151567 (Переходные и свободные колебания), страница 2

Графики полученных выражений целесообразно построить в виде отношения

,

где f(t) = i(t) или f(t) = u_C(t) = u_R(t) ,

– максимальное значение определяемой величины, полученное на основании законов коммутации и физического смысла:

(нет скачка),

(скачок напряжения),

(скачок тока).

Заметим, что все эти отношения одинаковы, поэтому достаточно построить один график зависимости . В таблице приведены результаты расчета .

На рисунке 13 показаны графики функций для разных значений τ:

Рис. 13

Данный график представляет собой экспоненту, убывающую с ростом времени t. Важно заметить, что за промежуток времени τ значения экспоненты уменьшаются в е = 2,718… раз, причем такое убывание характерно для любого участка экспоненты.

4.2. Свободные переходные процессы в цепи с индуктивностью

Пусть через индуктивность L протекает ток I₀, т. е. при , . В момент времени происходит коммутация – гасится источник (рис. 14).

Рис. 14

За счет энергии, запасенной индуктивностью, происходит процесс свободных колебаний, пока вся энергия не израсходуется на нагрев резистора R. Найдем временные зависимости тока в цепи и напряжений на элементах R и L, которые, как видно из рисунка 14, одинаковы.

На основании 1-го закона коммутации ток через индуктивность не может измениться скачком, т. е. , и в момент времени , , то есть начальные условия ненулевые.

Рассматриваемая схема для момента времени , т. е. сразу же после коммутации, имеет вид, показанный на рисунке 15, при этом индуктивность можно рассматривать как источник задающего тока.

Рис. 15

Для нахождения закона изменения тока в цепи и напряжений на элементах R и L воспользуемся операторным методом, для чего индуктивность с током заменим одной из эквивалентных схем замещения. Здесь удобнее использовать параллельную схему замещения, при этом ток операторного источника тока соответствует начальному току через индуктивность. На рисунке 16 схема замещения индуктивности с током выделена пунктиром.

Рис. 16

На основании правила деления токов:

.

Задача в операторной форме решена – получено выражение для преобразованного тока в цепи. На основании таблицы соответствий получим оригинал – временную зависимость тока в режиме свободных колебаний:

,

где τ = – постоянная времени цепи, имеющая размерность [с].

Так как u_L = u_R, то их временные зависимости также одинаковы. По закону Ома для оригиналов:

.

Таким образом, в цепи с индуктивностью в режиме свободных колебаний ток и напряжение на элементах R и L будут изменяться (как и в цепи с емкостью) по экспоненциальному закону с постоянной времени τ = . Физический смысл τ такой же, как и в цепи с емкостью. Постоянная времени зависит от параметров цепи R и L и влияет на крутизну экспоненты:

1. при увеличении τ, что достигается уменьшением величины R или увеличением величины L, экспонента проходит положе – процесс затухания свободных колебаний замедляется;

2. при уменьшении τ, что достигается увеличением величины R или уменьшением L, экспонента проходит круче, и процесс затухания свободных колебаний ускоряется.

При этом , то есть скачок тока невозможен, а , то есть наблюдается скачок напряжения.

Тогда .

Этот график представляет собой убывающую экспоненту. Крутизна убывания определяется величиной постоянной времени τ. Вид графика не отличается от ранее рассмотренного для цепи с емкостью.

Время окончания свободных колебаний зависит от постоянной времени цепи и определяется так же, как и для цепи с емкостью:

t_УСТ = (3 4,6)τ.

Примечание: Постоянная времени сложной цепи определяется по формуле, τ = , где R = R_Э – эквивалентное сопротивление, подключенное к элементу индуктивности после совершения коммутации, то есть при . Это сопротивление находится как в обычной резистивной цепи.

В результате анализа свободных колебаний в цепи с одним реактивным элементом можно сделать общие выводы.

1. Реакция (ток, напряжение) цепи на ступенчатое воздействие, формируется путем отключения от цепи источника энергии, представляет собой экспоненциальную убывающую функцию вида:

.

Это соответствует физическому смыслу: при отключении источника накопленная энергия убывает, она расходуется на нагрев активного сопротивления.

При анализе свободных колебаний необходимо определить начальное значение реакции, используя законы коммутации, начальные условия, постоянную времени цепи.

1. Закон изменения реакций справедлив и для сложных цепей, содержащих один реактивный элемент и несколько резисторов.

Библиографический список

1. Белецкий А. Ф. ТЛЭЦ: учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1986.

2. Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях.

3. Бакалов В. П. ТЭЦ: учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1998