85774 (Матрицы, Метод Гаусса), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Матрицы, Метод Гаусса", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85774"
Текст 2 страницы из документа "85774"
1-ый шаг метода Гаусса.
На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент 
. Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение:
( 2 )
где 
Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31).
Система примет вид:
( 3 )
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.
2-ой шаг метода Гаусса.
На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент 
. Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:
( 4 )
где 
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на 
Получим уравнение:
Предполагая, что 
находим
В результате преобразований система приняла вид:
(5)
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1.
В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.
Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.
Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными хk+1, … , xk переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х1, … , xk, которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе.
Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий), чем другие методы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.
доцент Смирнова А.И.
