85459 (Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов), страница 2

Нетрудно убедится, что эти формулы в точности соответствуют формулам (11).

3.1.1.2. Примеры.

1) Дана некоторая диаграмма касательных усилий (на пальце кривошипа) для некоторой паровой машины. В связи с вопросом о крутильных колебаниях вала представляет интерес выделить гармонические составляющие касательного усилия Т как функции от угла поворота кривошипа. Сняв с графика двенадцать равноотстоящих ординат, произведем гармонический анализ по указанной схеме:

Теперь по формулам (12):

Таким образом,

Объединим члены, содержащие косинус и синус одного и того же угла:

Мы видим, что наиболее сильное влияние здесь оказывает вторая гармоника.

2) Для того чтобы дать себе отчет в том, с какой примерно точностью получаются коэффициенты Фурье функции по двенадцати ординатам ее графика, мы приложим изложенный метод к некоторым аналитически заданным функциям и сравним приближенные результаты с точными.

Сначала рассмотрим функцию , которую в промежутке

задается формулой

,

А для остальных значений x определяется по закону периодичности

.

Вычислим табличку:

При этом можно использовать легко проверяемое тождество:

По схеме Рунге по этим значениям yнайдем:

b1=0.608; b2=0.076; b3=0.022;

все числа , а с ними и все коэффициенты

оказываются нулями.

В то же время формулы (10) непосредственно дают (с помощью трехкратного интегрирования по частям):

,

Так что

;

;

.

Совпадение превосходное!

3) Однако далеко не всегда получается столь точный результат. В виде второго примера мы возьмем функцию с периодом , которая в промежутке

определяется так:

.

Пользуясь тождеством:

,

составим таблицу:

Тогда по схеме Рунге

числа же и коэффициенты

- на этот раз нули. Точные значения коэффициентов будут:

в частности,

;

;

.

Таким образом, если для первых двух коэффициентов относительная погрешность не превосходит 1,5-2 %, то для последующих она достигнет10% и даже 20%! Ясно, что для повышения этой точности нужно брать больше ординат.

3.1.1.3. Схема для двадцати четырех ординат.

Положим теперь, что даны или сняты с графика двадцать четыре ординаты:

,

отвечающие значениям аргумента:

,

или

.

На этот раз все множители, на которые при приближенном вычислении коэффициентов Фурье приходится умножать ординаты, сведутся к таким:

Не вдаваясь в подробности (ввиду полной аналогии с предыдущим), приведем сразу схему вычислений, также предложенную Рунге. Ввиду вышеизложенного опыта следующая схема идет без пояснений. Вот она:

Отметим, что с величинами q и r нет надобности проделывать сложения и вычитания.

Теперь через полученные указанным путем величины k, l, m, n, q и r коэффициентов Фурье выразятся следующим образом: