2200 (Основы линейной алгебры на примере балансовой модели)

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

Обозначим через x_i валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через y_i – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).

Таким образом, разность x_i - y_i составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через x_ik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере х_k.

Таблица 1

№ потребление итого на конечный валовый

отрас. внутре продукт выпуск

производ. ( у_i ) ( х_i )

№ 1 2 … k … n потребление

отрас. ( å х_ik )

1 х₁₁ х₁₂ … х_1k … х_1n å х_1k у₁ х₁

2 х₂₁ х₂₂ … х_2k … х_2n å х_2k у₂ х₂

… … … … … … … … … …

i х_i1 x_i2 … x_ik … x_in å x_ik y_i x_i

… … … … … … … … … …

n x_n1 x_n2 … x_nk … x_nn å x_nk y_n x_n

итого

произв.

затраты å х_i1 å x_i2 … å x_ik … å x_in

в k-ю

отрасль

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :

х₁ - ( х₁₁ + х₁₂ + … + х_1n ) = у₁

х₂ - ( х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n ) = у₂ ( 1 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x_n - ( x_n1 + x_n2 + … + x_nn ) = y_n

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом ( х^'_ik , y^'_i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y₁ , y₂ , … , y_n , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

_

у = ( у₁ , у₂ , … , y_n ) , ( 2 )

а совокупность значений x₁ , x₂ , … , x_n ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :

_

x = ( x₁ , x₂ , … , x_n ). ( 3 )

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х_k , содержат n² неизвестных x_ik , которые в свою очередь зависят от x_k.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины a_ik из соотношений :

x_ik

a_ik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ).

x_k

Величины a_ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

x^'_ik x_ik

––– = ––– = a_ik = const ( 4 )

x^'_k x_k

Исходя из этого предложения имеем

x_ik = a_ikx_k , ( 5 )

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x_k. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n

A= ………………….

a_i1 a_i2 … a_ik … a_in

a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы a_ik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения x_ik = a_ik = x_k во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

x₁ - ( a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ) = y₁

x₂ - ( a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n ) = y₂ ( 6 )

……………………………………

x_n - ( a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n ) = y_n ,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

_ _ _

Е·х - А·х = У , или окончательно

_ _

( Е - А )·х = У , ( 6' )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

1-a₁₁ -a₁₂ … -a_1n

E - A= -a₂₁ 1-a₂₂ … -a_2n

…………………

-a_n1 -a_n2 … 1-a_nn

Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( x_i и y_i ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y₁ , y₂ , … , y_n ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х₁ , х₂ , … х_n ).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

табл.2

№ отрас Потребление Итого Конечный Валовый

№ затрат продукт выпуск

отрас 1 2

0.2 0.4

1 100 160 260 240 500

0.55 0.1

2 275 40 315 85 400

Итого затрат 575

в k-ю 375 200

отрасль … 575

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275 40

а₁₁ = –––– = 0.2 ; а₁₂ = –––– = 0.4 ; а₂₁ = –––– = 0.55 ; а₂₂ = –––– = 0.1

500 400 500 400

Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

х₁ - 0.2х₁ - 0.4х₂ = у₁

х₂ - 0.55х₁ - 0.1х₂ = у₂

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х₁ и х₂ при заданных значениях у₁ и у₂, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у₁=240 и у₂=85, получим х₁=500 и х₂=400, задавшись у₁=480 и у₂=170, получим х₁=1000 и х₂=800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6' )

А= , то Е - А =

0.6 0.9 -0.6 0.1

запишется в виде 0.1 -0.8 х₁ у₁ или в развернутой форме

-0.6 0.1 х₂ у₂

0.1х₁ - 0.8х₂ = у₁ ( a )

-0.6х₁ + 0.1х₂ = у₂

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х₁ - 0.7х₂ = у₁ + у₂,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х₁ и х₂, если только у₁>0 и у₂>0 ( кроме х₁=х₂=0 при у₁=у₂=0 ).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.

Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.