46775 (Анализ алгоритмов нечисленной обработки данных)

Аннотация

Данный курсовой проект посвящен рассмотрению и изучению алгоритмов нечисленной обработки данных – линейный и двоичный поиск, а также упорядочение массива методом сортировки деревом. Алгоритмы реализованы на языке Turbo Pascal 7.0.

Содержание

1 Постановка задачи 3

2 Метод решения 4

2.1 Сортировка двоичным деревом 4

2.1.1 Организация массива в виде двоичного дерева 4

2.1.2 Простейший способ 4

2.1.3 Описание построения дерева 5

2.1.4 Описание сортировки деревом 6

2.2 Линейный поиск 7

2.3 Двоичный поиск 8

2.4 Метод оценки времени поиска 10

3 Алгоритмизация задачи 11

3.1 Ввод и вывод массива 11

3.2 Линейный поиск 12

3.3 Построение двоичного дерева 12

3.4 Сортировка двоичным деревом 13

3.5 Двоичный поиск 14

3.6 Запись в файл 15

4 Инструкции по пользованию программой 16

4.1 Руководство пользователя 16

4.2 Руководство программиста 16

4.2.2 Процедура Vivod 17

4.2.3 Процедура Save_To_File 17

4.2.4 Процедура Lin_Poisk 17

4.2.5 Процедура Dv_Poisk 17

4.2.6 Процедура Tree 18

4.2.7 Процедура Tree_Sort 18

4.3 Область и условия применения программы 18

5 Анализ результата 19

5.1 Линейный поиск 19

5.2 Двоичный поиск 20

5.3 Анализ сортировки деревом 22

Заключение 24

Список литературы 25

Приложение А 26

Приложение Б 29

1 Постановка задачи

Необходимо:

1) Создать набор входных данных длиной 16, 128, 512, 1024 элементов для программ поиска и сортировки. Для массива длиной, не превышающей 16 элементов, предусмотреть ввод элементов с клавиатуры, в остальных случаях – генератором случайных чисел.

2) Разработать алгоритм и программу упорядочения методом минимальной по памяти турнирной сортировки.

3) Разработать алгоритм и программу поиска заданного элемента в неупорядоченных массивах. Метод линейного и двоичного поиска.

4) Осуществить отладку программы на тестовых примерах.

5) Оценить время сортировки и поиска информации для массивов заданной длины.

Требования к программе:

1) основные алгоритмы оформить в виде подпрограмм;

2) программа должна быть самодокументированной;

Обеспечить формирование массива:

1) путем ввода элементов с клавиатуры при n≤16;

2) с помощью генератора случайных чисел при n>16;

2 Метод решения

2.1 Сортировка двоичным деревом

2.1.1 Организация массива в виде двоичного дерева

Чтобы облегчить поиск в массиве элемента с нужным значением признака, не обязательно упорядочивать его по этому признаку в линейную последовательность. Двоичным называется ориентированное дерево, у которого в каждую вершину, кроме одной, корня дерева, заходит одна дуга и из каждой вершины исходит не более двух дуг. Ветвью дерева называют поддерево, состоящее из некоторой дуги данного дерева, ее начальной и конечной вершин, а также всех вершин и дуг, лежащих на всех путях, выходящих из конечной вершины этой дуги.

2.1.2 Простейший способ

Сначала рассматривается весьма простой метод построения дерева, организующего массив. При этом методе, в известном смысле, отдаются на волю случая. Как будет видно, можно все же получить хорошие результаты, если в исходном состоянии массива значения признака, взятые в порядке возрастания номеров элементов, образуют хорошо перемешанную последовательность.

Первый элемент массива поместим в корень дерева. Со вторым элементом поступают так. Сравнивают значение p2 признака этого элемента со значением p1 признака элемента, помещенного в корень дерева (т.е первого элемента).

Если p2

Метод организации массива в виде двоичного дерева требует несколько больших затрат как на организацию массива, так и на поиск в нем нужного элемента, чем это минимально необходимо. Впрочем, это увеличение не столь существенно. Этот метод оптимален по порядку роста трудоемкости поиска в зависимости от размера массива. Это означает, что для данного метода, так же как и для оптимального, эта зависимость имеет вид c∙log n (с точностью до величин меньшего порядка роста) и разница заключается лишь в значении коэффициента пропорциональности c.

2.1.3 Описание построения дерева

Пусть каждый элемент исходного массива a состоит из двух полей: признака a[i,1] и собственно значения элемента a[i,2], где i – номер элемента в исходном массиве. Чтобы описать массив, упорядоченный в виде дерева, каждый элемент надо снабдить ещё, по меньшей мере двумя полями, содержащими номера элементов, расположенных в конце левой и правой дуг, исходящих из вершины, в которую помещён данный элемент. Этих двух дополнительных полей достаточно для построения дерева и для поиска в нем. Однако для других операций с деревом желательно иметь ещё одно поле, содержащее номер того элемента, к которому подвешен (безразлично, слева или справа) данный элемент. Пусть исходный массив уже содержит все необходимые поля, то есть, описан как

mas=array [1..n, 1..5] of integer,

но значения дополнительных полей a[i,3], a[i, 4] и a[i,5] перед началом работы алгоритма не определены. Называются эти поля соответственно левым, правым и обратным указателем. Если после окончания работы алгоритма левый (правый) указатель какого-либо элемента содержит нуль, это означает, что из вершины, в которую помещён данный элемент, не исходит левая (правая) дуга. Обратный указатель содержит нуль только для первого элемента, который помещён в корне дерева. Остальные детали процедуры ясны из приведённого в начале этого раздела словесного описания алгоритма.

2.1.4 Описание сортировки деревом

Имеются два массива: a – исходный и b – отсортированный. В массиве b элементы массива a расположены в порядке возрастания значения признака. Если у элемента есть левая ветвь, то элемент с наименьшим значением признака разыскивается на этой ветви. Если у элемента левой ветви нет, то он переносится в массив b, так как в массиве нет элемента с меньшим значением признака. После этого очередной элемент разыскивается в правой ветви, если она есть, или возвращается по обратному указателю. После возвращения к какому-либо элементу по левой или правой ветви дальнейшие действия идут так, как будто у этого элемента соответствующей ветви нет.

2.2 Линейный поиск

Для неупорядоченного исходного массива единственным способом нахождения заданного элемента в этом массиве является линейный поиск. Этот метод состоит в последовательном сравнении каждого элемента массива с заданным для поиска элементом. При линейном поиске иногда просматривается половина, а то и больше элементов исходного массива. Этот метод удобен и прост для массивов с меньшей длиной. Для массивов большей длины это метод вызывает затруднения, так как время поиска будет очень медленным.

Применим метод линейного поиска на примере поиска в неупорядоченном массиве A элемента X=11. Дан массив A, который состоит из 10 элементов.

Таблица 1 – Линейный поиск

Из таблицы 1 видно, что для нахождения элемента X=11 пришлось выполнить 9 сравнений. Если бы элемента 11 не оказалось под номером 9, то поиск выполнялся бы до его нахождения, либо до окончания массива.

2.3 Двоичный поиск

Одним из эффективных методов поиска в больших отсортированных массивах является двоичный, другое название бинарный, поиск. Так называемый, поиск методом деления пополам. Вместо просмотра подряд всех элементов массива делим его пополам. Так как массив отсортирован, то, сравнивая искомый элемент со значением среднего элемента массива, можно сделать вывод, о том, что может ли быть элемент с таким значением в массиве и в какой половине он находиться, то есть, определить область дальнейшего поиска. Затем делится пополам та часть массива, в которой находится элемент, и так до тех пор, пока рассматриваемая часть массива получится состоящей из одного элемента.

Допустим, есть упорядоченный по возрастанию массив из целых чисел. Необходимо определить, содержит ли этот массив некоторое число (образец).

Алгоритм двоичного поиска:

1. Сначала образец сравнивается со средним (по номеру) элементом массива

- если образец равен среднему элементу, то задача решена;

- если образец больше среднего элемента, то это значит, что искомый элемент расположен, ниже среднего элемента (между элементами с номерами sre+1), и за новое значение verhe принимается sre+i, а значение nize не меняется;

- если образец меньше среднего элемента, то это значит, что искомый элемент расположен выше среднего элемента (между элементами с номерами verhe и sre-1), и за новое значение nize принимается sre-1, а значение verhe не меняется.

