151574 (Разработка теории радиогеохимического эффекта), страница 2

Анализ образования гамма-аномалий после определенного периода эксплуатации скважин показывает, что отложение солей радиобарита не по всем скважинам происходит в интервале заводняемого коллектора и в 40% рассмотренных скважин заводняемые коллекторы не выделяются повышением естественной гамма-активности.

1.3. Выводы

На основе всего выше сказанного можно сделать следующие выводы:

1. Радиогеохимический эффект наблюдается на границе нефть-вода в пласте. Таким образом, в нефтяном пласте содержание радиоактивных веществ повышается.

2. Вероятность появления гамма-аномалии при заводнении нижних пластов больше, чем при заводнении верхних пластов.

3. Интенсивность гамма-аномалий зависит от скорости фильтрации воды по пласту.

4. Аномальная радиоактивность часто наблюдается в пластах, которые не являются источниками поступления воды в скважину. Образование этих гамма-аномалий, по-видимому, связано с адсорбцией бария и радия из жидкости, движущейся по стволу, на участках обсадной колонны, подвергшихся коррозии, и на цементе за колонной в интервале пластов, вскрытых перфорацией.

5. Радиогеохимический эффект можно применять при исследованиях в интервале пластов, не вскрытых перфорацией.

2. Основные уравнения

Содержанием этой главы являются основные понятия и уравнения, и их решения, необходимые разработки теории на основе математической модели.

2.1. Уравнение неразрывности

В замкнутой изолированной системе полная масса остается постоянной, т.е. она не возникает и не исчезает сама по себе.

Закон сохранения массы означает, что для любого с поверхностью изменение массы в должно равняться количеству массы протекающему через .

Плотностью в точке пространства называют предел отношения массы в элементарном объеме этому объему, охватывающему точку , при стягивании его в эту точку, т.е.:

,

(2.1)

Тогда

,

(2.2)

где m - интегральный параметр, удовлетворяющий закону аддитивности, -локальный параметр.

Выделим в пространстве неподвижную замкнутую поверхность ограничивающую объем . Каждой точке выделенного объема сопоставим вектор .

Рис.3.

Выберем на поверхности ориентированный элемент поверхности, где – вектор внешней нормали, - площадь выбранной площадки.

Тогда через элемент площади входит или выходит количество массы сплошной среды , где – вектор потока массы.

Через всю поверхность войдет или выйдет количество массы

(2.3)

Будем предполагать, что источники и стоки отсутствуют, тогда закон сохранения массы запишется в виде:

(2.4)

В (2.4) знак минус в правой части объясняется тем, что если образует с острый угол, т.е. , то проходит через изнутри наружу, т.е. масса в убывает.

(2.5)

Уравнение (2.5) – уравнение неразрывности для массы в интегральной форме.

Проведем в первом интеграле (2.5) дифференцирование по как по параметру (поскольку не зависит от ), т.е. внесем производную под знак интеграла и заменим ее частной производную, поскольку подынтегральная функция зависит от переменной интегрирования, получим:

(2.6)

Второй интеграл в равенстве (2.5) преобразуем в объемный, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса. Получим

(2.7)

где

Подставим (2.6), (2.7) в (2.5), и объединяя интегралы получим

(2.8)

Учитывая в (2.8) произвольность объема , получаем

(2.9)

Уравнение (2.9)– уравнение неразрывности для массы в дифференциальной форме.

2.2. Закон Фика

Закон Фика необходим для описания диффузии растворенного(радиоактивного) вещества пропорциональной градиенту их плотности. Плотность радиоактивных примесей является функцией от химического потенциала

В уравнении (2.9) предыдущего параграфа вектор потока имеет вид

(*)

где – конвекционная компонента вектора потока, связанная с потоком вещества (массы). Для случая, когда движение массы происходит только за счет конвекции, поток записывается в виде

(2.10)

– диффузионная компонента, возникает при наличии в системе градиента концентрации. Для диффузионного компонента справедлив I Закон Фика:

(2.10*)

– коэффициент концентрационной диффузии, (далее будем опускать).

Диффузионный поток пропорционален градиенту плотности, взятому с обратным знаком.

Подставим (2.10) и (2.10*) в (*), получим

(2.11)

Подставим (2.11) в (2.9), получим

(2.12)

В (2.12) каждое слагаемое записали отдельно:

Преобразуем второе слагаемое в (2.12):

(2.13)

Во втором слагаемом в (2.13) осуществим круговую перестановку (знак не меняется, т.к. скалярное произведение).

Из выражения (2.13), получим

(2.14)

Преобразуем второе слагаемое в (2.12):

Условие не сжимаемости жидкости:

(2.15)

Подставив (2.14) и (2.15) в (2.12) получим

(2.16)

Если в (2.16) то получим уравнение диффузии (II Закон Фика):

(2.17)

2.3. Уравнение конвективной диффузии

Пусть имеется раствор с плотностью растворителя и плотностью растворенного вещества – , тогда плотность раствора запишется в виде

(2.18)

Запишем уравнение неразрывности для растворителя:

(2.19)

Диффузию не учитываем, потому что в жидкостях коэффициент диффузии мал.

Будем считать, что растворитель является несжимаемым, т.е. не зависит от пространственных координат и

(2.20)

Тогда из выражения (2.19), получим

(2.21)

Запишем уравнение неразрывности для раствора:

(2.22)

В (2.22) подставим (2.18), получим

Учитывая (2.20), (2.21) и независимость от пространственных координат, получим

(2.23)

Опустим штрих, предполагая в дальнейшем – плотность примеси.

(2.24)

Поясним в (2.24) значение каждого слагаемое:

Первое слагаемое описывает изменение массового содержания в рассматриваемой точке;

Второе слагаемое отвечает за конвекцию;

Третье слагаемое отвечает за диффузию.

Физический смысл уравнения (2.24) заключается в следующем: изменение концентрации, со временем, в рассматриваемой точке происходит за счет конвекции и диффузии.

На практике в (2.24) слагаемым можно пренебречь, в силу его малости.

2.4. Метод характеристик

Пусть движение несущей жидкости происходит вдоль оси , тогда уравнение без диффузионной конвекции запишется

.

(1)

Одномерное уравнение без диффузионной конвекции (или конвекционное уравнение).

Задача Коши для уравнения (1).

Требуется найти функцию , где и удовлетворяющую условиям:

(2)

Получим решение задачи методом характеристик.

Метод характеристик заключается в переходе от эйлеровых переменных и к лагранжевым. Связь производных в эйлеровых и лагранжевых координатах записывается в виде:

.

(3)

Уравнение (1) таким образом можно записать как систему двух уравнений:

(4) (5)

где уравнение (4) – уравнение для характеристик.

Из (5) следует, что , где некоторая постоянная. Но т.к. , то .

Из (4) получаем

.

(6)

Равенство (6) – решение уравнений характеристик.

Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости , , т.е. графики движения частиц при заданной скорости , называются характеристиками уравнения (1).