183533 (Моделирование экономики), страница 4

.

Эти производные называются предельными продуктами.

Можно составить производственные функции данного производства даже ничего не зная о производстве. Надо только поставить у возможного производства счетчик (человека на какое-то автоматическое увеличение), который будет фиксировать увеличиваемые ресурсы и - количество продукции, которую производство произвело. Если накопить достаточно много такой статической информации, учесть работу производства в различных режимах, то можно прогнозировать выпуск продукции, зная объем ввезенных ресурсов, а это и есть производственная функция.

3 Понятие «однородность производственной функции» включает в себя следующее ее свойство: равномерное увеличение всех производственных факторов вызывает пропорциональное увеличение продукта. Выразим это математически:

Функция однородна в степени h. если

.

Таким образом, когда каждая независимая переменная принимает значения , значение функции возрастает в раз.

Величина показывает степень использования производственных факторов или их эффективность. В случае, когда , эффективность производственных факторов будет равна 1, при говорят, что производственные факторы обладают растущей эффективностью и соответственно при эффективность факторов снижается

4. Эластичностью экономического показателя называется его способность реагировать в большей или меньшей степени на изменение другого показателя.

Определим эластичность объема производства по некоторому фактору как отношение темпов прироста к темпам прироста этого фактора.

Рассчитаем коэффициент эластичности по основным фондам :

;

;

;

Здесь - непрерывная дифференцируемая функция по .

Так как на практике это условие выполняется редко, то коэффициент эластичностьи часто выражается через приросты.

;

Пусть , тогда

- равен относительному изменению .

;

Коэффициент эластичности показывает как изменяется (в %) величина , если величина возрастает на 1%.

Если коэффициент эластичности в какой-нибудь точке равен 1, то относительная и предельная величины равны друг другу. Это выполняется в точках, в которых относительная величина достигает минимума или максимума.

Иногда экономические показатели характеризуются коэффициентом эластичности. Если , то говорят, что экономический показатель эластичен по ; если , то говорят, что экономический показатель абсолютно эластичен.

Так как производственная функция содержит несколько факторов, то следует исследовать эластичность по всем факторам. Вводится понятие частной эластичности.

;

.

Для функции параметры и являются частными коэффициентами эластичности.

;

.

4. Понятие замещения основывается на предположении, что производственные факторы могут заменять друг друга, и показывает, как при неизменной величине продукта можно изменять соотношения между факторами. Для можно поставить вопрос, насколько должно измениться число занятых при некотором изменении объема ОПФ, чтобы величина произведенного продукта осталась неизменной. Оценка замещения и определяется как отношение двух предельных величин и называется предельной нормой замещения.

или .

Например, если единичное изменение увеличивает на 6 единиц, а единичное изменение увеличивает на 3 единицы, можно сказать, что остается неизменным, если при росте на одну единицу число занятых увеличивается на 2 единицы. В этом случае

; ;

ед.

ед.

ед.

ед.

Различают ПФ (рис. 5.2, а и б).

а) Пф с взаимозаменяемыми факторами

б) Пф с дополняющими факторами

Рис.5.2

На рисунке изображены изокванты производственных функций. Каждая точка показывает значение продукта, произведенного с помощью комбинации факторов . Множество этих точек лежит на поверхности, называемой поверхностью производственных функций. Пересечение этой поверхности с плоскостями, параллельными плоскости , образуют кривые, называемые изоквантами. Каждая точка на этих кривых дает комбинацию производственных факторов, соответствующих одинаковому значению производственных функций.

Если производственные факторы можно заменять лишь в фиксированных пропорциях, то говорят, что производственные функции обладают нулевой предельной нормой замены.

5. ПФ Кобба-Дугласа (CDPF) принадлежит к наиболее известным, широко применяемым ПФ.

.

Ученые Дуглас и Кобб предприняли попытку оценить значения , используя данные по американской обрабатывающей промышленности за период с 1899 по 1922 года – индекс производства , индекс основного капитала , индекс труда . Они пришли к выводу, что

,

(таким образом имеет место неизменный эффект масштаба). С тех пор формула

,

,

для которой называют функцией Кобба-Дугласа. Функция наиболее часто используемая претерпела изменения

,

где - темп научно-технического прогресса. При

.

Предположим, что каждый производственный фактор вырос на %, тогда значения этих факторов будут равны:

;

.

Величина конечного продукта вычисляется:

;

При конечный продукт возрастает больше чем на r%, при - меньше, чем на %, а при - на %.

Частные коэффициенты эластичности равны

.

,

; .

Прологарифмируем CDPF

.

Производственная функция имеет линейный вид.

.

,

то есть при увеличении каждого производственного фактора на % выпуск продукции увеличивается на %.

ЛЕКЦИЯ 6

Тема: Модели типа «затраты – выпуск» В. Леонтьева

План

1. Статическая модель «затраты – выпуск» В. Леонтьева

2. Элементарная теория статической модели «затраты – выпуск»

3. Этапы построения модели «затраты – выпуск»

1 Рассмотрим обобщенную модель некоторой экономической системы (ЭС)

(рис. 6.1).

Рассмотрим выбранное описание.

Внешней средой является природа, общество и других экономических систем. На вход подаются ресурсы: природные, трудовые, интеллектуальная информация, капиталы и тому подобное. Экономическая система состоит из ПС производства продукции и ПС распределения. Часть валовой продукции используется для производства другой продукции, а часть используется для потребления, накопления и экспорта.

Например:

Рис. 6.1

Потоки продукции, циркулирующие между экономическими системами, показаны на рис. 6.2.

Рис. 6.2

Пусть - количество отраслей продукции,

- вектор валовой продукции (вектор выпуска),

- вектор конечной продукции,

- вектор промежуточной продукции (вектор затрат),

где - валовая продукция -й отрасли,

- конечная продукция -й отрасли,

- промежуточная продукция -й отрасли.

Экономическая система характеризуется матрицей А ( производственная матрица).

,

где - количество продукции -й отрасли, которая затрачивается на производство единицы продукции -й отрасли (предполагается, что в каждой из отраслей производство осуществляется одним технологическим способом). Отрасли выпускают однородную продукцию.

, .

Учитывая, что на производство валовой продукции всех видов затрагивается , , - межотраслевые потоки -й продукции, векторы и свяжем линейным уравнением:

которую можно привести к виду

.

Если , то есть ЭС использует весь валовый продукт на собственные нужды, то такая экономика и ее модель называются закрытыми. Если вырабатывается хоть один вид, ненулевой конечной продукции, то экономика и ее модель называются открытыми.

Модель Леонтьева можно использовать для того, чтобы:

1) вычислить по заданному количеству конечной продукции ( ) необходимое количество валовой продукции ( ).

2) При заданном уровне выпуска валовой продукции ( ) вычислить сколько будет конечного продукта ( ).

3) Исследовать влияние изменения технологии на производство, то есть вычислить как влияют изменения на и .

Для удобства математического исследования модель записывают в векторно-матричной форме

,