2. После того как определена часть массива, в которой может находиться искомый элемент, вычисляется новое значение sredе и поиск продолжается.

Применим метод двоичного поиска на примере поиска в упорядоченном массиве. X – искомый элемент, равный 11, а A – массив, состоящий из 10 элементов:

1) 0 - verhe

5

7

11

12 - srede

24

32

68

87

92 – nize

srede равный 12>11 = X, следовательно искомый элемент находится выше среднего элемента.

2) 0 - verhe

5

7 - srede

11– nize

Srede равный 7< 11=X, значит нужный элемент находится ниже среднего элемента. Выполняем дальнейшее сравнение. Так как ниже остался всего один элемент, то сравниваем его с искомым.

3) 11=11

В итоге нужный элемент найден на третьем сравнении. Данный пример наглядно показывает всё удобство и легкость двоичного метода поиска. Результаты работы программы приведены в приложении Г.

2.4 Метод оценки времени поиска

Для сравнительной оценки быстроты поисков, введем условную единицу времени, равную времени, затраченному на сравнение двух элементов. Для теоретической оценки средней быстроты поиска используем формулы:

tлин = ,

где tлин – среднее время линейного поиска; (1)

N – размер массива.

tдв = log2 N,

где tдв – среднее время двоичного поиска; (2)

N – размер массива.

3 Алгоритмизация задачи

Решение задачи, поставленной в курсовом проекте, включает в себя следующие этапы:

Формирование исходного неупорядоченного массива и запись его в текстовый файл.

Линейный поиск заданного элемента в массиве.

Построение двоичного дерева.

Сортировка исходного массива деревом.

Двоичный поиск заданного элемента в отсортированном массиве.

Запись отсортированного массива в текстовый файл.

3.1 Ввод и вывод массива

Схема алгоритма создания неупорядоченного массива приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Vvod (приложение Б).

Шаг 1. Если n≤16, то переход на шаг 2, иначе шаг 4.

Шаг 2 Ввод осуществляется с клавиатуры в цикле с параметром i:

for i:=1 to n do read(A[i]).

Шаг 3. Запись каждого элемента в текстовый файл F_1 после считывания.

Шаг 4. Массив формируется с помощью датчика случайных чисел также в цикле с параметром i : for i:=1 to n do

A[i]:=random(1000);

Шаг 5. Запись сформированного массива в текстовый файл F_1, элементы которого располагаются в четырёх позициях.

Процедура Vivod выводит на экран сформированный неупорядоченный массив.

3.2 Линейный поиск

Схема алгоритма линейного поиска приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Lin_Poisk (приложение Б).

Шаг 1. Установить счетчик количества сравнений в 0: k:=0.

Шаг 2. Последовательное сравнение элементов исходного массива с заданным элементом x в цикле с параметром i.

Шаг 3. Элемент массива равен искомому элементу: a[i]=x, то счетчику присваивается индекс искомого элемента: k:=i, а также осуществляется выход из цикла с помощью процедуры break;

Шаг 4. Если k≠0, тогда шаг 5, иначе шаг 6.

Шаг 5. Вывод на экран сообщения Writeln (‘Element naiden. Sravnenii-‘,k).

Шаг 6.Вывод на экран сообщения Writeln (‘Element ne naiden’).

3.3 Построение двоичного дерева

Процедура Tree представляет исходный массив A в виде дерева B. Формирование двоичного дерева выполняется следующим образом:

Шаг 1. Обнуляются поля первого элемента, содержащего левый, правый и обратный указатели b[1,3]:=0; b[1,4]:=0; b[1,5]:=0.

Шаг 2. Записываются элементы массива в получаемое дерево. В дереве b заполняются первые 2 поля – поле значения и признака. Первый элемент является корнем дерева

Шаг 3. Цикл организации двоичного дерева. Для каждого элемента массива (дерева), начиная со второго, необходимо выполнять следующие действия:

Шаг 3.1. Просмотр начинается со сравнения i-го элемента с корнем дерева, т.е. индекс k устанавливается в единицу k:=1.

Шаг 3.2. Сравнение: если i-й элемент массива меньше корня дерева, тогда его необходимо записать в левую ветвь j:=3, иначе – в правую ветвь j:=4.

Шаг 3.3. Проверка: если у k-го элемента есть левый или правый потомок, то переход на Шаг 3.4, иначе – переход на Шаг 3.5.

Шаг 3.4. За индекс k необходимо взять значение переменной s, которое содержит указатель правого или левого потомка k-го элемента и переход на Шаг 3.2.

Шаг 3.5. В поле указателя левого или правого потомка k-го элемента записывается значение индекса i. Поля i-го элемента, содержащие указатели левого, правого потомков и предка, обнуляются.

Данный алгоритм реализован в виде процедуры Tree (Приложение Б). Схема алгоритма процедуры Tree представлена в Приложении В.

3.4 Сортировка двоичным деревом

Идея сортировки деревом заключается в следующем. Если у элемента есть левая ветвь, то элемент с наименьшим значением признака надо искать на этой ветви. Если у элемента левой ветви нет, то он должен быть перенесён в результирующий массив b1. После этого очередной элемент разыскивается в правой ветви, если она есть, или возвращается по обратному указателю. После возвращения к какому-либо элементу по левой или правой ветви дальнейшие действия идут так, как будто у этого элемента соответствующей ветви нет. И так до тех пор, пока все элементы исходного массива, образующие двоичное дерево, не будут упорядочены по возрастанию.

Алгоритм сортировки деревом приведен ниже:

Шаг 1. Записываются элементы исходного массива (дерева) в результирующий массив (сортируемое дерево). Просмотр дерева начинается с первого элемента i:=1. Устанавливается счетчик, индекс для просмотра сортируемого дерева k:=0.

Шаг 2. Проверяется i-й элемент массива (дерева) на наличие левого потомка. Если он имеется, то за i-й элемент берется левый потомок и повторяется Шаг 2. Увеличивается счетчик количества перестановок m:=m+1.

Шаг 3. Увеличение счетчика k, в сортируемом массиве берется следующий элемент k:=k+1 и вместо него записывается i-й элемент.

Проверяется i-й элемент массива (дерева) на наличие правого потомка. Если он имеется, то за i-й элемент берется правый потомок и повторяется Шаг 2. Увеличивается счетчик количества перестановок m:=m+1.

Шаг 4. Индексу j присваивается значение индекса i j:=i, за индекс i берется обратный указатель (предок) i:=b[i,5], и если предок существует, то происходит следующая проверка: если предок (i-й элемент) больше своего потомка (j-й элемент), то повторить Шаг 3, иначе повторить Шаг 4.

Шаг 5. Увеличение счетчика перестановок m:=m+1.

Шаг 6. Запись отсортированного массива (дерева) в файл.

3.5 Двоичный поиск

Схема алгоритма двоичного поиска приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Dv_Poisk (приложение Б).

Шаг 1. Установить начальные значения верхнего и нижнего индекса, счетчика сравнений k и : vi:=N, ni:=1, k:=0 и f:=false,так как элемент ещё не найден.

Шаг 2. Нахождение среднего элемента массива: sri:=((ni+vi) div 2).

Шаг 3. Увеличение счетчика k на единицу: k:=k+1;

Шаг 4. Если средний элемент равен искомому: a[sri]=x, то элемент найден: f:=true;

Шаг 5. Если x>a[sri] переход на шаг 6, иначе на шаг 7.

Шаг 6. За новое значение ni принимается sri+1, а значение vi не меняется.

Шаг 7. За новое значение vi принимается sri-1, а значение ni не меняется.

Шаг 8. Повторение цикла до тех пор, пока счетчик не станет больше максимального количества сравнений: k>log2n , либо элемент не будет найден.

Шаг 9. Если f:=true, то выполняется шаг 10, иначе шаг 11.

Шаг 10. На экран выводится: (‘Element naiden, Index=’, sri,'. Sravnenii ‘,k).

Шаг 11.На экран выводится: (‘Element ne naiden’).

3.6 Запись в файл

Схема алгоритма записи в файл упорядоченного массива приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Save_To_File (приложение Б).

Шаг 1. При n≤16 массив записывается в файл после каждой перестановки.

Шаг 2. При n≥128 массив записывается в файл через каждые 10 перестановок.

Каждый элемент отсортированного массива располагается в четырёх позициях.

4 Инструкции по пользованию программой

4.1 Руководство пользователя

Программа, реализованная в соответствии с задачей, поставленной на курсовом проекте, написана на языке Turbo Pascal 7.0. Для запуска программы необходимо иметь компилятор Turbo Pascal 7.0. После запуска программы следует нажать комбинацию клавиш Ctrl+F9. В появившемся окне будет сообщение с просьбой ввести число элементов. Введите целое число n от 16 до 1024 элементов (можно и меньше 16), а затем нажмите клавишу Enter. Если введено n≤16, то ввод элементов надо осуществить с клавиатуры, то есть вручную. Каждый вводимый элемент должен быть положительным и меньше 1000.

Если введено n>16, то программа сформирует массив самостоятельно при помощи датчика случайных чисел;

Дальше потребуется ввести элемент для поиска - x. Затем нажать Enter.

В дальнейшем программа автоматически выведет результаты поисков: линейного и двоичного. Результат включает в себя:

- для линейного поиска - количество сравнений;

- отсортированный массив, где все элементы расположены по возрастанию значений;

- для двоичного поиска – количество сравнений и перестановок, а также индекс искомого элемента;

Все результаты приведены в приложении Г.

4.2 Руководство программиста

Программа, представленная в данном курсовом проекте, разработана на языке высокого уровня – Turbo Pascal 7.0. Она состоит из основной программы и 7 подпрограмм (процедур).

Описания процедур приведены ниже.

4.2.1 Процедура VVod

Предназначена для формирования массива длиной до 1024 элементов. Процедура использует локальную переменную i для обращения к элементам массива. Входные параметры (в скобках указан способ передачи): n – длина массива (по значению), A – формируемый массив (по ссылке).

4.2.2 Процедура Vivod

Данная процедура выводит на экран сформированный массив, используя те же входные параметры, что и процедура VVod.

4.2.3 Процедура Save_To_File

Предназначена для записи во внешний текстовый файл сортируемый массив после заданного числа перестановок. Входные параметры: текстовый файл F(по ссылке), n – длина массива, a – записываемый сортируемый массив, m – количество перестановок.

4.2.4 Процедура Lin_Poisk

Эта процедура предназначена для поиска заданного элемента методом линейного поиска. Входные параметры: n – длина массива, a – исходный массив, x – заданный элемент. Локальные переменные: i – индекс элемента, счетчик, k – количество сравнений.

4.2.5 Процедура Dv_Poisk

Данная процедура реализует двоичный поиск. Входные параметры – те же, что и в процедуре Lin_Poisk. Локальные переменные: k – количество сравнений, ni – индекс нижней границы массива, vi – индекс верхней границы массива, sri – индекс среднего элемента массива.

4.2.6 Процедура Tree

Для построения дерева из исходного массива используется процедура Tree. Она формирует дерево b из массива a. Входные параметры: a - исходный массив (по значению), n – длина массива (по значению). Выходной параметр: b – двумерный массив (дерево). Локальные переменные: i,j – индексы элемента в дереве.

4.2.7 Процедура Tree_Sort

Сортирует дерево, полученное из исходного массива. Входные параметры: b – исходное дерево (по значению), n – длина массива (по значению). Выходной параметр: b1 – результирующий массив (отсортированное дерево). Локальные переменные: k – количество узлов в дереве, m – количество перестановок, i1 – индекс элемента в дереве (массиве).

4.3 Область и условия применения программы

В данной программе были разработаны алгоритмы нечисленной обработки данных – линейный и двоичный поиск, сортировка деревом. Сортировку деревом очень удобно использовать, когда необходимо сэкономить максимально возможно количество времени, но для представления дерева требуются большие затраты дополнительной памяти.

Программа является познавательной, её целесообразно использовать в качестве обучающего примера.

5 Анализ результата

На основе проведенных тестов программы был проведен анализ алгоритмов нечисленной обработки данных на примере массива длиной в 16, 128, 512, 1024 элементов.

5.1 Линейный поиск

Для проведения анализа линейного поиска в качестве заданного элемента были взяты числа, расположенные в начале, в середине, в конце и в произвольной позиции массива. Для линейного поиска теоретическое время поиска определяется по формуле Tтеор.=[время сравнения]×N/2