Лабораторна робота № 1

Тема. Застосування електронних таблиць EXCEL та пакетів прикладних програм для розв’язування економетричних задач

Мета роботи: ознайомитися з порядком застосування електоронних таблиць та пакетів прикладних програм у сатистичних та економетричних розрахунках.

Завдання

1. Ознайомитися з прийомами використання електронних таблиць EXCEL для економетричних розрахунків.

2. Ознайомитися з функціональними можливостями професійних пакетів прикладних програм статистичної обробки даних STATGRAFICS, SPSS.

Хід роботи

1. 1) Для ознайомлення з можливостями застосування електронних таблиць в економетричних розрахунках скласти в оболонці EXCEL розрахункову табл. 1.1. Занести вихідні дані – ряди даних для змінних X, Y. Розрахувати значення граф 4 – 7, а також значення параметрів A, B за формулами:

,

(1.1)

(1.2)

.

Таблиця 1.1

Макет розрахункової таблиці для виконання завдання 1

№ спотереження
1
2
…
n
Сума
Середнє значення

Для розрахунків використати функції СУММ, СРЗНАЧ, СТЕПЕНЬ, КОРЕНЬ, СУММПРОИЗВ, ЧСТРОК.

2) Ознайомитися з можливостями EXCEL при виконанні операцій з матрицями. Використовуючи функції ТРАНСП, МУМНОЖ, МОБОР, виконати дії з матрицями (завдання 1.2).

Вихідні дані для розрахунків:

матриця D = (12 х 4)

y – вектор розмірністю (12 х 1)

Для виконання завдання необхідно згадати елементи матричного обчислювання.

Елементи лінійної алгебри

1. Матриці

При розв’язуванні економічних задач використовуються таблиці значень, системи регресій, які зручно записувати з використанням матричних позначень.

Основні визначення

Матриці – це прямокутні таблиці елементів, розташованих по рядках та стовпцях:

(1.3)

.

Матриця називається прямокутною матрицею порядку m на n або (m x n) (m – число рядків, n – число стовпців).

Елемент, який знаходиться в i-му рядку та в j-му стовпці, позначається через (перший індекс – номер рядка, другий – стовпця).

Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Порядок квадратної матриці визначається одним числом – кількістю рядків (стовпців).

Матриця, яка складається з одного рядка елементів, називається вектором-рядком.

Матриця, яка складається з одного стовпця елементів, називається вектором-стовпцем.

(1.4)

Квадратна матриця називається діагональною, якщо елементи, які не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю.

Діагональна матриця, в якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою .

Одинична матриця має вигляд:

(1.5)

.

Матриця, в якої всі елементи дорівнюють нулю, називається нульовою.

Квадратна матриця порядку n називається симетричною, якщо виконується умова для всіх елементів цієї матриці.

Рівність двох матриць. Матриця дорівнює матриці , якщо вони однакових розмірів, наприклад (m x n), і мають однакові відповідні елементи:

(1.6)

.

1. Дії над матрицями

Додавання матриць

Додавання матриць вводиться тільки для матриць одного порядку. Сумою двох матриць і порядку (m x n) називається матриця , яка має такий самий порядок (m x n), причому кожен елемент матриці дорівнює сумі відповідних елементів матриць і :

.

Множення числа на матрицю

Добутком числа на матрицю порядку (m x n) називається матриця порядку (m x n), кожний елемент якої дорівнює добутку числа на відповідний елемент матриці :

(1.7)

.

Для додавання і множення матриць на число справедливі такі операції:

а

(1.8)

)

- комутативний закон додавання матриць;

б

(1.9)

)

(1.10)

- асоціативний закон додавання матриць;

в)

(1.11)

- асоціативний закон множення чисел на матрицю;

г)

(1.12)

- дистрибутивний закон множення числа на суму матриць;

ґ)

- дистрибутивний закон множення суми чисел на матрицю.

Добуток матриць

Добуток двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Дві матриці і називаються узгодженими, якщо кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці .

Якщо матриці порядку (m x n) і порядку (n x p) узгоджені, то добутком цих матриць називається матриця порядку (m x p), для якої елемент дорівнює добутку кожного елемента і-го рядка матриці на j-й стовпець матриці .

В

(1.13)

загалі операція множення матриць не комутативна:

.

Квадратну матрицю можна помножити саму на себе, тобто піднести до квадрата.

Для дій над матрицями справедливі такі властивості:

а

(1.14)

)

(1.15)

- асоціативний закон множення матриць;

б)

(1.16)

- дистрибутивний закон множення матриці на суму матриць;

в)

- комутативний закон множення квадратної матриці на одиничну матрицю такого ж порядку.

Транспонування матриць

Матриця ’ називається транспонованою відносно матриці , якщо кожен стовпець матриці ’ є відповідним рядком матриці , тобто перший стовпець матриці ’є першим рядком матриці , відповідно другий стовпець матриці ’ є другим рядком матриці і т.д.

Для елементів транспонованих матриць виконується умова

(1.17)

.

Якщо квадратна матриця симетрична, то виконується умова .

Властивості транспонованих матриць:

1. (1.18)

Інвертування матриць

Розглянемо невироджену матрицю n-го порядку:

(1.19)

.

Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю, тобто , і виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю, тобто .

Квадратна матриця називається оберненою до квадратної матриці того ж порядку, якщо їх добуток дорівнює одиничній матриці:

Визначення рангу матриці

Якщо у будь-якій матриці виділити r довільних столбців та r довільних рядків, то з елементів матриці, які містяться на перетині цих рядків і стовпців, можна скласти визначник r-го порядку. Його називають мінором r-го порядку.

Рангом матриці називають число, яке дорівнює найвищому порядку її мінора, відмінного від нуля (rang [A]).

Диференціальне обчислювання в матричній формі

Розглянемо деякі випадкидиференціального обчислювання в матричній формі, які використовуються в економетриці.

1.Похідна від скалярного добутку векторів ( ) по одному з них дорівнює другому:

(1.21)

.

2.Розглянемо добуток , де А – квадратна симетрична матриця порядку n, x – вектор розмірністю n.

(1.22)

а

(1.23)

бо

.

.

(1.24)

1. Друга частинна похідна по вектору х :

(1.25)

.

1. Для побудови та аналізу економетричних моделей, а також для прогнозування економічних процесів застосовується ряд професійних пакетів прикладних програм. Такими є пакет STATGRAFICS, SPSS. В рамках лабораторної роботи необхідно поверхньо ознайомитися з призначенням цих пакетів, їх функціональними можливостями та особливостями, а також послідовністю операцій, які виконуються з їх застосуванням.

1. Завдання для самостійної роботи студентів

1. Завдання 1.1

2. Згадати правила виконання операцій з матрицями (додавання, множення, транспонування, інвертування, диференціювання).

3. Завдання 1.2

Виконати дії над матрицями:

,

,

,

,

(E – одинична матриця).

Вихідні дані для розрахунків:

, abc – три останні цифри шифру студента,

.

Лабораторна робота № 2

Тема. Парна лінійна регресія

Мета роботи: навчитися будувати парну лінійну регресійну модель економічних процесів.

1. Завдання

1. На основі спостережених даних показника Y і фактора X знайти оцінки:

1. коефіцієнтів кореляції і детермінації;

2. параметрів лінії регресії .

2. Побудувати ANOVA-таблицю для парної регресії.

3. Використовуючи критерій Фішера, з надійністю P=0.95 оцінити адекватність прийнятої моделі статистичним даним.

4. Розрахувати інші показники якості моделі.

5. Використовуючи t-статистику, з надійністю Р=0.95 оцінити значущість коефіцієнта кореляції.

6. Використовуючи t-статитстику, з надійністю Р=0.95 оцінити значущість параметрів моделі та визначити інтервали довіри для параметрів.

7. Якщо модель адекватна статистичним даним, то знайти:

1. з надійністю Р=0.95 надійні зони базисних даних;

2. точковий прогноз показника;

3. інтервальні прогнози показника та його математичного сподівання.

8. На основі одержаної економетричної моделі зробити висновки.

1. Хід роботи

1. 1) Коєфіцієнт кореляції є мірою щільності зв’язку між змінними.

Коєфіцієнт кореляції між двома рядами спостережуваних змінних X та Y розраховується за формулою:

(2.1)

Коефіцієнт детермінації дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції.

1. Вводиться гіпотеза, що між фактором Х та показником Y існує лінійна стохастична залежність

.