6870-1 (Транспортная задача линейного программирования), страница 5

Критерий оптимальности базисного решения транспортной задачи. Методы отыскания оптимального решения.

Из сказанного в предыдущем пункте вытекает следующий кри­терий оптимальности базисного решения транспортной задачи: если для некоторого базисного плана перевозок алгебраические суммы тарифов по циклам для всех свободных клеток неотрицательны, то этот план оптимальный.

Отсюда вытекает способ отыскания оптимального решения транспортной задачи, состоящий в том, что, имея некоторое базис­ное решение, вычисляют алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток. Если критерий оптимальности выполнен, то дан­ное решение является оптимальным; если же имеются клетки с отрицательными алгебраическими суммами тарифов, то переходят к новому базису, производя пересчет по циклу, соответствующему одной из таких клеток. Полученное таким образом новое базисное решение будет лучше исходного – затраты на его реализацию будут меньшими. Для нового решения также проверяют выполнимость критерия оптимальности и в случае необходимости снова совершают пересчет по циклу для одной из клеток с отрицательной алгебраиче­ской суммой тарифов и т. д.

Через конечное число шагов приходят к искомому оптимальному базисному решению.

В случае если алгебраические суммы тарифов для всех свобод­ных клеток положительны, мы имеем единственное оптимальное решение; если же алгебраические суммы тарифов для всех свобод­ных клеток неотрицательны, но среди них имеются алгебраические суммы тарифов, равные нулю, то оптимальное решение не единствен­ное: при пересчете по циклу для клетки с нулевой алгебраической суммой тарифов мы получим оптимальное же решение, но от­личное от исходного (затраты по обоим планам будут одина­ковыми).

В зависимости от методов подсчета алгебраических сумм тари­фов для свободных клеток различают два метода отыскания опти­мального решения транспортной задачи:

Распределительный метод. При этом методе для каждой пустой клетки строят цикл и для каждого цикла непосредственно вычисляют алгебраическую сумму тарифов.

Метод потенциалов. При этом методе предварительно находят потенциалы баз и потребителей, а затем вычисляют для каждой пустой клетки алгебраическую сумму тарифов с помощью потен­циалов.

Преимущества метода потенциалов по сравнению с распредели­тельным методом состоят в том, что отпадает необходимость построения циклов для каждой из пустых клеток и упрощается вычисление алгебраических сумм тарифов. Цикл строится только один – тот, по которому производится пересчет.

Применяя метод потенциалов, можно говорить не о знаке алгебраических сумм тарифов, а о сравнении косвенных тарифов с истинными. Требование неотрицательности алгебраических сумм тарифов заменяется условием, что косвенные тарифы не превосхо­дят истинных.

Следует иметь в виду, что потенциалы (так же как и циклы) для каждого нового базисного плана определяются заново.

Выше рассматривалась закрытая модель транспортной задачи, с правильным балансом, когда выполняется условие (1.3). В случае выполнения (1.4) (открытая модель) баланс транспортной задачи может нарушаться в 2-ух направлениях:

1. Сумма запасов в пунктах отправления превышает сумму поданных заявок (транспортная задача с избытком запасов):

аi > bj ( где i=1,...,m ; j=1,...,n );

2. Сумма поданных заявок превышает наличные запасы (транспортная задача с избытком заявок):

аi < bj ( где i=1,...,m ; j=1,...,n );

Рассмотрим последовательно эти два случая:

Транспортная задача с избытком запасов.

Сведем её к ранее рассмотренной транспортной задаче с правильным балансом. Для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения В1, B2, ... , Bn, введём ещё один, фиктивный, пункт назначения Bn+1, которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками

bn+1 = аi - bj ( где i=1,...,m ; j=1,...,n ) ,

а стоимость перевозок из всех пунктов отправления в фиктивный пункт назначения bn+1 будем считать равной нулю. Введением фиктивного пункта назначения B n+1 с его заявкой b n+1 мы сравняли баланс транспортной задачи, и теперь ее можно решать, как обычную транспортную задачу с правильным балансом.

Транспортная задача с избытком заявок.

Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с правильным балансом, если ввести фиктивный пункт отправления Am+1 с запасом am+1 равным недостающему запасу, и стоимость перевозок из фиктивного пункта отправления во все пункты назначения принять равной нулю.

Задача, двойственная к транспортной.

Построим задачу, двойственную к транспортной. С этой целью вспомним, что каждому пункту отправления и назначения отвечает определенное огра­ничение

(6.1)

В то же время каждому ограничению из (6.1) сопоставляется определенная неизвестная в двойствен­ной задаче. Тем самым устанавливается соответствие между всеми пунктами и и всеми неиз­вестными двойственной задачи.

Обозначим неизвестную в двойственной задаче, отвечаю­щую пункту отправления , через , а пункту назначения – через .

Каждому неизвестному в транспортной задаче соответ­ствует ограничение, связывающее неизвестные в двойственной задаче. Неизвестное входит ровно в два ограничения системы (6.1): одно из них отвечает пункту , а другое – пункту . В обоих этих уравнениях коэффициент при равен 1. Поэтому соответствующее ограничение в двой­ственной задаче имеет вид

(6.2)

.

Правая часть неравенства (6.2) равна , потому что именно с этим коэффициентом неизвестная входит в миними­зируемую формулу (2.4).

Оптимизируемая форма двойственной задачи имеет вид

(6.3)

Таким образом, задача двойственная к транспортной форму­лируется следующим образом. При ограничениях (6.2) макси­мизировать формулу (6.3). Подчеркнем, что знак значений неиз­вестных и может быть произвольным.

Предположим, что нам известно некоторое допустимое базисное решение транспортной задачи, в котором все базис­ные неизвестные строго положительны. Это решение оптимально лишь в том случае, когда соответствующая ей система оказывается совместной. Эта система возникает из системы (6.2), если в ней все неравенства, отвечающие базисным неизвестным заменить точными равенствами.

В итоге приходим к соотношению:

(6.4)

(для всех свободных неизвестных )

Тем самым мы убеждаемся, что признак оптимальности в работе по методу потенциалов совпадает с необходимым и достаточ­ным условием оптимальности.

7.Пример решения транспортной задачи.

В городе N имеется 4 склада Аi, на которых хранится ткань (в рулонах) и 5 магазинов Bj, занимающихся продажей ткани. Ниже, в таблице, приведены данные по количеству рулонов на каждом складе, запросы магазинов и стоимость перевозки одного рулона из Аi в Bj. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы магазинов будут удовлетворены при минимальной суммарной стоимости перевозок.

Магазины Склад	B1 (b1=40)	B2 (b2=50)	B3 (b3=15)	B4 (b4=75)	B5 (b5=40)
А1 (а1=50)	1,0	2,0	3,0	2,5	3,5
А2(а2=20)	0,4	3,0	1,0	2,0	3,0
А3(а3=75)	0,7	1,0	1,0	0,8	1,5
А4(а4=80)	1,2	2,0	2,0	1,5	2,5

В данном случае Σai=225 >Σbj=220 => имеем дело с открытой моделью транспортной задачи. Сведем ее к закрытой введением фиктивного магазина B6 с потребностью b5=225-220=5 и стоимостью перевозок сi6=0.Имеем таблицу:

Магазины Склад	B1 (b1=40)	B2 (b2=50)	B3 (b3=15)	B4 (b4=75)	B5 (b5=40)	B6 (b6=5)
А1 (а1=50)	1,0	2,0	3,0	2,5	3,5	0
А2(а2=20)	0,4	3,0	1,0	2,0	3,0	0
А3(а3=75)	0,7	1,0	1,0	0,8	1,5	0
А4(а4=80)	1,2	2,0	2,0	1,5	2,5	0

Математическая модель: обозначим xij – количество товара, перевозимого из Аi в Bj. Тогда

x11 x12 x13 x14 x15 x16

x21 x22 x23 x24 x25 x26

X = x31 x32 x33 x34 x35 x36 - матрица перевозок.

x41 x42 x43 x44 x45 x46

min(x11+2x12+3x13+2,5x14+3,5x15+0,4x21+3x22+x23+2x24+3x25+0,7x31+x32+x33+0,8x34+1,5x35++1,2x41+2x42+2x43+1,5x44+2,5x45) (1)

x 11+x12+x13+x14+x15+x16=50

x21+x22+x23+x24+x25+x26=20

x31+x32+x33+x34+x35+x36=75

x41+x42+x43+x44+x45+x46=80

x11+x21+x31+x41=40 (2)

x12+x22+x32+x42=50

x13+x23+x33+x43=15

x14+x24+x34+x44=75

x15+x25+x35+x45=40

x16+x26+x36+x46=5

xij≥0 (i=1,2,3,4 ; j=1,2,3,4,5,6 ) (3)

Двойственная ЗЛП:

max(50u1+20u2+75u3+80u4+40v1+50v2+15v3+75v4+40v5+5v6) (1*)

u₂+v₁≤0,4

u₂+v₂≤3

u₂+v₃≤1

u₂+v₄≤2

u₂+v₅≤3

u₂+v₆≤0

u₃+v₁≤0,7