86052 (Уравнение линии на плоскости)
Описание файла
Документ из архива "Уравнение линии на плоскости", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86052"
Текст из документа "86052"
Уравнение линии на плоскости
Основные вопросы лекции: уравнения линии на плоскости; различные формы уравнения прямой на плоскости; угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой; кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и геометрические свойства; уравнения плоскости и прямой в пространстве.
Уравнение вида называется уравнением прямой в общем виде.
Если выразить в этом уравнении , то после замены и получим уравнение , называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом, причем , где – угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Если же в общем уравнении прямой перенести свободный коэффициент в правую сторону и разделить на него, то получим уравнение в отрезках
, где и – точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат соответственно.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Пусть заданы две прямые и .
Чтобы найти точку пересечения прямых (если они пересекаются) необходимо решить систему с этими уравнениями. Решение этой системы и будет точкой пересечения прямых. Найдем условия взаимного расположения двух прямых.
Так как , то угол между этими прямыми находится по формуле
.
Отсюда можно получить, что при прямые будут параллельными, а при – перпендикулярны. Если прямые заданы в общем виде, то прямые параллельны при условии и перпендикулярны при условии
Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле
Нормальное уравнение окружности:
Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
где - большая полуось, - малая полуось и . Фокусы находятся в точках . Вершинами эллипса называются точки , , , . Эксцентриситетом эллипса называется отношение
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
где - большая полуось, - малая полуось и . Фокусы находятся в точках . Вершинами гиперболы называются точки , . Эксцентриситетом гиперболы называется отношение
Прямые называются асимптотами гиперболы. Если , то гипербола называется равнобочной.
Из уравнения получаем пару пересекающихся прямых и .
Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, от каждой из которых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой называемой директрисой, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение параболы
.
Прямая называется директрисой, а точка – фокусом.
Понятие функциональной зависимости
Основные вопросы лекции: множества; основные операции над множествами; определение функции, ее область существования, способы задания; основные элементарные функции, их свойства и графики; числовые последовательности и их пределы; предел функции в точке и на бесконечности; бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства; основные теоремы о пределах; замечательные пределы; непрерывность функции в точке и на интервале; свойства непрерывных функций.
Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят что на множестве задана функция. При этом называется независимой переменной или аргументом, а – зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.
Множество называется областью определения или существования функции, а множество – областью значений функции.
Существуют следующие способы задания функции
-
Аналитический способ, если функция задана формулой вида
-
Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции
-
Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции
-
Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.
Основные свойства функции
-
Четность и нечетность. Функция называется четной, если для всех значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.
-
Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
-
Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случае функция называется неограниченной.
-
Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .
Классификация функций.
-
Обратная функция. Пусть есть функция от независимой переменной , определенной на множестве с областью значений . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве с областью значений называется обратной.
-
Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою очередь является функцией.
Наиболее часто используются в экономике следующие функции.
-
Функция полезности и функция предпочтений – в широком смысле зависимости полезности, то есть результата, эффекта некоторого действия от уровня интенсивности этого действия.
-
Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
-
Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объема производства от начало или потребления ресурсов.
-
Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема продукции.
-
Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов.
Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число то говорят, что задана числовая последовательность .
:
Числа называются членами последовательности, а число - общим членом последовательности.
Число называется пределом числовой последовательности , если для любого малого числа найдется такой номер (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно равенство .Предел числовой последовательности обозначается .
Последовательность имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Число называется пределом функции при , если для любого малого числа найдется такое положительное число , что для всех таких, что верно неравенство .
Предел функции в точке. Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число называется пределом функции при , если для любого, даже сколь угодно малого , найдется такое положительное число (зависящий от ), что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство . Этот предел обозначается .
Функция называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю.
Свойства бесконечно малых величин
-
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
-
Произведение бесконечен малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая
-
Частное от деления бесконечно малой величины на функцию предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Понятие производной и дифференциала функции
Основные вопросы лекции: задачи, приводящие к понятию производной; определение производной; геометрический и физический смысл производной; понятие дифференцируемой функции; основные правила дифференцирования; производные основных элементарных функций; производная сложной и обратной функции; производные высших порядков, основные теоремы дифференциального исчисления; теорема Лопиталя; раскрытие неопределенностей; возрастание и убывание функции; экстремум функции; выпуклость и вогнутость графика функции; аналитические признаки выпуклости и вогнутости; точки перегиба; вертикальные и наклонные асимптоты графика функции; общая схема исследования функции и построение ее графика, определение функции нескольких переменных; предел и непрерывность; частные производные и дифференциал функции; производная по направлению, градиент; экстремум функции нескольких переменных; наибольшее и наименьшее значения функции; условный экстремум, метод Лагранжа.
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует)