309875 (Решение задач линейного программирования транспортной задачей), страница 2

3. Математическая постановка задачи

Пусть X_ij - количество груза перевозимого из пункта i в пункт j.

А1=40; А2=50; В1=20; В2=30; В3=40;

3 5 7

С = 4 6 10

Таблица 5

Начальные параметры

	B1		B2			B3
A1		3			5		7
								40
A2		4			6		10	50
	20		30			40

Целевая функция имеет вид:

Ограничение по запасам:

Х₁₁ + Х₁₂ + Х₁₃ <= 40

Х₂₁ + Х₂₂ + Х₂₃ <= 50

X_ij>=0

Ограничение по спросу:

Х₁₁ + Х₂₁ <= 20

Х₁₂ + Х₂₂ <= 30

Х₁₃ + Х₂₃ <= 40

Этапы решения транспортной задачи:

1. Получение начального решения

2. Проверка решений на оптимальность

3. Усовершенствование несовершенных решений

Интуитивный подход.

Проверка на оптимальность и пересмотр несовершенных решений предусматривает анализ каждой пустой ячейки. Это выполняется так: одна единица перемещается в пустую ячейку и рассматривается влияние этого перемещения на стоимость. Если стоимость увеличилась, то это значит, что использование ячейки увеличило бы общие затраты. Если стоимость осталась не изменой, это значит альтернативный план с той же общей стоимостью. Если анализ показывает уменьшение – это значит возможно лучшее решение.

Таблица 6

Заполнение ячеек

	B1		B2			B3
A1		3			5			7
	20		20						40
A2		4			6			10		50
			10			40
	20		30			40

Целевая функция:

Z=3*20+5*20+6*10+10*40=60+100+60+400=620

4. Решение задачи

4.1 Математическое решение задачи

Условие задачи:

Три предприятия данного экономического района могут производить однородную продукцию, в количествах соответственно равных А1, А2 и А3 единиц. Эта продукция должна быть поставлена 5-и потребителям в количествах, соответственно равных В1, В2, В3, В4 и В5 единиц. Затраты связанные с производством и доставкой продукции, задаются матрицей С.

А1=180; А2=350; А3=20

В1=110; В2=90; В3=120; В4=80; В5=150

Таблица 7

Индексы матрицы

	В1	В2	В3	В4	В5
А1	7	12	4	6	5
А2	1	8	6	5	3
А3	6	13	8	7	4

Таблица 8

Первоначальное заполнение ячеек

	7		12		4		6			5	180
110		70
	1		8		6		5			3	350
		20		120		80			130
	6		13		8		7			4	20
									20
110		90		120		80			150

Найдем целевую функцию:

Z=110*7+70*12+20*8+120*6+80*5+130*3+20*4=3360

Таблица 9

Первое оценивание ячеек

1-С			1-D			1-E			2-A
+4	-12		+6	-12		+5	-12		+1	-7
+8	-6		+8	-5		+8	-3		+12	-8
-6			-3			-2			0

3-A

3-B

3-C

3-D

+6

-7

+13

-8

+8

-6

+7

-5

+12

-8

+3

-4

+3

-4

+3

-4

+6

-5

+4

+1

+1

+3

-4

+3

Таблица 10

Редактирование таблицы от оцененной ячейки

	7			12			4			6			5	180
110					70
	1			8			6			5			3	350
		90			50			80			130
	6			13			8			7			4	20
											20
110		90			120			80			150

Повторим для результата нахождение целевой функции с новыми параметрами:

Z=110*7+70*4+90*8+50*6+80*5+130*3+20*4=2940

Таблица 11

Второй шаг оценки ячеек

1-B				1-D					1-E					2-A
+12	-4			+6	-4				+5	-4				+1	-7
+6	-8			+6	-5				+6	-3				+4	-6
6		3			4				-8
3-A				3-B					3-C					3-D
+6	-7			+13	-8				+8	-6				+7	-5
+4	-6			+3	-4				+3	-4				+3	-4
+3	-4			+4		+1			+1
-4

Таблица 12

Шаг третий

	7		12		4		6		5	180
60				120
	1		8		6		5		3	350
50		90				80		130
	6		13		8		7		4	20
								20
110		90		120		80		150

Находим целевую функцию

Z=60*7+120*4+50+90*8+80*5+130*3+20*4=2540

Таблица 13

Оценивание ячеек на шаге 3

1-B				1-D					1-E					2-A
+12	-7			+6	-7				+5	-7				+6	-1
+1	-8			+1	-5				+1	-3				+7	-4
-2		-5			-4				8
3-C				3-A					3-B					3-D
+8	-4			+6	-1				+13	-8				+7	-5
+7	-1			+3	-4				+3	-4				+3	-4
+3	-4			+4		+4			+1
+7

Таблица 14

Четвертый шаг

	7		12		4			6			5		180
				120		60
	1		8		6			5			3		350
110		90				20			130
	6		13		8			7			4		20
									20
110		90		120		80			150

Z=120*4+60*6+110+90*8+20*5+130*3+20*4=2240

Таблица 15

Оценивание ячеек на 4 шаге

1-A				1-B					1-E					2-C
+7	-6			+12	-8				+5	-6				+6	-5
+5	-1			+5	-6				+5	-3				+6	-4
5		3			1				3
3-C				3-A					3-B					3-D
+8	-4			+6	-1				+13	-8				+7	-5
+6	-5			+3	-4				+3	-4				+3	-4
+3	-4			+4		+4			+1
+4

4.2 Решение задачи с помощью Microsoft Excel

Программным продуктом, незаменимым в офисной работе, является электронная таблица Microsoft Excel. При помощи этого продукта можно анализировать большие массивы данных. В Excel можно использовать более 400 математических, статистических, финансовых и других специализированных функций, связывать различные таблицы между собой, выбирать произвольные форматы представления данных, создавать иерархические структуры. Воистину безграничны методы графического представления данных: помимо нескольких десятков встроенных типов диаграмм, можно создавать свои, настраиваемые типы, помогающие наглядно отразить тематику диаграммы. Те, кто только осваивает работу с Excel, по достоинству оценят помощь "мастеров" - вспомогательных программ, помогающих при создании диаграмм.

Рисунок 1. Создание общей таблицы

Рисунок 2. Поиск решения

Рисунок 3. Добавление ограничений

Рисунок 4. Вывод целевой функции

4.3 Листинг программы

program PTransport;

uses

Forms,

UTransport in 'UTransport.pas' {Form1};

{$R *.RES}

begin

Application.Initialize;

Application.CreateForm(TForm1, Form1);

Application.Run;

end.

object Form1: TForm1

Left = 192

Top = 107

Width = 522

Height = 332

Caption = 'Транспортная задача 1.0 Beta'

Color = clBtnFace

Font.Charset = DEFAULT_CHARSET

Font.Color = clWindowText

Font.Height = -11

Font.Name = 'MS Sans Serif'

Font.Style = []

OldCreateOrder = False

PixelsPerInch = 96

TextHeight = 13

object Label1: TLabel

Left = 8

Top = 8

Width = 36

Height = 13

Caption = 'Строки'

end

object Label2: TLabel

Left = 72

Top = 8

Width = 44

Height = 13

Caption = 'Столбцы'

end

object SpinEdit1: TSpinEdit

Left = 8

Top = 24

Width = 49

Height = 22

MaxValue = 10

MinValue = 2

TabOrder = 0

Value = 2

end

object SpinEdit2: TSpinEdit

Left = 72

Top = 24

Width = 49

Height = 22

MaxValue = 10

MinValue = 2

TabOrder = 1

Value = 2

end

object Button1: TButton

Left = 48

Top = 56

Width = 75

Height = 25

Caption = 'Создать'

TabOrder = 2

OnClick = Button1Click

end

object Button2: TButton

Left = 144

Top = 16

Width = 50

Height = 25

Caption = 'Ввод'

TabOrder = 3

Visible = False

OnClick = Button2Click

end

object Memo1: TMemo

Left = 144

Top = 56

Width = 185

Height = 177

ReadOnly = True

TabOrder = 4

Visible = False

end

end

unit UTransport;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

StdCtrls, Spin, Mask;

type

TForm1 = class(TForm)

SpinEdit1: TSpinEdit;

SpinEdit2: TSpinEdit;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Button1: TButton;

Button2: TButton;

Memo1: TMemo;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure Button2Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

c, x : Array [1..10, 1..10] of Integer;

a, b : Array [1..10] of Integer;

F : Integer;

implementation

{$R *.DFM}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

i, i1, j1, j : Byte;

s : TControl;

begin

Label1.Hide;

Label2.Hide;

SpinEdit1.Hide;

SpinEdit2.Hide;

Button1.Hide;

Button2.Show;

i:=SpinEdit2.Value;

j:=SpinEdit1.Value;

for i1:=1 to i do

for j1:=1 to j do

begin

s:=TMaskEdit.Create(Form1);

s.Width:=25;

s.Left:=i1*25;

s.Top:=j1*21;

s.Name:='Matrix'+IntToStr(j1)+IntToStr(i1);

(TControl(s) as TMaskEdit).Text:='';

(TControl(s) as TMaskEdit).EditMask:='999;0; ';

Form1.InsertControl(s);

end;

for i1:=1 to j do

begin

s:=TMaskEdit.Create(Form1);

s.Width:=25;

s.Left:=i*25+35;

s.Top:=i1*21;

s.Name:='Matrix'+'0'+IntToStr(i1);

(TControl(s) as TMaskEdit).Text:='';

(TControl(s) as TMaskEdit).EditMask:='999;0; ';

Form1.InsertControl(s);

end;

for j1:=1 to i do

begin

s:=TMaskEdit.Create(Form1);

s.Width:=25;

s.Left:=j1*25;

s.Top:=j*21+31;

s.Name:='Matrix'+IntToStr(j1)+'0';

(TControl(s) as TMaskEdit).Text:='';

(TControl(s) as TMaskEdit).EditMask:='999;0; ';

Form1.InsertControl(s);

end;

Button2.Left:=i*25+25-Button2.Width;

Button2.Top:=j*21+62;

Memo1.Show;

Memo1.Left:=i*25+75;

Memo1.Top:=21;

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

var

s : String;

i, j : Byte;

ss : TControl;

begin

for i:=0 to Form1.ComponentCount-1 do

if (Form1.Components[i] is TMaskEdit) then

begin

s:=Form1.Components[i].Name;

if (s[7]<>'0') and (s[8]<>'0') then

begin

ss:=(Form1.Components[i] as TControl);

c[StrToInt(s[8]),StrToInt(s[7])]:=StrToInt((ss as TMaskEdit).Text);

end

else

if (s[7]='0') then

begin

ss:=(Form1.Components[i] as TControl);

a[StrToInt(s[8])]:=StrToInt((ss as TMaskEdit).Text);

end

else

if (s[8]='0') then

begin

ss:=(Form1.Components[i] as TControl);

b[StrToInt(s[7])]:=StrToInt((ss as TMaskEdit).Text);

end

end;

s:='';

Memo1.Lines.Add('Начальные данные');

for j:=1 to SpinEdit1.Value do

begin

for i:=1 to SpinEdit2.Value do

s:=s+IntToStr(c[i, j])+' ';

s:=s+IntToStr(a[j]);

Memo1.Lines.Add(s);

s:='';

end;

for i:=1 to SpinEdit2.Value do

s:=s+IntToStr(b[i])+' ';

Memo1.Lines.Add(s);

for i:=1 to SpinEdit1.Value do

for j:=1 to SpinEdit2.Value do

x[i,j]:=-1;

i:=1;

j:=1;

Repeat

if a[i]>b[j] then

begin

x[j,i]:=b[j];

a[i]:=a[i]-b[j];

b[j]:=0;

Inc(j);

end

else

begin

x[j,i]:=a[i];

b[j]:=b[j]-a[i];

a[i]:=0;

Inc(i);

end;

Until (i>SpinEdit1.Value) and (j>=SpinEdit2.Value);

Memo1.Lines.Add('');

s:='';

for j:=1 to SpinEdit1.Value do

begin

for i:=1 to SpinEdit2.Value do

if x[i,j]>=0 then

s:=s+IntToStr(x[i, j])+' '

else

s:=s+'0 ';

Memo1.Lines.Add(s);

s:='';

end;

for i:=1 to SpinEdit2.Value do

for j:=1 to SpinEdit1.Value do

if x[i,j]>0 then

F:=F+x[i,j]*c[i,j];

Memo1.Lines.Add('Результат: '+IntToStr(F));

end;

end.

4.4 Руководство пользователя

Пуск

Запуск из среды Pascal производится нажатием клавиш Ctrl+F9, а из Norton Commander нажатием клавиши Enter на файле Inform.exe.

Ввод данных

Ввод данных производится только с цифровой клавиатуры. Цифры от 0 до 9.

Просмотр результатов.

После ввода цифры (нужного пункта в меню) выводится требуемый результат и после просмотра результата нужно нажать Enter. Затем вновь появится меню на экране.

Выход из программы

Выход из программы в среде Pascal и после запуска PTransport.exe файла производится 0-ым пунктом меню.

5. Анализ результатов

При решении задачи были получены результаты удовлетворяющие условию:

Решая задачу математически, получили значения:

	7		12		4		6			5	180
				120		60
	1		8		6		5			3	350
110		90				20			130
	6		13		8		7			4	20
									20
110		90		120		80			150

Z=120*4+60*6+110+90*8+20*5+130*3+20*4=2240

При решении задачи в программе Excel получили значения:

В программе, созданной для решения задачи, получили тот же результат.

Соответственно можно сделать вывод, что задача была решена правильно.

Заключение

В курсовой работе изложены основные подходы и методы решения транспортной задачи, являющейся одной из наиболее распространенных задач линейного программирования. Решение данной задачи позволяет разработать наиболее рациональные пути и способы транспортирования товаров, устранить чрезмерно дальние, встречные, повторные перевозки. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий и фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т.д.

В данной курсовой работе поставлена задача: минимизировать затраты на транспортировку продукции потребителям. При выполнении курсовой работы были использованы знания по предметам: «Математические методы», «Пакеты прикладных программ». Решение было проведено с помощью пакетов прикладных программ Microsoft Excel и Microsoft Word. Результаты ручного просчёта сравнивались с результатами, полученными в Microsoft Excel.

Курсовая работа выполнена в полном объёме в соответствии с требованиями ГОСТ.

Список использованной литературы:

1. Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин «Задачи линейного программирования транспортного типа», Москва, 1993.

2. И.Л. Акулич, В.Ф. Стрельчонок «Математические методы и компьютерные технологии решения оптимизационных задач», Рига, 2000.

3. www.fmi.asf.ru

4. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. ”Высшая математика. Математическое программирование”, Минск, Вышейшая школа, 2001г.

5. Боборыкин В.А. Математические методы решения транспортных задач. Л.: СЗПИ, 1986

6. Геронимус Б.А. Экономико-математические методы в планировании наавтомобильном транспорте. М.: Транспорт, 1982

7. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощснко А. Б. Математическоепрограммирование. М.: Высшая школа, 1980

8. Красс М.С., Чупрынов Б.П. ”Основы математики и ее приложения в экономическом образовании”, Издательство “Дело”, Москва 2001г.

9. В.И. Ермаков “Общий курс высшей математики для экономистов”, Москва, Инфра-М, 2000г.

10. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования М.; Наука, 1976г.

11. Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.; Наука, 1986г.

12. Моисеев Н.Н., Иванов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.; Наука, 1978г.