162498 (Управление портфелем краткосрочных государственных ценных бумаг), страница 5

Величина и характер различия спот-ставок меняются с течением времени. Представление о временной структуре процентных ставок может быть получено посредством построения кривой доходности.

2) Кривая доходности.

Кривая доходности (yield curve) - это график зависимости доходности ценных бумаг (YTM) от срока, оставшегося до их погашения.

Кривая доходности может иметь различную форму, например, возрастать или убывать (рис. 1). Заметим, что если бы процентные ставки не зависели от времени, то кривая доходности представляла бы собой прямую горизонтальную линию, проходящую через некоторую точку R на оси ординат. Кривая доходности меняется ежедневно и на практике, очевидно, не является такой гладкой, как это изображено на рисунке.

Причиной "размытости" кривой доходности являются различные специфические особенности ценных бумаг, оказывающие влияние на их доходность. Анализ и интерпретация кривой доходности важны при оценке долговых ценных бумаг.

Рис. 1. Примеры кривых доходностей

Попыткам объяснить форму кривой доходности посвящены теории временной структуры процентных ставок, основанные на различных гипотезах относительно поведения участников рынка. Наиболее известными из этих теорий являются:

• теория ожиданий (Expectations Hypothesis);

• теория чистых ожиданий (Pure Expectations Hypothesis);

• теория предпочтения ликвидности (Liquidity Preference Hypothesis);

• теория сегментации рынка (Market Segmentation Hypothesis).

3) Текущая стоимость облигаций.

Финансовая информация в виде значений спот-ставок обычно доступна участникам рынка, причем последовательность на развитых рынках охватывает все типовые сроки обращения долговых обязательств, имеющихся на данном рынке. Например, подобная информация на основе казначейских ценных бумаг США регулярно публикуется в выпусках Бюллетеня Казначейства (Treasury Bulletin). Это позволяет финансовым аналитикам оценивать текущую стоимость произвольного долгового обязательства на основе метода дисконтирования платежей. В качестве ставок дисконтирования при этом используются соответствующие спот-ставки. Проиллюстрируем это на примере купонной облигации.

Пусть имеется Т-периодная купонная облигация и для всех периодов выплат купонного дохода известны спот-ставки . Тогда текущая стоимость купонной облигации определяется по формуле:

(20)

или

(21)

где - текущая стоимость платежа за период t (t=l, 2, ..., Т), которую можно рассматривать как текущую стоимость t-периодной бескупонной облигации.

Таким образом, купонную Т-периодную облигацию можно рассматривать как "портфель" из Т бескупонных облигаций с последовательными сроками погашения .

Форвардные ставки и цены облигаций

Во многих практических задачах, например при покупке или продаже облигаций на фьючерсных рынках, появляется необходимость в определении стоимости и ожидаемой доходности облигаций в будущие периоды.

В связи с этим возникает еще один тип процентных ставок, известных как форвардные ставки.

1) Форвардные ставки.

Форвардными ставками (forward rates) в широком смысле принято называть ставки, которые фиксируются в текущий момент относительно займов или кредитов, которые должны быть получены или предоставлены в некоторый будущий период.

Применительно к долговым ценным бумагам под форвардной ставкой будем иметь в виду ставку, которая устанавливается в текущий момент и характеризует доходность к погашению ценной бумаги, соответствующую некоторому будущему периоду владения.

Обозначим: - ставка доходности к погашению в периоде t бескупонной облигации со сроком обращения, равным Т-периодам.

Пусть известна временная структура процентных ставок в виде последовательности спот-ставок , t=l, 2, ..., Т. Тогда ставки , удовлетворяющие условию

(1+0 )Т= , =1, 2, ..., Т-1, Т>1, (22)

называются форвардными.

Заметим, что условие (22) - это условие эквивалентности двух альтернативных стратегий инвестирования, исключающее возможность получения гарантированного дохода без каких-либо инвестиций, т.е. исключающее арбитражные возможности

Первая стратегия (ей соответствует правая часть соотношения (22)) заключается в инвестировании средств сначала на t периоды, а затем реинвестировании полученной суммы на оставшийся до погашения срок, равный T-t периодам владения. На первом и втором этапах инвестирования используются соответственно спот-ставка Rt для -периодных вложений и форвардная ставка t , соответствующая периоду t. Вторая стратегия (левая часть соотношения (22)) состоит в инвестировании средств сразу на весь срок, оставшийся до погашения облигации под ставку .

Из соотношения (22) может быть найдено представление для форвардных ставок в случае капитализации дохода с использованием формулы сложных процентов. Это представление определяется формулой (23), которая позволяет вычислить по заданным значениям спот-ставок { }, а также комбинациям значений t и Т все необходимые для анализа форвардные ставки:

(23)

В случае непрерывно начисляемых процентов с учетом обозначения получаем:

С учетом (20), (22) текущая стоимость купонной облигации может быть представлена в виде

(24)

Воспользуемся формулами (23) и (24) для нахождения форвардных цен облигаций, т.е. ожидаемых в текущий момент цен облигаций в будущие периоды.

2) Форвардные цены облигаций.

Пусть Vt ( =1, 2, ..., Т) - цена облигации в конце t-гo периода владения после выплат по ней всех предусмотренных платежей. Поскольку данные цены соответствуют будущим периодам времени, их принято называть форвардными ценами облигации.

Форвардные цены V ,..., V для Т-периодной купонной облигации при известных форвардных ставках { ) ( =l, 2, ..., T-l) могут быть определены с помощью следующей рекуррентной формулы:

(25)

Рекуррентная формула (25) основывается на интерпретации текущей стоимости ценной бумаги как некоторой суммы, которая может быть вложена на определенный срок под соответствующую данному сроку и риску вложений ставку. Предполагается, что полученная по окончании срока вложений сумма будет равна стоимости потока платежей по ценной бумаге, представленного на рис. 2

Рис. 2. Схема потока платежей по облигации

В соответствии с указанным принципом стоимость облигации после ее погашения в момент времени Т равна нулю, поскольку после погашения по облигации не ожидается никаких платежей. Таким образом, можно положить Vт=0.

В начале последнего периода по облигации ожидается платеж, равный Ст, поэтому в момент времени Т-1 стоимость облигации должна удовлетворять соотношению:

Откуда следует:

Для цены облигации в момент времени Т-2 (т.е. в начале Т-1-го периода) имеем:

Аналогично для момента времени t, являющегося началом произвольного +1-го периода ( = Т-1, Т-2, ..., 1), получаем:

Vt (1+tRt+l)=Vt+1+ Сt+1,

что влечет (25).

При =0 формула (25) эквивалентна формуле (24) и приводит к вычислению текущей стоимости облигации. Приведем некоторые частные случаи формулы (25):

•для купонных облигаций с потоком платежей вида C1=qF, t=l, 2, ...,Т-1; CТ=qF+F получаем выражение вида:

где с целью сохранения общности формально положено

•для бескупонных облигаций, полагая в предыдущем выражении q=0, получаем:

3) Интерпретация кривой доходности.

Форвардные ставки существенно используются в рамках различных теорий временной структуры процентных ставок. Например, в соответствии с теорией чистых ожиданий при отсутствии на рынке арбитражных возможностей устанавливаемые в текущий момент форвардные ставки для будущих периодов должны быть равны ожидаемым в соответствующих будущих периодах спот-ставкам с аналогичными сроками инвестирования. Другими словами (используя терминологию вероятностного подхода ), форвардные ставки должны равняться математическому ожиданию соответствующих спот-ставок.

На данном предположении основана интерпретация формы кривой доходности в рамках теории чистых ожиданий. В качестве примера рассмотрим две стратегии инвестирования на два периода. Первая заключается в покупке двухпериодной бескупонной облигации, доходность к погашению которой определяется спот-ставкой . Вторая стратегия представляет собой так называемую стратегию возобновления (rollover strategy) и состоит в последовательной покупке однопериодных бескупонных облигаций. Доходность к погашению первой однопериодной облигации определяется однопериодной спот-ставкой , а доходность второй облигации - форвардной однопериодной ставкой .

Предположение об отсутствии арбитражных возможностей приводит по аналогии с (22) к тождеству

в котором, в соответствии с теорией чистых ожиданий учтено, что форвардная ставка равна ожидаемой в будущем периоде спот-ставке - Представим данное соотношение в более удобном для интерпретации виде:

(26)

На основании (26) можно сделать следующие выводы о форме кривой доходности (см. рис. 1):

1) если кривая доходности имеет наклон вверх, т.е. , то .. Это означает, что инвесторы ожидают в будущем периоде роста краткосрочных (однопериодных) ставок;

2) если кривая доходности имеет наклон вниз, т.е. , то , а значит, инвесторы ожидают в будущем периоде падения краткосрочных ставок;