183941 (Математические модели в менеджменте и маркетинге), страница 4

Для оценки параметров прологарифмируем уравнение и выполним замену переменных:

ln y =ln b₀ + b₁ ln x₁ + b₂ ln x₂

b’₀= ln b₀ , y’= ln y, x’₁= ln x₁, x’₂= ln x₂.

В результате этих преобразований получим линейную модель

y’= b’₀+ b₁ x’₁+ b₂ x’₂.

Для определения значений коэффициентов этой модели прологарифмируем исходные значения у и х₁, х₂, а затем используем метод наименьших квадратов.

В результате вычислений с помощью функции ЛИНЕЙН пакетаEXCEL получим

b₁ = 0,424, b₂ = 0,680,

ln b₀ = 2,369 откуда b₀= 10,690.

Следовательно, производственная функция Кобба-Дугласа имеет следующий вид

Y=10,690X₁^0,424X₂^0,68.

Коэффициент эластичности валовой продукции по списочной численности (по х1) равен b₁ = 0,424.

Коэффициент эластичности валовой продукции по стоимости основных фондов (по х2) равен b₂ = 0,680.

Следовательно, можно сделать вывод, что при увеличении списочной численности на 1% объём валовой продукции увеличится на 0,424% , а при увеличении стоимости основных фондов на 1% объём валовой продукции увеличится на 0,68%.

Предельная производительность по списочной численности равна

M₁ = b₁* Y / X₁ = 0,424* Y / X₁= 0,424* 10,690X₁ ^–0,576 X₂^0,68 ,

где Y / X₁- производительность труда.

Предельная производительность по стоимости основных фондов равна

M₂ = b₂* Y / X₂ = 0,680* Y / X₂ =0,680* 10,690X₁^0,424X₂ ^–0,32 ,

где Y / X₂ -фондоотдача.

5. Применение аппарата теории игр для анализа проблем микроэкономики

1. Основные понятия

Важным случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. налицо прямой конфликт между игроками. Классическими примерами здесь являются ситуации, где, с одной стороны, имеется один покупатель, с другой - продавец (ситуация монополия-монопсония). Подобные игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми.

В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры.

Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр.

Кооперативной игрой называется игра с ненулевой суммой, в которой игрокам разрешается обсуждать перед игрой свои стратегии и договариваться о совместных действиях, т.е. игроки могут образовывать коалиции. Основная задача в кооперативной игре состоит в дележе общего выигрыша между членами коалиции. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы участников голосования.

Проблемы рыночного взаимодействия близки к проблемам теории игр и могут быть эффективно описаны и исследованы в ее терминах.

Представим себе экономику, в которой имеется два субъекта: Игрок1 (Фирма1) и Игрок2 (Фирма2), и два товара х₁ и х₂, (естественно, число игроков и товаров может быть большим, но в случае 2х2 все введенные понятия имеют наглядную интерпретацию.)

Каждый из игроков имеет свою функцию полезности, (функцию дохода) заданную на наборе товаров: h₁(х₁,х₂), h₂(х₁,х₂). В начале игры в экономике имеется общее количество Х₁ первого товара и X₂ - второго товара. Предположим, что это начальное количество благ как-то распределено между игроками: 1-й Игрок обладает количеством Х₁ ¹первого товара и X₂¹ - второго, 2-й Игрок - количествами X₁² и X₂², 1-го и 2-го товаров соответственно, так что X₁¹ + X₁² =Х₁ и X₂ ¹ + X₂²=X₂.

Встают вопросы: могут ли игроки путем обмена имеющимися у них товарами улучшить свое положение, т.е. увеличить значение функций полезности h₁, и h₂, по сравнению с начальными уровнями h₁(Х₁ ¹, X₂¹ ) и h₂(X₁²,X₂²); каковы свойства такого решения?

Для наглядного представления экономики с двумя игроками и двумя товарами традиционно используется так называемый ящик Эджворта (рис. 1). 1-го Игрока, пунктирными - кривые безразличия 2-го Игрока)

В ящике Эджворта длина горизонтальной оси, соответствующей первому товару, равна общему количеству этого товара Х₁, длина вертикальной оси - общему количеству товара X₂. Выделенное пространство является множеством всех возможных распределений имеющихся товаров между двумя игроками. Нижний левый угол считается началом координат для 1-го Игрока, верхний правый угол - началом координат для 2-го Игрока.

На выделенном пространстве представлены также два множества кривых безразличия (линий уровня функций выигрыша), принадлежащих каждому из игроков. При этом точка начального распределения товаров имеет координаты (Х₁¹, X₂¹ ) в системе отсчета 1-го Игрока (и, соответственно, (X₁²,X₂²); в системе отсчета 2-го Игрока).

2. Парето-оптимальное множество решений

Рассмотрим для начала проблему эффективного распределения товаров между игроками. Единственным требованием к распределению, которое мы можем предъявить на начальном этапе анализа, является требование Парето-оптимальности. Распределение называется Парето-оптимальным, если положение ни одного из игроков нельзя улучшить, не ухудшая при этом положение его партнера.

Множество Парето-оптимальных распределений может быть наглядно представлено с помощью ящика Эджворта. В случае 2-х игроков Парето-оптимальное решение может быть найдено с помощью фиксации уровня полезности одного из игроков (скажем, Игрока 2) и поиска максимума функции полезности другого игрока.

В терминах ящика Эджворта это означает, что необходимо найти такую точку на фиксированной кривой безразличия Игрока 2, в которой Игрок 1 получает максимум своей функции полезности.

Очевидно, что такой точкой является точка, где кривые безразличия касаются друг друга, так как в противном случае Игрок 1 может, продвигаясь вдоль фиксированной линии уровня Игрока 2 внутрь, увеличить значение своей функции полезности (рис. 2).

Опираясь на этот факт, можно показать, что множество Парето-оптимальных распределений в ящике Эджворта будет множеством всех точек, в которых кривые безразличия Игрока 1 и Игрока 2 касаются друг друга (рис. 3).

Множество Парето-оптимальных распределений в пространстве товаров называется контрактным множеством, поскольку игрокам в общем случае имеет смысл договариваться между собой именно на этом наборе эффективных распределений.

3. Переговорное множество решений

Рассмотрим теперь ситуацию, когда каждый игрок обладает некоторым начальным количеством каждого из товаров. Встает вопрос: может ли это начальное распределение быть улучшено путем обмена товарами между игроками? Исследуем эту проблему с помощью ящика Эджворта.

Пусть (Х1 1, X21) - точка начального распределения товаров; проведем через эту точку кривые безразличия для Игрока 1 и Игрока 2 (рис. 4).

Если две кривые не касаются друг друга (т.е. если начальное распределение не является Парето-оптимальным), то в своем пересечении они образуют область, двигаясь внутрь которой каждый из игроков может увеличивать значение обеих функций полезности. При этом. как легко показать, часть контрактного множества оказывается внутри области, образованной проведенными кривыми безразличия.

Игрокам имеет смысл вести переговоры относительно распределений, находящихся на контрактном множестве, а с учетом начального распределения - относительно участка контрактного множества, заключенного между двумя кривыми безразличия.

Эти кривые называются линиями угрозы, а выделяемый ими участок на контрактном множестве - переговорным множеством.

Линии угрозы в данном случае означают, что за их пределами (т.е. ниже и левее исходной кривой безразличия для Игрока 1 и выше и правее кривой безразличия для Игрока 2) какому-либо из игроков становится незачем вести переговоры - ему лучше (или, по крайней мере, не хуже) оставаться в ситуации начального распределения.

Для того чтобы переместиться на переговорное множество, в случае рис.4 Игрок 1 должен передать (продать) некоторое количество имеющегося у него товара 1 Игроку 2 в обмен на определенное количество товара 2, имеющегося у Игрока 2.

На переговорном множестве выделяется точка решения Нэша N, в которой достигается максимум произведения приращений дохода каждого из игроков по сравнению с доходом, который может быть получен без вступления в коалицию.

В результате проведенного анализа можно сделать вывод, что игроки могут улучшить свое первоначальное положение, обмениваясь товарами, и Игроку 1 выгодно уступить Игроку 2 некоторое количество товара 1 в обмен на товар 2.

4. Задача о дуополии

Рассмотрим в заключение решение задачи о дуополии.

В этой задаче две фирмы сталкиваются с проблемой удовлетворения спроса на некоторый товар. Объем спроса зависит от уровня назначаемых цен и описывается функцией d(р) (ей соответствует нисходящая линия на рис.5). Объем предложения товара каждой из фирм также зависит от уровня цен и в микроэкономике описывается функциями предложения s1(p}, s2(р); эти функции определяются уровнем предельных издержек каждой из фирм.

Предположим для простоты, что Фирма 1 и Фирма 2 имеют одинаковые функции предложения s1(p)=s2(p) .

Поиск решения в задаче о дуополии (т.е. определение уровня цен и объемов предложения каждой из фирм) базируется на принципах, общих для решения задач теории игр: каждая из сторон располагает информацией о себе и своем партнере (в данном случае - о функциях предложения каждой из фирм), об условиях игры (в данном случае - о функции спроса) и действует, исходя из предположения, что ее партнер располагает такой же информацией и действует рационально (т.е. стремится максимизировать свой доход).

Если Фирма 1 назначит цену на предлагаемый ею товар р1, а Фирма 2 примет эту цену, то Фирма 1 сможет продать объем товара, равный

Функция r1(p) называется остаточной функцией спроса, с которой сталкивается Фирма 1 (рис.5). Поскольку величина r1, описывает объем спроса, приходящийся только на продукцию Фирмы 1, то она получит максимум дохода, полностью удовлетворив этот спрос, т.е. при условии, что

В итоге Фирма 1, опираясь на имеющуюся у нее информацию, решает задачу поиска равновесного уровня цен р , при которых

Аналогичную задачу поиска равновесных цен решает Фирма 2

Учитывая, что s1(p)=s2(p), мы получим, что в ситуации равновесия

а доход каждой из фирм будет равен