86002 (Векторная алгебра и аналитическая геометрия), страница 2

Уравнения прямой в пространстве. Прямая в пространстве Oxyz определяется как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой в пространстве).

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид

,

где – точка, через которую проходит прямая, а вектор , параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой.

Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки и имеют вид

.

Угол между двумя прямыми с направляющими векторами и определяется по формуле

.

Пример 8. Пирамида задана координатами своих вершин , , . Требуется найти:

1) длины ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани, содержащей вершины ; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых и ;

6) уравнение высоты , опущенной из вершины на плоскость ;

7) расстояние от вершины до плоскости ; 8) угол между ребром и гранью, содержащей вершины .

Решение.1) Длины ребер и определим как модуль векторов и по формулам ;

;

2) Найдем координаты векторов и :

Длины этих векторов, т.е. длины ребер и , таковы: ,

. Косинус угла между ребрами и вычислим по формуле ;

3) Площадь грани (треугольника) равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половина модуля векторного произведения этих векторов, которое равно

.

Тогда, (кв. ед);

4) Объем пирамиды равен .

(куб. ед);

5) Уравнения прямых и найдем как уравнения прямых, проходящих через две данные точки:

( ): ,

( ): (абсциссы точек и одинаковые);

6) Направляющим вектором высоты является нормальный вектор плоскости . Получим уравнение плоскости :

,

– уравнение плоскости . Тогда нормальный вектор плоскости имеет координаты . Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид: ;

7) Для вычисления расстояния от вершины до плоскости воспользуемся формулой . В нашем случае – уравнение плоскости и . Итак, ;

8) Угол между прямой и плоскостью находят по формуле:

, где – нормальный вектор плоскости . и (см. п.7) . Таким образом, ,

.

Кривые второго порядка

Определение. Параболой называется множество точек плоскости (см. рис.7а), для каждой из которых расстояние до данной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до некоторой данной прямой (директрисы). Расстояние от фокуса параболы до директрисы называется параметром параболы. Парабола – симметричная кривая; точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы.

Каноническое уравнение параболы в декартовой системе координат: .

Определение. Эллипс есть множество точек плоскости (см. рис.7б), для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и (фокусов) постоянна и равна .

Отрезок называется фокусным расстоянием и обозначается через . Середина есть центр эллипса. Прямая, на которой лежат фокусы эллипса, называется первой осью эллипса. Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно его первой оси, называется второй осью эллипса. Оси эллипса являются его осями симметрии. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами. – большая ось эллипса, – малая ось.

Директрисой эллипса, соответствующей данному фокусу , называется прямая , перпендикулярная первой оси и отстоящая от центра эллипса на расстояние , где – эксцентриситет эллипса.

Каноническое уравнение эллипса в декартовой системе координат: , где и – большая и малая полуоси эллипса, соответственно.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости (см. рис.8) , модуль разности расстояний которых до двух данных точек и (фокусов гиперболы) постоянен и равен . Фокусное расстояние обозначают через . Прямая, на которой лежат фокусы, называется действительной (или фокальной осью) гиперболы. Прямая, проходящая через центр гиперболы , перпендикулярно к действительной оси, называется

м
нимой осью.

Директрисой гиперболы, соответствующей данному фокусу , называется прямая , перпендикулярная к действительной оси, отстоящая от центра на расстояние и лежащая от центра по одну сторону с фокусом, где – эксцентриситет.

Гипербола имеет две асимптоты, заданные уравнениями .

Каноническое уравнение гиперболы в декартовой системе координат: ,

где и – половины сторон основного прямоугольника гиперболы.

Пример 9. Определить вид линии второго порядка, заданной уравнением

.

Решение. Выделим полные квадраты по х и по у, получим:

,

,

,

т.е. имеем гиперболу, центр которой лежит в точке , .

П
олярные координаты. Для точки в плоскости Oxy ее полярные координаты определяются парой чисел , где – длина вектора , а – угол наклона вектора к полярной оси (положительного направления оси Ox), – длина вектора .

Декартовые и полярные координаты связаны следующими соотношениями:

.