183941 (Математические модели в менеджменте и маркетинге), страница 2

3. Для категории А нужно стараться создать страховой запас, чтобы избежать больших расходов, связанных с отсутствием запасов этой группы.

4. Методы и приемы управления запасами, рассматривающиеся далее, должны прежде всего применяться к запасам групп А и В. Что касается запасов группы С, обычно момент возобновления заказа по ним определяют исходя из конкретных условий, а не на основе количественного метода, чтобы свести к минимуму расходы на их контроль.

Рассмотрим определяющие понятия теории управления запасами.

Издержки выполнения заказа (издержки заказа) — накладные расходы, связанные с реализацией заказа. В промышленности такими издержками являются затраты на подготовительно-заготовочные операции.

Издержки хранения — расходы, связанные с физическим содержанием товаров на складе, плюс возможные проценты на капитал, вложенный в запасы. Обычно они выражаются или в абсолютных единицах, или в процентах от закупочной цены и связываются с определенным промежутком времени.

Упущенная прибыль — издержки, связанные с неудовлетворенным спросом, возникающим в результате отсутствия продукта на складе.

Совокупные издержки за период представляют собой сумму издержек заказа, издержек хранения и упущенного дохода. Иногда к ним прибавляются издержки на покупку товаров.

Срок выполнения заказа — срок между заказом и его выполнением. Точка восстановления — уровень запаса, при котором делается новый заказ.

1. Краткая характеристика моделей управления запасами

1.1. Модель оптимального размера заказа.

Предпосылки: 1) темп спроса на товар известен и постоянен;

2) получение заказа мгновенно;

3) отсутствуют количественные скидки при закупке больших партий товара;

4) единственные меняющиеся параметры — издержки заказа и хранения;

5) исключается дефицит в случае своевременного заказа.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами и их количество за период.

1.2. Модель оптимального размера заказа в предположении, что получение заказа не мгновенно. Следовательно, нужно найти объем запасов, при котором необходимо делать новый заказ.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения, время выполнения заказа.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.

1.3. Модель оптимального размера заказа в предположении, что допускается дефицит продукта и связанная с ним упущенная прибыль. Необходимо найти точку восстановления.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения, упущенная прибыль.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.

1.4. Модель с учетом производства (в сочетании с условиями 1.1—1.3). Необходимо рассматривать уровень ежедневного производства и уровень ежедневного спроса.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, хранения и упущенная прибыль, темп производства.

Результат: оптимальный уровень запасов (точка восстановления запаса).

1.5. Модель с количественными скидками. Появляется возможность количественных скидок в зависимости от размера заказа. Рассматривается зависимость издержек хранения от цены товара. Оптимальный уровень заказа определяется исходя из условия минимизации общих издержек для каждого вида скидок.

2. Модели типа 1.1—1.5 с вероятностным распределением спроса и времени выполнения заказа

Вместо предпосылки о постоянстве и детерминированности спроса на товар используется более реалистичный подход о предполагаемой известности распределения темпа спроса и времени выполнения заказа.

Рассмотрим подробнее модели с фиксированным размером заказа. Модели с вероятностным распределением спроса и времени выполнения заказа рассмотрены в следующем разделе, где они решаются на основе имитационного подхода.

Модель 1.1 наиболее экономичного размера заказа. Заказ, пополняющий запасы, поступает как одна партия. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью пока не достигает нуля. В этой точке поступает заказ, размер которого равен Q, и уровень запасов восстанавливается до максимального значения. При этом оптимальным решением задачи будет тот размер заказа, при котором минимизируются общие издержки за период (рис. 11.1).

Пусть Q — размер заказа; Т — протяженность периода планирования; D — величина спроса за период планирования; d — величина спроса в единицу времени; К — издержки заказа; Н — удельные издержки хранения за период; h — удельные издержки хранения в единицу времени.

Тогда:

(D/Q)K — совокупные издержки заказа;

Модель 1.3 оптимального размера заказа в предположении, что допускается дефицит продукта и связанная с ним упущенная прибыль (рис. 11.3).

Пусть р — упущенная прибыль в единицу времени, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта;

Р — упущенная прибыль за период, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта. Тогда:

Q* =( 2dK/h)^l/2 х ((Р+hVp)^1/2=

=( 2DK/H)^1/2 х ((Р+Н)/P)^1/2 — оптимальный размер заказа;

S* =( 2dK/h)^1/2 x (p/(h+p))^1/2 =

=(2DK/H)^1/2 х (Р/(H+Р))^1/2 — максимальный размер запаса;

R = Q*— S* — максимальный дефицит.

Модель 1.4 производства и распределения. В предыдущей модели мы допускали, что пополнение запаса происходит единовременно. Но в некоторых случаях, особенно в промышленном производстве, для комплектования партии товаров требуется значительное время и производство товаров для пополнения запасов происходит одновременно с удовлетворением спроса. Такой случай показан на рис. 11.4.

Спрос и производство являются частью цикла восстановления запасов. Пусть u — уровень производства в единицу времени, К — фиксированные издержки производства.

Тогда:

совокупные издержки хранения = (средний уровень запасов) х Н = Q/2[l-d/u] Н;

средний уровень запасов = (максимальный уровень запасов)/2;

максимальный уровень запасов = u t — d t = Q(l—d/u);

время выполнения заказа t = Q/u; издержки заказа == (D/Q) К;

оптимальный размер заказа Q* =(2dK/h [(l-(d/u)])^1/2 = (2DK/H [(l-(d/u)])^1/2;

максимальный уровень запасов S* = Q*((l—(d/u))).

Модель 1.5 с количественными скидками. Для увеличения объема продаж компании часто предлагают количественные скидки своим покупателям. Количественная скидка — сокращенная цена на товар в случае покупки большого количества этого товара. Типичные примеры количественных скидок приведены в табл. 11.1.

Пусть I — доля издержек хранения в цене продукта с. Тогда h = (Ixc) и Q* =( 2dK/(Ixc))^l/2 — оптимальный размер заказа.

Пример 2. Рассмотрим пример, объясняющий принцип принятия решения в условиях скидки. Магазин "Медвежонок" продает игрушечные гоночные машинки. Эта фирма имеет таблицу скидок на машинки в случае покупок их в определенном количестве (табл. 11.1). Издержки заказа составляют 49 тыс .р. Годовой спрос на машинки равен 5000. Годовые издержки хранения в отношении к цене составляют 20%, или 0,2. Необходимо найти размер заказа, минимизирующий общие издержки.

Решение.

Рассчитаем оптимальный размер заказа для каждого вида скидок, т.е. Ql*, Q2* и Q3*, и получим Q1* = 700; Q2* = 714; Q3* = 718.

Так как Ql* — величина между 0 и 999, то ее можно оставить прежней. Q2* меньше количества, необходимого для получения скидки, следовательно, его значение необходимо принять равным 1000 единиц. Аналогично Q3* берем равным 2000 единиц. Получим Ql* = 700; Q2* = 1000; Q3* = 2000.

Далее необходимо рассчитать общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшее значение.

Рассмотрим следующую таблицу.

Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие годовые, издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 1000 игрушечных гоночных машинок будет минимизировать совокупные издержки.

3. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Имитация — это попытка дублировать особенности, внешний вид и характеристики реальной системы. Идея имитации состоит в:

1) математическом описании реальной ситуации,

2) изучении ее свойств и особенностей,

3)формировании выводов и принятии решений, связанных с воздействием на эту ситуацию и основанных на результатах имитации. Причем реальная система не подвергается воздействиям до тех пор, пока преимущества или недостатки тех или иных управленческих решений не будут оценены с помощью модели этой системы.

Метод Монте-Карло. Имитация с помощью метода Монте-Карло состоит из пяти простых этапов:

1. Установление распределения вероятностей для существенных переменных.

2. Построение интегрального распределения вероятности для всех переменных.

