19620 (Учет и анализ эффективности использования основных средств ООО "Завод керамических материалов"), страница 10

960 – 829 x 2-t, если Хk = Xз, k = 1,2,3,4. (26)

(При Х^с затраты только на эксплуатацию машины возраста t, при Х^з машина продается (-829 х 2^-t), покупается новая (829) и эксплуатируется в течение первого года (131), общие затраты равны (-829 х 2^-t + 829 + 131)).

Пусть Z_k (t) – условные оптимальные затраты на эксплуатацию машины, начиная с k-го шага до конца, при условии, что к началу k-го шага машина имеет возраст t лет. Запишем для функций Z_k (t) уравнения Беллмана, заменив задачу максимизации на задачу минимизации:

_{Z5 = min} 131 (t + 1) – 829 x2^-(t+1), если Х₅ = Х^с,

^{960 - 829 x2-t - 829 x2-(t+1) , Х5 = Хз (27)}

Величина 829 х 2^-(t+1) – стоимость машины возраста t лет (по условию машина после 5 лет эксплуатации продается).

_{Z k = min} 131 (t + 1) + Z_{k+ 1}(t+1), если Х_k = Х^с,

^{960 - 829 x2-t + Zk+ 1(t+1), если Хk = Хз, k = 4,3,2,1. (28)}

Из определения функций Z_k (t) следует:

Z_min = Z₁ (0).

Решение задачи имеет геометрический вид. На оси абсцисс откладывается номер шага k, на оси ординат - возраст t машины.

Точка (k – 1, t) на плоскости соответствует началу k-го года эксплуатации машины возраста t лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на k-м шаге показано на рисунке 1.

Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке s^*₀ (0; 0), конец точкам ŝ (6; t). Любая траектория, переводящая точку s (k – 1; t) из s^*₀ в ŝ, состоит из отрезков – шагов, соответствующих годам эксплуатации.

Надо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.

Х ^с

131(t+1)

9 60-829x2^{- t}

X^з

Рисунок 1 – Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на k-м шаге

Над каждым отрезком, соединяющим точки (k – 1; t) и (k; 1 + t), запишем соответствующие управлению Х^с затраты, найденные из (14): 131(t+1), а над отрезком, соединяющим точки (k–1; t) и (k; t), запишем затраты, соответствующие управлению Х^з, то есть 960 – 829 x 2 ^–t.

Таким образом, мы разметим все отрезки, соединяющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состояния s_k-1 в состояние s_k на рисунке 2.

Рисунок 2 - Экономико-математическая модель оптимизации процесса управления основными средствами

Например, над отрезками, соединяющими точки (k; 2) и (k + 1; 3), стоит число 393, что соответствует затратам на эксплуатацию в течение каждого года машины возраста t = 2 лет, а над отрезками, соединяющими (k; 2) и (k + 1; 1), стоит число 752 – это сумма затрат на покупку машины и эксплуатацию новой машины в течение года без «затрат» (выручки) за проданную машину возраста t лет. Следует учесть, что .

Проведем на размеченном графе состояний (Рисунок 2) условную оптимизацию. Начальные состояния – точки (4; t), конечные (5; t).

В состоянии (5; t) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 829 x 2^-t, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5; t) поставим величину дохода со знаком минус.

Состояние (4; 1). Из него можно попасть в состояние (5; 2), затратив на эксплуатацию машины 262 и выручив затем от продажи 207,25, то есть суммарные затраты равны 54, 75, и в состояние (5; 1) с затратами 545,5 – 414,5 = 131. Значит, если к последнему шагу система находилась в точке (4; 1), то следует идти в точку (5; 2) (укажем это направление выделенной стрелкой), а неизбежные минимальные затраты, соответствующие этому переходу, равны 54,75 (поместим эту величину Z^*₅ (1) = 54,75 в кружке точки (4; 1).

Состояние (4; 2). Из него можно попасть в точку (5; 3) с затратами 393 – 103,63 = 289,57 и в точку (5; 1) с затратами 752,75 – 414,5 =338,25. Выбираем первое управление, отмечаем его выделенной стрелкой, а Z^*₅ (2) = 289,57 проставляем в кружке точки (4; 2).

Рассуждая таким же образом для каждой точки предпоследнего шага, мы найдем для любого исхода IV шага оптимальное управление на V шаге, отметим его на рисунке 2 выделенной стрелкой.

Далее планируется IV шаг, анализируя каждое состояние, в котором может оказаться система в конце III шага с учетом оптимального продолжения до конца процесса, то есть, решается для всех при k = 4 уравнения. Например, если начало IV шага соответствует состоянию (3; 1), то при управлении Х^с система переходит в точку (4; 2), затраты на этом шаге 262, а суммарные затраты за два последних шага равны 262 + 289,57 = 551,57. При управлении Х^з затраты за два шага равны 545,5 + 54,75 = 600,25.

Выбираем минимальные затраты 551,57, ставим их в кружок точки (3; 1), а соответствующие управления на этом шаге помечаем выделенной стрелкой, ведущей из состояния (3; 1), в состояние (4; 2). Так поступаем для каждого состояния (3; t).

Продолжая условную оптимизацию III, II и I шагов, получаем на рисунке 2 следующую ситуацию: из каждой точки (состояния) выходит стрелка, указывающая, куда следует перемещаться в данном шаге, если система оказалась в этой точке, а в кружках записаны минимальные затраты на переход из этой точки в конечное состояние.

На каждом шаге графически решалось уравнение. После проведения условной оптимизации получим в точке (0; 0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в течение 5 лет с последующей продажей: Z_min = 2526,32.

Далее строится оптимальная траектория, перемещением из точки s₀ (0; 0) по двойным стрелкам в ŝ. Получается набор точек:

который соответствует оптимальному управлению Х* (Х^с, Х^с, Х^з, Х^с, Х^с). Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале третьего года.

Таким образом, размеченный график (сеть) позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом динамического программирования.

Модели и вычислительная схема динамического программирования очень гибки в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи.

Можно рассматривать замену оборудования новым с учетом технического прогресса, можно учесть изменения в затратах на эксплуатацию оборудования после его ремонта, в зависимости от года эксплуатации (дороже, дешевле).

Все эти факторы можно учитывать вычислительной схемой динамического программирования.

3.4 Оценка эффективности предлагаемых мероприятий

Сущность оценки эффективности по динамическим нормативам заключается в следующем, для определения нормативных темпов роста используют показатели, рассчитанные на основании сравнения задания и базового уровня значения показателя, достигнутого к началу прогнозируемого периода.

На основании этих показателей определяется уровень эффективности деятельности.

Оценка эффективности управления отражает тенденцию изменения показателей, насколько замедлился или увеличился рост показателей, либо сократилось снижение их уровней.

Эффективность же управления определяется не по приросту частных показателей, а по изменению этого прироста от периода к периоду.

Уровни эффективности производства и управления определяются по формулам коэффициентов ранговой корреляции Кэнделла, Спирмена и по результирующему коэффициенту.

Коэффициент ранговой корреляции Кэнделла:

(29)

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

(30)

где - число нарушенных нормативных отношений темпов роста i-ых показателей;

n - число показателей в нормативной системе;

y_i - разность рангов i-того показателя в фактическом и нормативном упорядочении темпов роста.

Результирующий коэффициент:

(31)

где Кэ - коэффициент ранговой корреляции Кэнделла;

Кк - коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Значение Кэ и Кк изменяются от –1 до +1. оценка «+1» соответствует деятельности с наивысшей эффективностью при, «-1» происходит ухудшение абсолютно всех соотношений показателей. Нулевую оценку эффективности получает деятельность предприятия, приведшая к улучшению (ухудшению) половины показателей. Значение Кр изменяются от 0 до 1. Значение Кр = 0,5 соответствует середине шкалы оценок Кэ и Кк.

Расчеты величин и выполняется в форме таблицы.

Таблица 11 – Расчет уровня эффективности деятельности

Подставив в формулы (30), (31), (32) данные из таблицы получим следующее:

;

;