48805 (Решение задачи с помощью математической модели и средств MS Excel)

_{Содержание}

Введение

Условие задачи

Математическая модель задачи

Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек

Построение графика искомой функции средствами MS Excel

Вывод

Используемая литература

Введение

В данной работе требуется решить математическую задачу двумя способами, один - это привычный для нас вариант, с помощью математических исследований, а второй - с помощью специального офисного приложения MS Excel. Для этого нам необходимо:

составить математическую модель задачи,

определить исследуемую функцию, зависящую от одной переменной,

построить график заданной функции с помощью графического редактора MS Excel,

исследовать функцию по общей схеме, найти критические точки,

найти решение задачи,

сделать вывод, сравнить полученные результаты.

Условие задачи

Кривая полных издержек имеет вид (где х - объем производства). Рассчитать, при каком объеме производства средние издержки минимальны.

Математическая модель задачи

Целью любого производителя является максимизация прибыли. Главным препятствием к достижению этого является спрос на готовую продукцию и издержки производства.

Средние издержки - это издержки на единицу продукций.

Средние постоянные издержки (AFC) определяются путем деления суммарных постоянных издержек (TFC) на соответствующее количество произведенной продукций (Q).

AFC = TFC / Q

Так как постоянные издержки по определению не зависят от объема выпускаемой продукций, то и средние постоянные издержки будут уменьшаться с увеличением объема производства

Средние переменные издержки (AVC) определяются путем деления суммарных переменных издержек (TVC) на соответствующее количество произведенной продукций Q.

AVC = TVC / Q

AVC сначала падают, достигают своего минимума, а затем начинают расти. Такой наклон кривой объясняется законом убывающей доходности т.е. до четвертой единицы предельные издержки падают, следовательно и AVC так же будут падать, а начиная с пятой единицы как TVC так и AVC начинают возрастать.

Средние общие издержки (ATC) рассчитываются при помощи деления общих издержек TC на объем произведенной продукций Q или же соотношением AFC и AVVC для каждого из возможных способов производства.

ATC = TC / Q = AFC + AVC

Введем необходимые обозначения и составим исходную функцию от одной переменной.

Получим, что средние издержки будут вычисляться по формуле:

Т. е. исследуем функцию вида:

Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек

Воспользуемся общей схемой исследования функции.

1. Найти область определения

Областью определения будут числа больше 0, т.к объем производства должен быть положительным, т.е. . Получим, что

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

В нашем случае это невозможно, т.к , а решая квадратное уравнение вида получаем мнимые корни (т.е. дискриминант меньше 0), следовательно, точек пересечения с осями координат нет.

3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых или ). Координаты вершины параболы (3;

6), значит, при , и при .

4. Выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида.

Функция является функцией общего вида, т.к

5. Найдите асимптоты графика функции.

Функция не имеет вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

6. Найдите интервалы монотонности функции.

Для этого найдем первую производную от заданной функции:

Решим уравнение вида:

Получим, что в точке функция меняется, т.е. на промежутке функция монотонно убывает, а на возрастает.

7. Найти экстремумы функции.

Из пункта 6 следует, что точка является критической, т. е экстремумом. Причем, - точка минимума.

Найдем значение функции в критической точке:

8. Найти точки перегиба функции.

Для этого найдем вторую производную от заданной функции:

Производная второго порядка, целое постоянное число, значит, точек перегиба функция не имеет.

Таким образом, получим, что при объеме производства средние издержки будут минимальными.

Построение графика искомой функции средствами MS Excel

Для построения графика необходимо составить таблицу значений переменной и функции. Воспользуемся приложением MS Excel:

Таблица значений

На основании таблицы строим график функции: