Шаг 2 - состоит в десезонализации исходных данных. Она заключается в вычитании соответствующих значений сезонной компоненты из фактических значений данных за каждый квартал, т.е. А — S = Т + Е, что показано ниже.

Новые оценки значений тренда, которые еще содержат ошибку, можно использовать для построения модели основного тренда. Если нанести эти значения на исходную диаграмму, можно сделать вывод о существовании явного линейного тренда.

Уравнение линии тренда имеет вид:

Т = а + b *номер квартала,

где а и b характеризуют точку пересечения с осью ординат и наклон линии тренда. Для определения параметров прямой, наилучшим образом аппроксимирующей тренд, можно использовать метод наименьших квадратов. Таким образом, как мы знаем из предыдущей главы о линейной регрессии, уравнения для расчета параметров а и b будут иметь вид:

где х — порядковый номер квартала, у — значение (Т + Е) в предыдущей таблице. С помощью калькулятора подсчитаем:

Подставив найденные значения в соответствующие формулы, получим:

b = 19,978,а = 180,046.

Следовательно, уравнение модели тренда имеет следующий вид:

Трендовое значение объема продаж, тыс. шт. = 180,0 + 20,0 * номер квартала.

Расчет ошибок

Шаг 3 нашего алгоритма, предшествующий составлению прогнозов, состоит в расчете ошибок или остатка. Наша модель имеет следующий вид:

A = T + S + E.

Значение S было найдено в разделе 9.3.1, а значение Т — в разделе 9.3.2. Вычитая каждое это значение из фактических объемов продаж, получим значение ошибок.

Последний столбец этой таблицы можно использовать в шаге 4 при расчете среднего абсолютного отклонения (MAD) или средней квадратической ошибки (MSE):

В нашем случае ошибки достаточно малы и составляют от 1 до 2%. Тенденция, выявленная по фактическим данным, достаточно устойчива и позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

Прогнозирование по аддитивной модели

Прогнозные значения по модели с аддитивной компонентой рассчитываются как

F = Т + S (тыс. шт. за квартал),

где трендовое значение Т = 180 + 20 х номер квартала, а сезонная компонента S составляет +42,6 в январе-марте, - 20,7 в апреле-июне, 62,0 в июле-сентябре и +40,1 в октябре-декабре.

Порядковый номер квартала, охватывающего ближайшие три месяца с апреля по июль 19X9 г., равен 14, таким образом, прогнозное трендовое значение составит: Т₁₄ = 180 + 20 х 14 = 460 (тыс. шт. за квартал) .

Соответствующая сезонная компонента равна - 20,7 тыс. шт. Следовательно, прогноз на этот квартал определяется как:

F (апрель-июнь 19X9 г.) = 460 - 20,7 = 439,3 тыс. шт.

Не следует забывать: чем более отдаленным является период упреждения, тем меньшей оказывается обоснованность прогноза. В данном случае мы предполагаем, что тенденция, обнаруженная по ретроспективным данным, распространяется и на будущий период. Для сравнительно небольших периодов упреждения такая предпосылка может действительно иметь место, однако ее выполнение становится менее вероятным по мере составления прогнозов на более отдаленную перспективу.

АНАЛИЗ МОДЕЛИ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ: А = Т х Sx E

В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является константой, а представляет собой определенную долю трендового значения. Таким образом, значения сезонной компоненты увеличиваются с возрастанием значений тренда.

Пример 9.3. Компания CD pic осуществляет реализацию нескольких видов продукции. Объемы продаж одного из продуктов за последние 13 кварталов представлены в таблице 9.6.

Построим по этим данным точечную диаграмму:

Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем примере, подвержен сезонным колебаниям, и значения его в зимний период выше, чем в летний. Однако размах вариации фактических значений относительно линии тренда постоянно возрастает. К таким данным следует применять модель с мультипликативной компонентой:

Фактическое значение = Трендовое значение * Сезонная вариация * Ошибка, т. е.

А = Т х S х Е.

В нашем примере есть все основания предположить существование линейного тренда, но чтобы полностью в этом убедиться, проведем процедуру сглаживания временного ряда.

Расчет значений сезонной компоненты

В сущности, эта процедура ничем не отличается от той, которая применялась для аддитивной модели. Так же вычисляются центрированные скользящие средние для трендовых значений, однако оценки сезонной компоненты представляют собой коэффициенты, полученные по формуле А/Т = S х Е, Результаты расчетов, приведены в табл. 9.7.

Значения сезонных коэффициентов получены на основе квартальных оценок по аналогии с алгоритмом, который применялся для аддитивной модели. Так как значения сезонной компоненты — это доли, а число сезонов равно четырем, необходимо, чтобы их сумма была равна четырем, а не нулю, как в предыдущем случае. (Если бы в исходных данных предполагалось семь сезонов в течение недели по одному дню каждый, то общая сумма значений сезонной компоненты должна была бы равняться семи). Если эта сумма не равна четырем, производится корректировка значений сезонной компоненты точно таким же образом, как это уже делалось ранее. В таблице оценки, рассчитанные в последнем столбце предшествующей табл. 9.8, расположены под соответствующим номером квартала.

Как показывают оценки, в результате сезонных воздействий объемы продаж в январе—марте увеличиваются на 11,6% соответствующего значения тренда (1,116). Аналогично сезонные воздействия в октябре-декабре приводят к увеличению объема продаж на 5,5% от соответствующего значения тренда. В двух других кварталах сезонные воздействия состоят в снижении объемов продаж, которое составляет 90,7 и 92,2% от соответствующих трендовых значений.

Десезонализация данных и расчет уравнения тренда

После того как оценки сезонной компоненты определены, можем приступить к процедуре десезонализации данных по формуле A /S = Т х Е. Результаты расчетов этих оценок значений тренда приведены в табл. 9.9.

Полученные трендовые значения наносятся на исходную точечную диаграмму.

Точки, образующие представленный на графике тренд, достаточно сильно разбросаны. Объемы продаж в данном случае не образуют такой строгой последовательности, как в предыдущем примере с компанией Lewplan pic. Скорее всего, пример с CD pic более близок к реальной действительности.

Теперь нужно принять решение о том, какой вид будет иметь уравнение тренда. Очевидно, что линия тренда — не кривая, наоборот, она несколько больше напоминает прямую, хотя отдельные точки, особенно значения за 19X6 г, расположены хаотически. Предположим для простоты, что тренд линейный, и для расчета параметров прямой, наилучшим образом его аппроксимирующей, будем применять метод наименьших квадратов. Воспользовавшись той же процедурой, что и в разделе 9.3.2, находим, что

Т = 64,6 + 1,36 * номер квартала (тыс. шт. в квартал) .

Это уравнение будем использовать в дальнейшем для расчета оценок трендовых объемов продаж на каждый момент времени.

Расчет ошибок:

А/(Т х S) = Е или А — (Т х S) = Е

Итак, мы нашли значения тренда и сезонной компоненты. Теперь мы можем использовать их для того, чтобы рассчитать ошибки в прогнозируемых по модели объемах продаж Т х S по сравнению с фактическими значениями А. В табл. 9.10 эти ошибки рассчитаны как отношение Е = А/(Т х S).

Для каждого рода ошибки достаточно велики, что видно из графика десезонализированных значений. Однако, начиная с первого квартала 19X7 г. величина ошибки составляет в среднем 2-3% от фактического значения, и можно сделать вывод о соответствии построенной модели фактическим данным.

Прогнозирование по модели с мультипликативной компонентой

При составлении прогнозов по любой модели предполагается, что можно найти уравнение, удовлетворительно описывающее значения тренда. В обоих изложенных выше примерах эта предпосылка была успешно выполнена. Тренд, который нами рассматривался, был очевидно линейным. Если бы исследуемый тренд представлял собой кривую, мы были бы вынуждены моделировать эту связь с помощью одного из методов формализации нелинейных взаимосвязей, рассмотренных в предыдущей главе. После того как параметры уравнения тренда определены, процедура составления прогнозов становится совершенно очевидной. Прогнозные значения определяются по формуле:F = Т х S, где

Т = 64,6 + 1,36 * номер квартала (тыс. шт. за квартал),

а сезонные компоненты составляют 1,116 в первом квартале, 1,097 — во втором 0,922 — в третьем и 1,055 в четвертом квартале. Ближайший следующий квартал — это второй квартал 19X9 г., охватывающий период с апреля по июнь и имеющий во временном ряду порядковый номер 14. Прогноз объема продаж в этом квартале составляет:

F = Т х S = (64,6 + 1,36 х 14) х 0,907 = 83,64 х 0,907 = 75,9 (тыс. шт. за квартал).

С учетом величины ошибки прогноза мы можем сделать вывод, что даннг-г оценка будет отклоняться от фактического значения не более чем на 2-3*4 Аналогично, прогноз на октябрь-декабрь 19X9 г., рассчитывается для квартала : порядковым номером 16 с использованием значения сезонной компоненты для Г-квартала года:

F = Т х S = (64,6 + 1,36 х 16) х 1,055 = 83,36 х 1,055 = 91,1 (тыс. шт. за квартал) .

Разумно предположить, что величина ошибки данного прогноза будет несколько выше, чем предыдущего, поскольку этот прогноз рассчитан на более длительную перспективу.

РЕЗЮМЕ

Под временным рядом понимается любое множество данных, относящихся к определенным моментам времени. Это могут быть, скажем, годы, кварталы месяцы или недели. В моделях временного ряда ретроспективная тенденция используется для прогнозирования поведения переменной в будущем. Краткосрочные прогнозы являются более точными, чем долгосрочные. Если прогноз составлялся на более длительный период времени при условии, что существующая тенденция сохранится в будущем, то тем больше величина ошибки.

Для моделирования временных рядов используются два типа моделей -аддитивная и мультипликативная. В обоих случаях предполагается, что значение переменной включает в себя ряд компонент. Временной ряд может состоять из собственно тренда — общей тенденции изменения значений переменной; сезонной вариации — краткосрочных периодических колебаний значений переменной; циклической вариации — долгосрочных периодических колебаний значений переменной; ошибки или остатка. В данном учебном пособии не рассматривались массивы данных за длительные промежутки времени, содержащие циклическую вариацию

Рассмотренные нами модели имеют следующий вид:

Аддитивная А = Т + S + Е , Мультипликативная А = Т х S х Е .

В обоих видах моделей для десезонализации данных применяется метод скользящего среднего. Затем десезонализированные данные используются при построении модели тренда. По этой модели составляют прогнозы будущих значений тренда. В случае линейной модели для нахождения параметров прямой наилучшим образом аппроксимирующей фактические значения, используется метод наименьших квадратов. Процесс построения нелинейных моделей гораздо более сложен.

В отличие от линейных регрессионных моделей для оценки обоснованности или точности прогнозных моделей статистические методы, как правило, не используются. Наилучшую среди нескольких моделей выбирает специалист, составляющий прогноз. Чтобы определить, насколько точно рассматриваемая модель аппроксимирует прошлые данные, применяются два показателя: Среднее абсолютное отклонение и Среднеквадратическая ошибка.

Литература

1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. -М.:"ДИС",1997.

2. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. -М.:"Аудит",1997.

3. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. -М.:Издательство Московского университета,1997.

4. Исследование операций в экономике:Учебное пособие для вузов. Н.Ш. Кремер и др. -М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. (гл.15, гл.16)

5. Ю.А. Толбатов. Економетрика. - К., 1997.

6. С.И. Шелобаев. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. -М.:ЮНИТИ,2000.