функции f = f(x) – f(x₀) = f(x₀ + x) – f(x₀), то производная функции f(x) в точке x₀ запишется в виде:

f ′ (x₀) =

Часто для обозначения производной вместо штриха используется символ .

Так как х₀ – произвольное значение аргумента, то будем обозначать его просто Х. Тогда:

f ′ (x) =

Возвращаясь к рассмотренным выше задачам, можем теперь сказать, что искомые величина мгновенной скорости движения V(t) является производной от соответствующей функции:

V(t) = x ′ (t)

3. Физический и геометрический смысл производной.

Дадим геометрическое истолкование производной. Пусть кривая К является графиком непрерывной функции у = f(x), x Є [a; b] (рис. 2). На кривой К рассмотрим точки М₀(х₀; у₀) и М₁(х₁; у₁) и проведем секущую М₀М₁. Ее угловой коэффициент k = tg равен:

Пусть теперь , т.е. абсцисса точки М₁ стремиться к абсциссе точки М₀, оставаясь на кривой К. При этом секущая М₀М₁, вообще говоря, меняет свое положение, вращаясь вокруг точки М₀, т.е. изменяет угол .

) Если функция f(x) дифференцируема в точке х₀, то существует предел:

=

и следовательно, существует прямая М₀Т, являющаяся предельным положением секущей при приближении точки М₁ по кривой к М₀. Эта прямая называется касательной к кривой К в точке М₀.

Таким образом, если функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀, то ее график имеет касательную в точке М₀(х₀; f(x₀)), угловой коэффициент которой равен . Сказанное позволяет дать следующее геометрическое истолкование производной: производной функции у = f(x) в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М₀(х₀; f(x₀)).

4. Вычисление производной на основе ее определения.

Исходя из определения производной сформулируем следующее правило нахождения производной функции в точке:

Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x₀ нужно:

1) Найти f(x) - f(x₀);

2) составить разностное отношение ;

3) вычислить предел разностного отношения при :

.

5. Непрерывность дифференцируемой функции.

Сформулируем и докажем необходимое условие существования производной.

Теорема: Если функция f(x) имеет производную в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.