86341 (Непрерывность функции на интервале и на отрезке), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Непрерывность функции на интервале и на отрезке", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86341"
Текст 2 страницы из документа "86341"
Доказательство. Так как по предыдущей теореме функция ограничена на сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на - число . Тем самым, множества , ,..., ,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения : , . Эти не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):
и ограничены сверху числом . Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел Так как , то и
по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть . Но при всех , и в том числе . Отсюда получается, что , то есть максимум функции достигается в точке .
Аналогично доказывается существование точки минимума.
В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию
на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что ) и , однако значение1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что , а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке , так что при предел не равен значению функции в точке0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию на интервале . Очевидно, что функция непрерывна и что и , однако ни значения0, ни значения1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию на полуоси . Эта функция непрерывна на , возрастает, принимает своё минимальное значение0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом и