183941 (Математические модели в менеджменте и маркетинге), страница 3

При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y (будем обозначать объем выпуска, или дохода, на макроуровне большой буквой) чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х₁ (=К) - объем используемого в течение года основного капитала), живой труд (х₂ (=L) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом строят двухфакторную f(х₁, х₂), или Y=f{K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. В качестве третьего фактора иногда вводят объемы используемых природных ресурсов. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

ПФ у =f(х₁, х₂) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, т.е. могут иметь представление в виде временных рядов.

Пример . Для моделирования отдельного региона или страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, а также и на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида у = a₀x₁^a₁x₂^a₂, где а_0, а₁, а₂ - параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а₁ + а₂ = 1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г. ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу так называемых мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х₁ = K равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов - в отечественной терминологии), x₂=L - затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

Пример . Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: у= а₀ + а₁х₁ + a₂x₂. (двухфакторная) и у= а₀ + а₁х₁ + a₂x_{2+ …+}a_nx_n (многофакторная). ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

Выполняя обратный переход, из аддитивной ПФ получим мультипликативную ПФ.

Если а₁ + а₂ = 1, то ее можно записать в несколько другой форме:

называются соответственно производителностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получим

т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД. В связи с тем, что 0 < a₁< 1, из последней формулы следует, что производительность труда растет медленнее его капиталовооруженности. Однако этот вывод справедлив для случая статической ПФКД в рамках существующих технологии и ресурсов.

Отметим здесь, что дробь Y / K — называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби K / Y и L / Y называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.

ПФ называется динамической, если:

1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;

2) параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным врменных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью T₀ лет (т.е. базовый промежуток для оценки параметров имеет продолжительность T₀ лет), то экстраполяционные расчеты по такой ПФ

следует проводить не более чем на T₀ / 3 лет вперед (т.е. промежуток экстраполяции должен иметь продолжительность не более чем T₀/3 лет).

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП е^pt, где параметр (число) p(p>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

Эта ПФ - простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть не материализованный в одном из факторов, технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t) = f(A(t)-L(t), K(t)) или Y(t) = f(A(t) K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

Пример .. Поиведем вариант ПФКД с учетом НТП v(t} =

Выделение существенных видов ресурсов (факторов производства) и выбор аналитической формы функции f называется спецификацией ПФ .

Преобразование реальных и экспертных данных в модельную информацию, т.е. расчет численных значений параметров ПФ на базе статистических данных с помощью регрессионного и корреляционного анализа, называется параметризацией ПФ .

Проверка истинности (адекватности) ПФ называется ее верификацией.

Выбор аналитической формы ПФ (т.е. спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или даже неявно) учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами (в случае микроэкономического уровня) или экономических закономерностей (в случае макроэкономического уровня), особенности реальных или экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации ПФ. Отметим здесь, что оценка параметров ПФ обычно проводится с помощью метода наименьших квадратов.

2. Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции

называется средней производительностью i-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: А_i=f(x)/x_i.

Напомним, что в случае двухфакторной ПФКД для средних производительностей Y/K и Y/L основного капитала и труда были использованы соответственно термины капиталоотдача и производительность труда. Эти термины используют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых х₁=К и x₂=L.

называется предельной (маржинальной) производительностью i-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: M_i=df(x)/dx_i.

Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат х i-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

Отношение предельной производительности M_i i-го ресурса к его средней производительности А_i называется (частной) эластичностью выпуска по i-му ресурсу (по фактору производства) (ЭВФ). Символика:

Сумма Е₁ + Е₂ = Е_x называется эластичностью производства.

Е (приближенно) показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса 1 увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Обратим внимание на то, что i - номер заменяемого ресурса, j -номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены (замещения) i-ого ресурса (фактора производства) j-м ресурсом (фактором производства). Приведем более краткий (но менее точный) термин: (предельная) норма замены (замещения) ресурсов.

Непосредственно проверяется, что для двухфакторной ПФ справедливо равенство

т.е. (предельная) норма замены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса. Если х₁ = К, х₂= L, то отношение x₁/x₂=K/L называется капиталовооруженностью труда. В этом случае (предельная) норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.

Пусть ПФ - двухфакторная. При постоянном выпуске у и малых приращениях Дх₁, и Дх₂, имеем приближенное равенство

Предельная норма замены ресурсов R₁₂ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном выпуске у = а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну (малую) единицу.

3. Пример

Имеются статистические данные по производственному объединению “Угледобыча":

Балансовая стоимость основных фондов и валовая продукция производственного объединения даны с учетом пересчета по индексу цен.

Вычислить производственную функцию Кобба-Дугласа; определить коэффициенты эластичности валовой продукции по списочной численности и стоимости основных фондов, а также предельные производительности по этим факторам. По результатам расчетов сформулировать выводы.

Решение:

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет следующий вид

где b₀ , b₁ , b₂ – параметры уравнения.