125486 (Сопротивление материалов), страница 7

Для сталей различных марок Е = 195-206 ГПа, G = 79-89 ГПа,  = 0,23-0,31, для сплавов алюминия Е = 69-71 ГПа, G = 26-27 ГПа,  = 0,30-0,33. Упругие свойства некоторых материалов даны в табл. 1.

Характеристиками пластичности материала являются относительное удлинение и относительное сужение при разрыве:

где l₀, F₀ - длина рабочей части образца и площадь поперечного сечения до деформации; l_к - длина рабочей части образца после разрыва; F₀ - конечная площадь поперечного сечения в шейке образца после разрыва.

По величине относительного удлинения при разрыве проводится разделение состояния материалов на пластичное и хрупкое. Материалы, имеющие к моменту разрушения достаточно большие значения >10%), относят к пластическим материалам; к хрупким относят материалы с относительным удлинением  < 3%.

Оценка пластических свойств материала может быть проведена по такой характеристике, IKBK ударная вязкость –

KC=A/F,

где А - работа, затрачиваемая на ударное разрушение образца, Дж (или НЧм), F - площадь поперечного сечения образца в месте концентратора, м2 (или см2),

Работа А деформации при разрушении образца может быть определена по диаграмме растяжения . Так, если первоначальная длина образца l₀, то работа деформации, совершаемая силой Р на перемещении u:

где u_к - перемещение в момент, предшествующий разрушению. Тогда по зависимости и , находим

где - площадь диаграммы деформирования (работа деформации на единицу объема материала). Для сталей КС=50-100 Н м/см2. Материалы с ударной вязкостью КС < 30 Н м/см2 относят к числу хрупких.

Некоторые пластичные материалы в районе площадки текучести обнаруживают особенность (например титан), называемую "зубом текучести"; для таких материалов вводится понятие верхнего и нижнего предела текучести (_т^в, _т^н).

Экспериментальное изучение свойств материалов при сжатии проводится на коротких образцах с тем, чтобы исключить возможность искривления образца. Для пластичных материалов характер диаграммы при сжатии примерно до возникновения текучести такой же, как и при растяжении. В процессе деформации сжатия образец укорачивается; при этом размеры поперечного сечения увеличиваются. Из-за трения между опорными плитами нагружающего устройства и торцевыми поверхностями образца он принимает бочкообразную форму. Для ряда пластичных материалов обнаружить напряжение, аналогичное временному сопротивлению при растяжении, не удается, так как образец сплющивается.

Хрупкие материалы проявляют значительно лучшую способность сопротивляться деформациям сжатия, чем деформациям растяжения; для них разрушающее напряжение при сжатии превышает предел прочности при растяжении в несколько раз. Разрушение хрупких материалов при сжатии происходит за счет образования трещин.

9. Растяжение (сжатие) призматических стержней

Ключевые слова: прочность, перемещение, концентрация напряжений, напряженное состояние.

Напряжение при растяжении (сжатии) призматических стержней. Расчет на прочность

Переходя к изучению введенных основных видов деформации стержней, ограничимся рассмотрением стержней постоянного поперечного сечения с прямолинейной осью, т. е. призматических стержней. Начнем с деформации растяжения (сжатия).

Напомним, что под растяжением (сжатием) понимают такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникает лишь один внутренний силовой фактор - продольная сила N_z. Поскольку продольная сила численно равна сумме проекций, приложенных к одной из отсеченных частей внешних сил на ось стержня (для прямолинейного стержня она совпадает в каждом сечении с осью O_z), то растяжение (сжатие) имеет место, если все внешние силы, действующие по одну сторону от данного поперечного сечения, сводятся к равнодействующей, направленной вдоль оси стержня (рис. 1). Одна и та же продольная сила N_z при действии на различные части стержня (левую или правую) имеет противоположные направления. Знак N_z зависит от характера вызываемой ею деформации. Продольная сила считается положительной, если вызывает растяжение элемента (рис. 2, а), и она отрицательна, если вызывает сжатие (рис. 2, б).

Для того, чтобы сформулировать предпосылки теории растяжения (сжатия) призматического стержня, обратимся к эксперименту. Представим себе стержень, изготовленный из какого-либо податливого материала (например, резины), на боковую поверхность которого нанесена система продольных и поперечных рисок (рис. 3, а). Эта ортогональная система рисок остается таковой и после приложения растягивающей нагрузки (рис. 3, б). Поскольку поперечные риски являются следами поперечных сечений на поверхности стержня и остаются прямыми и перпендикулярными к оси стержня то это свидетельствует о выполнении гипотезы плоских сечений (Бернулли). С учетом гипотезы об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон приходим к выводу, что деформация растяжения стержня сводится к одноосному растяжению его продольных волокон, и в поперечном сечении стержня возникают лишь нормальные напряжения а (рис. 4), индекс г у которых опускаем. Ортогональность продольных и поперечных рисок свидетельствует также об отсутствии сдвигов, а, следовательно, и связанных с ними касательных напряжений т в поперечных и продольных сечениях стержня.

