48124 (Построение изображений ландшафта в реальном времени), страница 2

Рис. 2.1.4.2. Аксонометрическая проекция

Для того, чтобы найти соотношения между координатами (x, y, z) и (X, Y, Z) для любой точки в трехмерном пространстве, рассмотрим преобразование системы координат (x, y, z) в систему (X, Y, Z). Такое преобразование может быть задано двумя шагами:

• поворот системы координат относительно оси z на угол . Такой поворот описывается матрицей

;

• поворот новой системы координат (x, y, z) относительно оси x на угол - получение координаты (X, Y, Z). Матрица поворота:

.

Преобразование координат выражается произведением матриц

Это же преобразование можно записать в формульном виде:

2.1.5 Отображение в окне

При формировании изображения на экране монитора, как уже было сказано, необходимы дополнительные преобразования, поскольку система координат в плоскости проецирования может не совпадать с системой координат устройства отображения.

Пусть (Xэ, Yэ, Zэ) – это экранные координаты объектов в графическом устройстве отображения. Координаты проецирования обозначим как (X, Y, Z).

Преобразование координат проекции в экранные координаты можно представить как растяжение/сжатие и сдвиг:

.

Такое преобразование сохраняет пропорции объектов благодаря одинаковому коэффициенту растяжения/сжатия k для всех координат. Следует отметить, что для плоского отображения координату Z можно отбросить.

2.1.6 Алгоритм Z-буфера

После получения треугольников ландшафта (триангуляции равномерной сетки) и проецирования их на экранную плоскость следует построение изображения ландшафта. В процессе его построения для удаления невидимых поверхностей используется алгоритм Z-буфера.

Это один из простейших алгоритмов удаления невидимых поверхностей. Работает этот алгоритм в пространстве изображения. Идея Z-буфера является простым обобщением идеи о буфере кадра. Буфер кадра используется для запоминания атрибутов (интенсивности) каждого пикселя в пространстве изображения, Z-буфер - это отдельный буфер глубины, используемый для запоминания координаты Z (глубины) каждого видимого пикселя в пространстве изображения. В процессе работы глубина или значение Z каждого нового пикселя, который нужно занести в буфер кадра, сравнивается с глубиной того пикселя, который уже занесен в Z-буфер. Если это сравнение показывает, что новый пиксель расположен впереди пикселя, находящегося в буфере кадра, то новый пиксель заносится в этот буфер и, кроме того, производится корректировка Z-буфера новым значением Z. Если же сравнение дает противоположный результат, то никаких действий не производится. По сути, алгоритм является поиском по x и y наибольшего значения функции Z(x, у). Блок-схема алгоритма выглядит следующим образом:

Рис. 2.1.6.1. Блок-схема алгоритма Z-буфера

Как уже было отмечено, главное преимущество алгоритма — его простота. Так как габариты пространства изображения фиксированы, оценка вычислительной трудоемкости алгоритма не более чем линейна. Поскольку элементы сцены или картинки можно заносить в буфер кадра или в Z-буфер в произвольном порядке, их не нужно предварительно сортировать по приоритету глубины. Поэтому экономится вычислительное время, затрачиваемое на сортировку по глубине, например в алгоритме художника.

Существенным недостатком алгоритма является потребность в значительном объеме памяти. Но в связи с тем, что стоимость оперативной памяти постоянно снижается, и установка дополнительных модулей памяти на индивидуальном компьютере стала привычным делом, этому недостатку перестали уделять особое внимание.

Другой недостаток алгоритма Z-буфера состоит в трудоемкости устранения лестничного эффекта, а также реализации эффектов прозрачности и просвечивания. Но так как в этой работе не ставилась задача реализации этих эффектов, то использование алгоритма Z-буфера вполне обоснованно.

Математическое содержание алгоритма заключается в следующем: если известно уравнение плоскости, несущей каждый многоугольник, то вычисление глубины каждого пикселя на сканирующей строке можно проделать пошаговым способом. Уравнение плоскости имеет вид:

Для сканирующей строки , поэтому глубина пикселя на этой строке, у которого , равна

или

,

но , поэтому .

Нахождение же абсцисс точек пересечения горизонтали со сторонами треугольника (это единственный вид многоугольников, используемый при визуализации в данной работе) производится следующим образом:

• для всех сторон треугольника записываются параметрические уравнения вида

;

• затем для каждой стороны находится параметр t при пересечении с горизонталью :

;

• если , то рассчитывается абсцисса точки пересечения горизонтали со стороной треугольника:

.

Рис. 2.1.6.2. Поиск абсцисс точек пересечения горизонтали со сторонами треугольника

2.1.7 Освещение

В любом трёхмерном приложении использование какой-либо модели освещения всегда придаёт реалистичность обрабатываемой сцене. Как правило, в неё включается закон, по которому рассчитывается освещённость точки в пространстве, и метод закраски освещённого многоугольника. От выбора той или иной модели освещения зависит качество изображения, построенного компьютером, и скорость работы программы.

Обычно освещённость некоторой точки, принадлежащей грани в пространстве, складывается из рассеянной освещённости и диффузного отражения — потока света, отражающегося от поверхности объекта. Иногда к ним добавляют зеркальное отражение — поток света, отражающийся от внешней поверхности объекта под тем же углом, под которым он падал на эту поверхность. Однако в данной работе зеркальное отражение света не учитывается, так как расчёт интенсивности зеркального отражения, например по модели Фонга, требует немалых вычислительных затрат. Для него требуется рассчитывать угол между вектором наблюдения и вектором отражения и возводить косинус этого угла в некоторую степень, зависящую от свойств поверхности.

Диффузное отражение присуще матовым поверхностям. Матовой можно считать такую поверхность, размер шероховатостей которой настолько велик, что падающий луч рассеивается неравномерно во все стороны. Такой тип отражения характерен, например, для гипса, песка, бумаги. Диффузное отражение описывается законом Ламберта, согласно которому интенсивность отраженного света пропорциональна косинусу угла между направлением на точечный источник света и нормалью к поверхности.

Рис. 2.1.7.1. Матовая поверхность

,

где - интенсивность источника света, - коэффициент, который учитывает свойства материала поверхности. Интенсивность отраженного света не зависит от расположения наблюдателя.

Матовая поверхность имеет свой цвет. Наблюдаемый цвет матовой поверхности определяется комбинацией собственного цвета поверхности и цвета излучения источника света (в данной работе цвет излучения источника считается белым, поэтому учитывается только цвет поверхности).

Можно еще усовершенствовать модель отражения, если учесть, что энергия от точечного источника света уменьшается пропорционально квадрату расстояния. Использование такого правила вызывает сложности, поэтому на практике часто реализуют модель, выражаемую эмпирической формулой

_,

где R – расстояние от источника света до рассматриваемой точки поверхности, k – произвольная константа, предотвращающая деление на 0.

Для определения косинуса угла между вектором нормали к поверхности и вектором, определяющим положение источника света в пространстве, следует воспользоваться скалярным произведением. Пусть имеется вектор нормали и две точки – , принадлежащая поверхности, и , определяющая положение источника. Вектор, направленный от точки поверхности к источнику света, имеет следующие координаты: . Тогда

,

,

,

или

.

Следовательно

.

Однако в программе используются, как правило, единичные вектора нормалей, что в данном случае позволяет уменьшить количество требуемых вычислений. В итоге:

,

или, более развернуто,

.

Далее рассматриваются методы закрашивания поверхности, реализованные в данной работе.

2.1.7.1 Однотонная закраска (метод гранения)

Это наиболее простой и требующий наименьших вычислительных ресурсов метод закраски поверхности. Цвет всей поверхности рассчитывается согласно закону Ламберта. В результате, при малом количестве граней, многогранник выглядит именно как многогранник, так как цвета отдельных граней существенно отличаются. Тем не менее, создается эффект объемности изображения.

Метод гранения позволяет получать изображения, сравнимые по качеству с реальными объектами, лишь при выполнении следующих условий:

• источник света находится на большом расстоянии от объекта;

• наблюдатель находится на большом расстоянии от объекта;

• каждая грань тела является гранью многогранника, а не аппроксимирующей поверхностью;

• поверхность аппроксимирована большим числом небольших плоских граней.

Рис. 2.1.7.1.1. Изображение, полученное методом гранения

2.1.7.2 Метод Гуро

Этот метод предназначен для создания иллюзий гладкой криволинейной поверхности, описанной в виде многогранников или полигональной сетки с плоскими гранями. Если каждая плоская грань имеет один постоянный цвет, определенный с учетом отражения, то различные цвета соседних граней очень заметны, и поверхность выглядит именно как многогранник. Казалось бы, этот дефект можно замаскировать с помощью увеличения количества граней при аппроксимации поверхности, Но зрение человека имеет способность подчеркивать перепады яркости на границах смежных граней – такой эффект называется эффектом полос Маха. Поэтому для создания иллюзии гладкости нужно намного увеличить количество граней, что приводит к существенному замедлению визуализации.