3. Установление интервала случайных чисел для каждой переменной.

4. Генерация случайных чисел.

5. Имитация путем многих попыток.

Проимитируем спрос на автомашины в салоне ЛОГОВАЗ в течение 10 последовательных дней. Для этого из таблицы случайных чисел мы выбираем значения, начиная из верхнего левого угла и двигаясь вниз в первом столбце.

39 — спрос за 10 дней. 39/10 = 3,9 — средний ежедневный спрос.

Пример 2. Груженые баржи, отправляемые вниз по Волге из индустриальных центров, достигают Астрахани. Число барж, ежедневно входящих в док, колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода 0,1,...,5 барж показана в таблице. В этой же таблице указаны интегральные вероятности и соответствующие интервалы случайных чисел для каждого возможного значения.

Аналогичная информация дана о числе разгружаемых барж.

Имитация очереди на разгрузку барж в порту Астрахани представлена в следующей таблице.

4. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Магазин электрооборудования Проводкова продает электрические дрели. В течение 300 дней Проводкой регистрировал дневной спрос на дрели. Распределение вероятностей величины спроса показано в таблице. Интегральные вероятности величин спроса показаны в четвертом столбце табл. В пятом столбце определены интервалы случайных чисел для определения возможных значений спроса.

Когда Проводков делает заказ, чтобы возобновить свои запасы электрических дрелей, его выполнение происходит с лагом в 1, 2 или 3 дня. Это означает, что время восстановления запаса подчиняется вероятностному распределению. В табл. показаны данные, позволяющие определить вероятности сроков выполнения заказов и интервалы случайных чисел на основе информации о 50 заказах.

Первая стратегия резервирования, которую хочет имитировать Проводков, — делать заказ в объеме 10 дрелей при запасе на складе 5 штук.

Реализуется четырехшаговый процесс имитации.

1. Каждый имитируемый день начинается с проверки, поступил ли сделанный заказ. Если заказ выполнен, то текущий запас увеличивается на величину заказа (в данном случае — на 10 единиц).

2. Путем выбора случайного числа генерируется дневной спрос для соответствующего распределения вероятностей.

3. Рассчитывается итоговый запас, равный исходному запасу за вычетом величины спроса. Если запас недостаточен для удовлетворения дневного спроса, спрос удовлетворяется, насколько это возможно. Фиксируется число нереализованных продаж.

4. Определяется, снизился ли запас до точки восстановления (в примере — 5 единиц). Если да, причем не ожидается поступления заказа, сделанного ранее, то делается заказ.

Первый эксперимент Проводкова. Объем заказа — 10 штук, точка восстановления запаса — 5 штук.

среднее число упущенных продаж = 2 упущенные продажи / 10 дней =0,2 шт./день.

Второй эксперимент Проводкова. Проводков оценил, что каждый заказ на дрели обходится ему в 10 000 р., хранение каждой дрели — в 5000 в день, одна упущенная продажа — в 80 000 р. Этой информации достаточно, чтобы оценить средние ежедневные затраты для этой стратегии управления запасами. Определим три составляющие затрат:

ежедневные затраты на заказы = (затраты на один заказ) х (среднее число заказов в день) = 10000 х 0,3 = 3000;

ежедневные затраты на хранение = (затраты на хранение одной единицы в течение дня) х (средняя величина конечного запаса) = 5000 х 4,1 = 20500;

ежедневные упущенные возможности = (прибыль от упущенной продажи) х (среднее число упущенных продаж в день) = 80000 х 0,2 = 16000,

общие ежедневные затраты = затраты на заказы + затраты на хранение + упущенные продажи = 39500.

5. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

1. Основные понятия

Производственная функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции

Точное толкование понятий затрачиваемого (или используемого) ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с помощью ПФ) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных данных.

На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объем человеко-часов - натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработной платы (ее величина - стоимостный показатель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и т.п.) или в виде своей стоимости.

На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т.е. суммарные величины произведений объемов затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Производственная функция нескольких переменных - это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных л равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска: