86138 (Построение прямоугольной системы координат)

КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

"Утверждаю"

Начальник кафедры № 9

полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

доцент СМИРНОВА А.И.

"ВВЕДЕНИЕ"

ЛЕКЦИЯ № 1 / 1

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2004г.

Протокол № ___________

Кострома, 2004

Содержание

Введение

1. Предмет математики. Исторические сведения.

2. Построение курса математики в училище.

3. Прямоугольная система координат. Полярные координаты и их связь с прямоугольными.

Заключение

Литература

1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, т.1,гл.1, §1, 2, 3.

2. В.Е. Ефимов, Краткий курс аналитической геометрии, гл.1, § 1, 2, 3, 4.

ВВЕДЕНИЕ

На лекции рассматривается предмет математики, краткие исторические сведения, построение курса математики в училище. Курсантам напоминаются и систематизируются сведения о прямоугольной системе координат на плоскости, знакомые им из школьного курса. Вводится полярная система координат и устанавливается ее связь с прямоугольной. Данная лекция является вводной для всего курса высшей математики и является подготовкой для рассмотрения в дальнейшем вопросов аналитической геометрии.

1-ый учебный вопрос

ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Математика представляет собой одну из самых важных функциональных наук. В широком смысле математика – это наука в которой изучаются количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Возникновение математики относится к глубокой древности. Первый ее период получил название "элементарной математики". Ее особенности:

1. Неподвижность рассматриваемых объектов;

2. Не использование идеи бесконечности;

3. Отсутствие общих методов.

Бурное развитие производства, техники, естествознания в XYII-XYIII веках потребовало создания математического аппарата, пригодного к изучению переменных величин, находящихся между собой в функциональной зависимости.

Возникла новая, так называемая, высшая математика с ее разделами: аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, теория дифференциальных уравнений и другие. В общих чертах математику делят на геометрию и анализ. В аналитической геометрии был дан общий метод решения геометрических задач – метод координат.

Математический анализ занимается переменными величинами и их взаимосвязью.

Основы аналитической геометрии были даны французским математиком Декартом /1596-1650/. Открытие дифференциального и интегрального исчисления принадлежит английскому математику Ньютону /1642 –1727/ и немецкому математику Лейбницу /1642-1716/. Выдающаяся роль в создании классического математического анализа сыграли Эйлер /1707 – 1783/, Лагранж /1736 – 1813/, Гаусс /1777 – 1855/, Коши /1789 – 1857/, Вейерштрасс /1815-1897/ и др.

Расцвет математики наступил тогда, когда без нее не могут обойтись другие науки. К концу XIX века математика приобретает огромное практическое значение. Теперь область знания превращается в зримую науку, если в ней используются математические методы.

Математические методы плодотворно используются во многих областях. На основании теории исчисления бесконечно малых величин Ньютон вывел законы движения небесных тел. На основе дифференциального и интегрального исчисления были сформулированы все физические законы, открытые в XVIII – XIX веках. В 1848 году французский ученый Леверье теоретически предсказал существование планеты Нептун, а затем открыл ее.

Жуковский, профессор московского университета, теоретически предсказал возможность фигур высшего пилотажа и в скором времени первая фигура "мертвая петля" была использована Нестеровым.

Большой вклад в развитие математики внесли русские ученые. Остановимся на некоторых важных результатах, полученных учеными России.

РОЛЬ РУССКИХ УЧЕНЫХ

Великому математику, петербургскому академику Эйлеру, принадлежат фундаментальные результаты почти во всех областях математического знания.

Н.И. Лобачевский / 1792-1856 / совершил настоящую революцию в геометрии, создав новую науку "Геометрию Лобачевского".

М.В. Остроградский / 1801-1861 / вывел важное соотношение в теории кратных интегралов.

Русский ученый П.Л. Чебышев / 1821-1894 / в связи со своими замечательными работами по теории механизмов создал новый раздел математики "Теория наилучшего приближения функции". Он является основателем одной из наиболее сильнейших математических школ в мире – Петербургской математической школы, блестящими представителями которой были А.А. Марков, В.А. Стеклов, А.Н. Крылов и другие.

С.В. Ковалевская / 1850 – 1891 / работала в области дифференциальных уравнений и теоретической механики и получила там первоклассные результаты

В XX веке продолжается бурный процесс математизации других наук. Математические методы с успехом используются не только в механике, физике, астрономии, но и в биологии, экономике, военном деле, медицине, лингвистике и других областях.

Последние десятилетия ознаменовались бурным развитием средств и методов вычислительной математики. Математическое моделирование и прогнозирование позволяет рассчитать такие процессы, которые даже недоступны к постановке опыта (проблема термоядерного управляемого синтеза, физики плазмы, лазеров и другие задачи).

Отметим, что в настоящее время достижения русских математиков находятся на уровне передовой математической мысли.

Остановимся на роли математики в военном деле. В настоящее время математические методы широко применяются во всех общенаучных и инженерных дисциплинах, необходимых при подготовке военного специалиста. Методы математического анализа и теории вероятностей используются в тактике, теории стрельбы и боеприпасов, теории эффективности боевых действий и др.

В военной науке широкое распространение получило математическое моделирование, позволяющее с помощью ЭВМ моделировать и изучать многие технические, экологические процессы, а также разрабатывать и прогнозировать военные операции.

2-oй учебный вопрос

ПОСТРОЕНИЕ КУРСА МАТЕМАТИКИ В УЧИЛИЩЕ

Курс высшей математики имеет объем 300 учебных часов. И изучается в течение четырех семестров. Содержание курса увязано с потребностями общенаучных, общеинженерных, военных дисциплин, изучаемых курсантами в училище, ориентировано на использование вычислительных средств.

В первом семестре изучаются элементы аналитической геометрии, а так же разделы математического анализа: теория пределов, дифференциальное исчисление функции одной переменой.

Во втором семестре основными являются следующие разделы математического анализа: исследование функции с помощью производной, интегральное исчисление, функции нескольких переменных.

В третьем семестре изучаются дифференциальные уравнения и теория вероятностей.

В четвертом семестре изучаются элементы математической статистики, ряды, а также некоторые прикладные вопросы.

По высшей математике проводятся следующие виды занятий: лекции, практические занятия, лабораторные работы.

На лекциях преподаватель излагает теоретические вопросы и общие методы решения задач. Конспекты лекций рекомендуется вести в отдельных тетрадях, которые преподаватель может брать для просмотра.

На практических занятиях (для взвода) производится опрос теории и производится решение практических задач под руководством преподавателя. Для практических занятий необходимо иметь отдельную тетрадь. На практических занятиях по каждой теме проводятся небольшие письменные самостоятельные работы – "летучки" с выставлением оценок. По важным темам в качестве контроля проводятся двухчасовые контрольные работы. В I, II и III семестрах предусмотрено по две контрольные работы, в IV семестре одна

В каждом семестре проводится несколько лабораторных работ с использованием микрокалькуляторов. Всего за период обучения 14 лабораторных работ. Для лабораторных работ необходима отдельная тетрадь. На лабораторных работах отрабатываются практические вычислительные методы по различным темам. В конце каждой работы курсанты оформляют отчет, защищают его и получают оценку. В четвертом семестре предусмотрена курсовая работа, включающая в себя решение системы практических задач.

Важную роль при изучении курса математики играет самостоятельная работа курсантов. К каждому практическому и лабораторному занятию курсанты должны выполнить данное им задание на самоподготовку, включающее теоретические вопросы и практические задания. Дополнительно рекомендуется после каждой лекции изучать ее конспект, а также рекомендуемую литературу.

В качестве итоговых форм контроля по высшей математике проводятся зачеты и экзамены. В I и III семестрах предусмотрен экзамен, во II и IV семестрах – зачет.

3-ий учебный вопрос

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ И ИХ СВЯЗЬ СПРЯМОУГОЛЬНЫМИ

Прямоугольная система координат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси 0х и 0у, имеющие общее начало точку 0 и общую единицу масштаба.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Плоскость, в которой расположены оси 0х и 0у, называется координатной плоскостью и обозначается 0ху.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Горизонтальную ось 0х называют осью абсцисс, вертикальную ось 0у – осью ординат, общее начало осей, точку 0 называют началом координат.

Оси 0х и 0у образуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.

В озьмем на координатной плоскости 0ху произвольную точку М. Опустим из нее перпендикуляры на оси координат. На осях получим точки М₁ и М₂ – проекции точки М соответственно на ось 0х и 0у (см. рис. 1).

Рис. 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Координата х точки М₁ на оси 0х называется абсциссой точки М, координата у точки М₂ на оси 0у называется ординатой точки М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Упорядоченная пара чисел (х; у), где х – абсцисса точки М, у – ордината точки М, называются п р я м о у г о л ь н ы м и (или декартовыми прямоугольными) координатами точки М. Записывается так: М (х; у).

О тметим, что оси 0х и 0у делят координатную плоскость на четыре части, называемыми четвертями или квадрантами. (См. рис. 2)

Рис. 2

Ясно, что каждой точке на плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел х и у – ее прямоугольные координаты. Обратно, каждая упорядоченная пара чисел х и у определяет единственную точку на плоскости.

Когда говорят " дана точка " или " найти точку ", то это означает, что заданы или требуется найти координаты этой точки.

Способ определения положения точки с помощью чисел называется методом координат.

Создателем координатного метода был французский математик Декарт, который прилагал этот метод ко многим геометрическим задачам и создал математическую дисциплину – аналитическую геометрию.

Рассмотрим две важные задачи аналитической геометрии на плоскости, которые решаются методом координат.

Задача 1. Расстояние между двумя точками на плоскости.

На плоскости даны две точки М₁ (х₁; у₁) и М₂ (х₂; у₂) . Найдем расстояние между ними d. Выполним чертеж, расположив для простоты точки в первой четверти.

Рис. 3

Через точки М₁ и М₂ проведем отрезки М₁k 0х; М₂k 0y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник М₁ М₂ k. Его катеты М₁k = х₂ – х₁; М₂k = у₂ – у₁.

По теореме Пифагора: .

Получим формулу (1)