86138 (Построение прямоугольной системы координат), страница 2

ЗАДАЧА 2. Координаты середины отрезка.

Известны координаты концов отрезка М₁ М₂ - М₁ ( х₁; у₁) и М₂ ( х₂; у₂) . Найдем координаты точки М , являющейся серединой отрезка.

В ыполним чертеж, расположив точки в первой четверти.

Рис. 4

Обозначим искомые координаты точки М ( х ; у). М – середина отрезка М₁ М₂, т.е. М₁М = ММ₂ . Спроектируем точки М₁, М₂ и М на ось 0х, получим там точки р₁, р₂, р. Из геометрии известно, что р₁р = рр₂ . Выразим эти отрезки через координаты:

р₁р = х – х₁; рр₂ = х₂ – х

Получим: х – х₁ = х₂ – х

Выразим х: 2х = х₂ + х₁ .

Проектируя точки на ось 0у аналогично получим: .

Формулы (2)

позволяют находить координаты середины отрезка.

ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.

Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.

Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р, называемый полярной осью.

Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости. (См. рис. 5)

П усть М – произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Соединим эту точку М с полюсом 0 отрезком 0М.

Рис. 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Расстояние r от точки М до полюса называют полярным радиусом точки М. Угол между полярной осью и отрезком ОМ называют полярным углом точки М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки М.

Будем записывать М (r; ).

Полярный радиус принимает значения r 0 (r = 0 для полюса!).

Полярный угол отсчитывается от полярной оси к отрезку 0М против часовой стрелки. Значения полярного угла достаточно рассматривать из промежутка 0 2.

ЗАМЕЧАНИЕ. В некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие 2, а также отрицательные углы, т.е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ И ПОЛЯРНЫМИ КООРДИНАТАМИ

Иногда приходится одновременно пользоваться прямоугольными и полярными координатами на плоскости. Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Формулы (2) выражают полярные координаты точки через ее прямоугольные.

Заметим, что значению тангенса, найденному по формуле в промежутке 0 2 соответствуют два значения угла . Выбирается то значение , которое соответствует положению точки М на координатной плоскости.

ПРИМЕР 1. Зная декартовы координаты точки М ( ; у = 1) , найти ее полярные координаты.

Решение. По формулам (2) получим:

.

Этому значению тангенса соответствуют два значения угла . Т.к. точка лежит в I четверти берем .

Значит полярные координаты точки .

ПРИМЕР 2. Записать в полярных координатах уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.

Решение. Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а в декартовых координатах имеет вид: х² + у² = а².

Подставим вместо х , у их выражение через полярные координаты по формулам (1) . Получим (r cos )² +(r sin )² = a².

r² (cos² + sin² ) = a² r² = a² r = a.

Получим r = а – полярное уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.

Предположим, что полюс полярной системы координат совпадает с началом прямоугольной системы координат 0ху, а полярная ось совпадает с положительной полуосью 0х.

Рис. 6

1. Переход от полярных координат к прямоугольным.

Пусть известны полярные координаты произвольной точки М (r; ). х = 0K , y = MK - прямоугольные координаты точки М. Из чертежа на рис.6 из прямоугольного треугольника ОМК получим:

(3)

Формулы (3) выражают прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты.

1. Переход от прямоугольных координат к полярным.

Из прямоугольного треугольника ОАМ получаем по теореме Пифагора:

Из того же треугольника имеем:

(4)

Отметим, что полярные координаты, наряду с прямоугольными, широко используется в топографии для определения положения объектов на местности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На лекции рассмотрен предмет математики, некоторые исторические сведения. Новым вопросом является понятие полярных координат, которые находят широкое применение на практике. Характерно, что прямоугольные и полярные координаты часто используют одновременно, поэтому важно усвоить связь между ними. Курсантам рекомендуется при изучении материала лекции подготовить ответы на предлагаемые далее вопросы.

доцент Смирнова А.И.

"____" __________ 2004 г.