86052 (Уравнение линии на плоскости), страница 3

Функцию двух переменных будем обозначать . Ее область определения есть подмножество координатной плоскости. Окрестностью точки называется круг, содержащий точку .

Число называется пределом функции при и (или в точке ), если для любого малого числа найдется число (зависящее от ), такое, что для всех точек , отстоящих от точек на расстояние меньшее, чем , выполняется неравенство .

Обозначается предел так; .

Функция называется непрерывной в точке , если она

1. определена в точке

2. имеет конечный предел при и

3. этот предел равен значению функции в точке , то есть .

Величина называется полным приращением функции в точке . Если задать приращение только одной какой-либо переменной то получается частное приращение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Таким образом, для функции по определению

.

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, то есть

или .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде , где

– бесконечно малые при .

Теорема. Если частные производные и функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Градиентом функции называется вектор . Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

Теорема. Пусть точка – есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Если частные производные и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно определить также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Если частные производные второго порядка функции непрерывны в точке , то в этой точке .

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть функция

1. определена в некоторой окрестности критической точки , в которой .

2. имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка , , .

Тогда, если , то в точке функция имеет экстремум, причем если – максимум, если – минимум. В случае функция экстремумов не имеет. Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные первого порядка.

2. Решить систему уравнений , и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Литература

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003.

2.Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская Теория вероятностей в задачах и упражнениях / М. ИНФРА-М 2005.

3. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004. Ч. 1, 2

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1977

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977

6. М.С. Красс Математика для экономических специальностей: Учебник/ М. ИНФРА-М 1998.

7. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 2000.

8. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1971.

9.А.К. Казашев Сборник задач по высшей математике для экономистов – Алматы - 2002 г.

10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1985, Т. 1,2.

11.П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Высшая математика в упражнениях и задачах/ М. ОНИКС-2005.

12.И.А. Зайцев Высшая математика/ М. Высшая школа-1991 г.

13. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985.

14. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы анализа экономики. – М.: ДИС, 1997.

15. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: Высшая школа, 1982 – Ч 1, 2.

16. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: Инфра-М, 1997.

17.В.С. Шипацев Задачник по высшей математике-М. Высшая школа, 2005 г.