85122 (Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений)

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

1. Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения

, где

- алгебраическая или трансцендентная функция.

Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).

В общем случае решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:

1) отделение (локализация) корня;

2) приближённое вычисление корня до заданной точности.

2. Отделение корня.

Отделение действительного корня уравнения

- это нахождение отрезка

, в котором лежит только один корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации) корня.

Наиболее удобным и наглядным является графический метод отделения корней:

1) строится график функции , и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью

, которые и являются корнями уравнения

;

2) если - сложная функция, то её надо представить в виде

так, чтобы легко строились графики функций

и

. Так как

, то

. Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения

.

Пример. Графически отделить корень уравнения

.

Р ешение. Представим левую часть уравнения в виде

. Получим: Построим графики функций

и

.

Абсцисса точки пересечения графиков находится на отрезке

, значит корень уравнения

.

3. Уточнение корня.

Если искомый корень уравнения

отделён, т.е. определён отрезок

, на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.

Такая задача называется задачей уточнения корня.

Уточнение корня можно производить различными методами:

1) метод половинного деления (бисекции);

2) метод итераций;

3) метод хорд (секущих);

4) метод касательных (Ньютона);

5) комбинированные методы.

4. Метод половинного деления (бисекции).

Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.

Такой метод можно применять, если функция

непрерывна на отрезке

и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие

(1).

Разделим отрезок

пополам точкой

, которая будет приближённым значением корня

.

Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.

Из отрезков

и

выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).

В нашем случае это отрезок

, где

.

Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим

и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность

. Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства

.

Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).

Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.

Пример. Решить уравнение

методом половинного деления с точностью до 0,001.

Решение.

Известен отрезок изоляции корня

и заданная точность

. По уравнению составим функцию

.

Найдём значения функции на концах отрезка:

,

.

Проверим выполнение неравенства (1): - условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.

Найдём середину отрезка и вычислим значение функции в полученной точке:

,

.

Среди значений

и

выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это

и

. Следовательно, из отрезков

и

выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок

и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:

,

,

,

- заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.

,

,

,

.

,

,

,

.

,

,

,

.

,

,

,

.

,

,

,

.

,

,

,

.

,

,

,

.

,

,

,

.

,

- заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня

.

Ответ: корень уравнения с точностью до 0,001.

5. Метод хорд (секущих).

Этот метод применяется при решении уравнений вида , если корень уравнения отделён, т.е.

и выполняются условия:

1) (функция

принимает значения разных знаков на концах отрезка

);

2) производная сохраняет знак на отрезке

(функция

либо возрастает, либо убывает на отрезке

).

Первое приближение корня находится по формуле: .

Для следующего приближения из отрезков и

выбирается тот, на концах которого функция

имеет значения разных знаков.

Тогда второе приближение вычисляется по формуле:

, если

или

, если

.

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.

6. Метод касательных (Ньютона).

Этот метод применяется, если уравнение имеет корень

, и выполняются условия:

1) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка

);

2) производные и

сохраняют знак на отрезке

(т.е. функция

либо возрастает, либо убывает на отрезке

, сохраняя при этом направление выпуклости).

На отрезке выбирается такое число

, при котором

имеет тот же знак, что и

, т. е. выполняется условие

. Таким образом, выбирается точка с абсциссой

, в которой касательная к кривой

на отрезке

пересекает ось

. За точку

сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Первое приближение корня определяется по формуле: .

Второе приближение корня определяется по формуле: .

Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности - до выполнения неравенства

.

Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.

Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.

7. Комбинированный метод хорд и касательных.

Если выполняются условия:

1) ,

2) и

сохраняют знак на отрезке

,

то приближения корня уравнения

по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.

Схема решения уравнения методом хорд и касательных

Вычислить значения функции и

.

Проверить выполнение условия . Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок

.

Найти производные и

.

Проверить постоянство знака производных на отрезке . Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок

.

Для метода касательных выбирается за тот из концов отрезка

, в котором выполняется условие

, т.е.

и

одного знака.

Приближения корней находятся:

а) по методу касательных: ,

б) по методу хорд: .

Вычисляется первое приближение корня: .

Проверяется выполнение условия: , где

- заданная точность.

Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.

В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид . Приближённые значения корня находятся по формулам:

и

.

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение , при котором

и

совпадут с точностью

.

Пример. Решить уравнение методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения

.

Решение.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

,

.

Проверим выполнение условия: - условие выполняется.

Найдём производные: и

.

На отрезке производные

и

, т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.

Выберем значение для метода касательных. Т.к.

и

, то

.

Найдём приближения корня:

а) по методу касательных:

б) по методу хорд: .

Найдём первое приближение корня: .

Проверим выполнение условия: - условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.

Отрезок изоляции корня имеет вид: .

10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:

,

.

11. Проверим условие: - выполняется, значит можно продолжить применение метода.

12. Так как и

на отрезке

, то для метода касательных:

.

13. Вычислим значение производной: .

14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:

,

.

15. Найдём второе приближение корня: .

16. Проверим выполнение условия: - неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.

17. Отрезок изоляции корня имеет вид: .

18. Вычислим значения функции:

,

.

19. Условие - выполняется.

20. Так как и

на

, то для метода касательных