7748-1 (Теория распределения информации)

Теория распределения информации

Курсовая работа

Министерство науки и высшего образования Республики Казахстан

Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра Автоматической электросвязи

г. Алматы, 1999 г.

Задание 1.

Построить огибающую распределения вероятности занятия линии в пучке из V, на каждую из которых поступает интенсивность нагрузки а при условии, что:

а) N >> V; б) N V; в) N, V

Для каждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и их дисперсию.

Для расчета число линий в пучке определить из следующего выражения:

V= ;

целая часть полученного числа, где NN – номер варианта.

Средняя интенсивность нагрузки, поступающей на одну линию:

а = 0,2+0,01 * NN

Примечания:

Для огибающей распределения привести таблицу в виде:

В распределении Пуассона привести шесть – восемь составляющих, включая значение вероятности для i = (целая часть А)

А = а * V

Решение:

Случайной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое то определенное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые наперед предугадать невозможно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина определяется распределением вероятностей, непрерывная случайная величина – функцией распределения основными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Определим исходные данные для расчета:

V=

a = 0.2 + 0.01 11 = 0.31 Эрл (средняя интенсивность нагрузки)

А = а V = 0,31 11 = 3,41 4 Эрл (нагрузка)

а) Определим вероятности занятия линий в пучке из V = 11, при условии N >> V (N – число источников нагрузки).

Для этого используем распределение Эрланга, представляющее собой усеченное распределение Пуассона, в котором взяты первые V+1 значения и пронумерованы так, чтобы сумма вероятностей была равна единице.

Распределение Эрланга имеет вид:

P_i(V) = , ,

где P_i(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V.

Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее реккурентное соотношение:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

где P_v – вероятность занятости всех линий в пучке из V.

Произведем расчет:

Р₀ =

Р₁ = Р₀ = 0,072 Р₂ = Р₁ = 0,144

Р₃ = Р₂ = 0,192 Р₄ = Р₃ = 0,192

Р₅= Р₄ = 0,153 Р₆ = Р₅ = 0,102

Р₇ = Р₆ = 0,058 Р₈ = Р₇ = 0,029

Р₉ = Р₈ = 0,012 Р₁₀ = Р₉ = 4,8 10^-3

Р₁₁ = Р₁₀ = 1,7 10^-3

M( i ) = 4 (1 - 1,7 10^-3) = 3,99

D( i ) = 3,99 – 4 1,7 10^-3 (11 – 3,99) = 3,94

Данные результаты вычислений сведем в таблицу 1:

Таблица 1

б) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11, при условии NV. Применим распределение Бернулли (биноминальное распределение), которое имеет вид:

где: P_i(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V;

- число сочетаний из V по i (i = 0, V)

,

а – средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию

V-линейного пучка от N источников.

Для вычисления вероятностей можно воспользоваться следующей рекурентной формулой:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

M( i ) = Va; D( i ) = V a (1-a)

Произведем расчет:

;

Р₁ = 16,810^-3

Р₂ = 16,810^-3

Р₃ = 16,810^-3

Р₄ = 16,810^-3

Р₅ = 16,810^-3

Р₆ = 16,810^-3

Р₇ = 16,810^-3

Р₈ = 16,810^-3

Р₉ = 16,810^-3

Р₁₀ = 16,810^-3

Р₁₁ = 16,810^-3

M( i ) = 11 0,31 = 3,41; D( i ) = 11 0,31 (1 – 0,31) = 2,35

Результаты вычислений сведем в таблицу 2:

Таблица 2

в) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11 , при условии N,V.

Используем распределение Пуассона, как вероятность занятия i линий в бесконечном пучке линий за промежуток времени t:

, ,

где: - параметр потока, выз/час

t – средняя интенсивность нагрузки поступающей на пучок линий (А=t).

Легко показать, что:

,

Произведем расчет:

Р₀ = е^-4 = 0,018 Р₁ = 0,018 = 0,036

Р₄ = 0,018 = 0,192 Р₆ = 0,018 = 0,102

Р₈ = 0,018 = 0,029 Р₁₀ = 0,018 = 0,0052

Р₁₂ = 0,018 = 0,0006

M( i ) = D( i ) = 4

Результаты вычислений сведем в таблицу 3:

Таблица 3

По данным таблиц 1, 2, 3 построим графики огибающей вероятности для трех случаев: а) N>>V, б) NV, в) N, V ; рис. 1.

Задание 2.

На коммутационную систему поступает простейший поток вызовов с интенсивностью А.

Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени 0, t^*:

Р_к(t^*), где t^* = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0

Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

F(t^*), t^* = 0; 0,1; 0,2; …

Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени 0, t^*:

P_ik(t^*), где t^* = 1

Примечание: 1. Для расчета значений A и V взять из задания 1.

2.Число вызовов к определить из выражения: к = V/2 - целая часть числа.

Для построения графика взять не менее пяти значений F(t^*). Результаты привести в виде таблицы:

Расчет P_ik(t^*) провести не менее чем для восьми членов суммы.

Решение:

Потоком вызовов называют последовательность однородных событий, поступающих через случайные интервалы времени. Поток вызовов может быть задан тремя эквивалентными способами:

Вероятностью поступления к вызовов за интервал времени 0,t.

Функцией распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов.

Вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени 0,t.

Свойства потоков: станционарность, ординарность и полное или частичное отсутствие последействия. Потоки классифицируются с точки зрения наличия или отсутствия этих свойств.

Основными характеристиками потоков вызовов являются: интенсивность и параметр .

Простейшим потоком называется ординарный стационарный поток без последействия.

Рассчитаем вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени 0,t.

,

где: к = 0, 1, …;

t^* = t /t ; где t – средняя длительность обслуживания вызова.

Определим данные для расчетов:

К = 11/2 = 6; А = 4; V = 11;

Производим расчеты для t^* = 0,5 с.

P₂(0,5) = 0,13 P₃(0,5) = 0,18 P₄(0,5) = 0,09

P₅(0,5) = 0,03 P₆(0,5) = 0,012

Производим расчеты для t^* = 1,0 с.

P₂(1) = 0,14 P₃(1) = 0,19 P₄(1) = 0,19

P₅(1) = 0,15 P₆(1) = 0,1

Производим расчеты для t^* = 1,5 с.

P₂(1,5) = 0,044 P₃(1,5) = 0,089 P₄(1,5) = 0,13

P₅(1,5) = 0,16 P₆(1,5) = 0,16

Производим расчеты для t^* = 2 с.

P₂(2) = 0,01 P₃(2) = 0,028 P₄(2) = 0,057

P₅(2) = 0,91 P₆(2) = 0,122

Рассчитаем функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

где Z_k – промежуток времени между ( к-1 )-м и к-м вызовами.