Тогда продольная сила N" равная сумме проекции внутренних сил, действующих в данном поперечном сечении площадью F (рис. 4) очевидно будет равна

Это соотношение является уравнением равновесия статики, связывающим продольную силу N_z, и нормальное напряжение , которое в общем случае является функцией координат х и у и поэтому не может быть найдено из одного лишь 1 уравнения статики . Таким образом, задача определения напряжений даже в самом простом случае деформирования стержня (растяжении или сжатии) оказывается статически неопределимой.

Необходимое для решения этой задачи дополнительное уравнение вытекает из гипотезы плоских сечений. Поскольку поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и перпендикулярными к оси стержня, в процессе деформирования лишь поступательно перемещаются вдоль оси стержня (что приводит к одинаковому удлинению всех продольных волокон), то приходим к уравнению =const, из которого ввиду однозначности связи  и  (для линейно-упругого материала это - закон Гука: =Е.) вытекает, что

 = const.

Решая совместно уравнения получим, что N_z=F или

 = N_z / F.

Таким образом, при растяжении (сжатии) призматического стержня нормальные напряжения равномерно распределены по поперечному сечению, а касательные напряжения в сечениях отсутствуют, что является следствием гипотезы плоских сечений. Указанное, несмотря на, казалось бы, очевидность и простоту, является фундаментальным результатом, справедливым, строго говоря, лишь для призматического стержня. Однако в инженерной практике его используют и для приближенной оценки нормальных напряжений в стержнях переменного сечения. При этом, чтобы погрешность формулы была невелика, необходимо, чтобы площадь поперечного сечения стержня изменялась достаточно плавно вдоль его оси.

Условие прочности при растяжении (сжатии) призматического стержня для стержня из пластического материала (т. е. материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие) будет иметь вид:

(1)

где [] - допускаемое напряжение. Напряжение  в условии (1) подставляется по модулю, так как знак  в этом случае роли не играет. Для стержней из хрупких материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак напряжения имеет принципиальное значение, и условие прочности приходится формулировать отдельно для растяжения и сжатия

где _р и _с - напряжения растяжения и сжатия, а [_р] и [_с] - ответствующие им допускаемые напряжения.

В практике инженерных расчетов, исходя из условия прочности, решаются три основные задачи механики материалов конструкций. В применении к случаю растяжения (сжатия) призматического стержня эти задачи формулируются следующим образом.

Проверка прочности (поверочный расчет). Этот расчет проводится, если нагрузка (в нашем случае ее представляет N_z), сечение стержня F и его материал [] заданы.

Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности

Проверочный расчет заключается в том, что определяется фактический коэффициент запаса прочности n и сравнивается с нормативным коэффициентом запаса [n]:

где * - предельное (или опасное) напряжение, т. е. напряжение, вызывающее отказ элемента конструкции (напомним, что, например, для стержня из пластичного материала это-предел текучести sт или условный предел текучести _0,2).

Подбор сечения (проектный расчет). В этом расчете по Заданной нагрузке (N_z) определяются размеры поперечного сечения стержня (F) из заданного материала ([] дано). Минимальное значение F получим, если в условии прочности (1) принять знак равенства:

[F] = N_z / []

Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции (F и [] даны) при выполнении условия прочности (1)

[N] = []F

Понятие о концентрации напряжений, принцип Сен-Венана

Даже для призматического стержня равномерное распределение напряжений по поперечному сечению не всегда имеет место. Так, отклонения от равномерного распределения напряжений наблюдаются в окрестности сечений, содержащих вырезы, выточки, отверстия, трещины, в местах резкого изменения поперечного сечения, а также в местах приложения сосредоточенных сил и т. п. Неравномерное распределение напряжений в указанных местах является следствием искажения плоскостей поперечных сечений или их депланации.

Поясним это явление на примере подверженной растяжению полосы из податливого материала с круговым отверстием, на поверхности которой нанесены продольные и поперечные риски (рис. 5, а). В зоне отверстия имеет место депланация поперечных сечений, вызванная неравномерным растяжением продольных волокон (рис.5, б). При этом наибольшие удлинения и соответственно напряжения max  получают волокна возле отверстия. Такое местное увеличение напряжений возле вырезов, выточек, отверстий и т. п., а также в местах приложения сосредоточенных сил, называется концентрацией напряжений, а источники концентрации напряжений (вырезы, выточки, отверстия и т. п.) получили название концентраторов напряжений.