48811 (Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины), страница 3

В полученной системе ₀=1, а ₈=0.

В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями «вперед», что в цифровой моделирующей среде может случиться и при непрерывном времени, соотношение между шагом по временной переменной и по пространственной должно подчиняться следующему неравенству: . При несоблюдении этого условия решение может оказаться численно неустойчивым.

2.3 Программирование для математического моделирования

Полученная в пункте 2.2 система дифференциальных уравнений, благодаря представлению искомых переменных в относительном виде, при максимальных напряжениях на выходах операционных блоков в 1 вольт и масштабных множителях, равных единице, специального расчета коэффициентов передач не требует. Коэффициенты по входам сумматоров будут такими же, как в уравнениях.

С хема соединения операционных блоков для этой задачи показана на рисунке 1.

Рисунок 1

2.4 Программирование задачи для метода аналогий

Если в окончательной системе дифференциальных уравнений, полученных в п. 4.2, каждое уравнение преобразовать по Лапласу и разрешить относительно переменной с индексом переменной в правой части, то получится система следующего вида:

,

где - ранее вычисленный коэффициент;

p - комплексный параметр, вызванный применением преобразования Лапласа к производной.

Рисунок 2

Аналогичное выражение получается для напряжений в пассивной электрической цепи, показанной на рисунке 2, если для входных и выходных напряжений использовать одинаковую индексацию.

Зависимость напряжения на внутреннем узле по отношению к общему проводу будет:

.

Если положить равными и , то достаточно при емкости С=1 мкФ выбрать сопротивление R=160 кОм. В этом случае =6.25 1/с.

Соединив такие ячейки (аналоги дифференциальных уравнений системы) в последовательную электрическую цепь, мы получаем аналоговую модель дифференциального уравнения теплопроводности, которая изображена на рисунке 3.

Р исунок 3

2.5 Моделирование и численное решение задачи

2.5.1 Решение задачи методом моделирования

Р исунок 4

Таблица 5.-Численное представление результатов моделирования

2.5.1 Решение задачи методом аналогий

Р исунок 5

Выводы

Рисунки 4 и 5, представляющие решение задачи теплопроводности двумя методами, оказались практически идентичными. Затраты на подготовку к моделированию в среде виртуальной гибридной вычислительной машины свелись к построению схем соединения операционных блоков и заданию их параметров. Самой громоздкой частью процесса решения задачи в частных производных, независимо от применяемых вычислительных средств, является построение аппроксимирующей математической модели.

Таким образом, использованию пакета схемотехнического моделирования и созданной в его среде виртуальной гибридной машине альтернативы, на наш взгляд, нет. По крайней мере, это справедливо для задач с числом уравнений до ста. Наибольшим достоинством такого решения состоит в наглядности, оперативности и точности получаемых результатов.