Сокращая в данных уравнениях на получим окончательно

(2.14)

Последовательно исключая неизвестные , получим уравнение для определения частоты р. Уравнение для определения частоты собственных колебаний, полученное в результате исключения из уравнений (2.14), называется характеристическим. Уравнения (2.14) могут быть применены для определения числа собственных крутильных колебаний системы с произвольным числом дисков. В тех случаях, когда получившееся характеристическое уравнение имеет высокую степень относительно р² (что бывает при системе со многими дисками), оно может быть решено графически либо каким-нибудь приближенным методом.

1.3 Колебания вала с тремя дисками

Рассмотрим колебания вала с тремя дисками (рис. 3). Здесь I₁ , I₂ ,I₃ моменты инерции дисков, k₁ и k₂ жесткости участков вала на кручении, по аналогии с формулой (1.1) равные:

и

Рис. 3 Вал с тремя дисками

Если амплитуды колебаний дисков обозначить то уравнения (2.14) для данного случая примут вид:

. (2.15)

Складывая эти уравнения получим

откуда

,

или

.

Квадрат частоты колебаний р² нулю равен быть не может, поэтому:

. (2.16)

Выразим М₁ и М₃ через М₂ , что может быть сделано из уравнения (2.15)

Подставим полученные значения М₁ и М₃ в уравнение (2.16)

Сокращая на М₂ и приводя к общему знаменателю получим:

или

Делаем группировку

Освобождаясь от коэффициента при р⁴ и делая преобразование в круглых скобках получим окончательно:

(2.17)

Получили биквадратное уравнение для определения частоты. Корни этого уравнения и соответствуют двум главным видам колебаний: низшему, имеющему один узел колебаний (два соседних диска вращаются в одну сторону), и высшему, имеющему два узла колебания (крайние диски вращаются в одну сторону).

1.4 Колебания вала с четырьмя дисками

Рассмотрим крутильные колебания вала с четырьмя дисками. Пусть I₁ , I₂ ,I₃,,I₄ — моменты инерции дисков, k₁ ,k₂,,k₃ — жесткости участков вала на основе формулы (1.1) равные:

; ;

Амплитуды колебаний дисков обозначим по-прежнему: М₁,М₂,,М₃,,М₄.

Тогда уравнения (2.14) для данного случая примут вид:

(2.18)

Складывая полученные уравнения найдем:

Учитывая подобные слагаемые, получим

или

Квадрат частоты - р² нулю не равен, следовательно:

(2.19)

Выразим М₁,М₃ и М₄ через М₂, что может быть сделано с помощью уравнений (2.18).

С помощью первого уравнения из (2.18) найдем:

(2.а)

Из второго уравнения нижеследующими действиями найдем:

,

или подставляя вместо М₁ его значение из (2.а)

,

,

,

. (2.d)

Из уравнения четвертого найдем

Подставив значение М₃ из (2.d)

(2.е)

Найденные значения М₁, М₃ и М₄ подставим в уравнение (2.19)

Сокращаем полученное уравнение на М₂ и приводим левую часть уравнения к общему знаменателю, который и отбрасываем. Общим знаменателем, очевидно, будет выражение:

Делаем группировку

Освобождаясь от коэффициента при р⁶, приведем наше уравнение к виду:

(2.20)

Таким образом, были рассмотрены формулы для нахождения собственных частот колебания вала с различным количеством дисков. Определив частоты, можно рассчитать критические скорости прямых валов, а, зная эти скорости можно предупредить поступление разного рода нарушения нормального хода машины, которые обычно выражаются в появлении биений вала или вибрации всей установки в целом.

1.5 Применение метода решения прямой задачи, программная реализация решения

Рассмотрим применение метода решения прямой задачи по определению собственных частот крутильных колебаний вала с дисками на конкретных примерах.

Пример 1

Определить собственные частоты системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс: , укрепленных на стальном валу с жестокостями и .

При подстановке данных значений в уравнение (2.17) получаем биквадратное уравнение:

р⁴-3.5p²+2.0=0.

Корни данного уравнения, найденные в пакете Maple, имеют вид:

p₁=-1.667566013, p₂=1.667566013, p₃=-0.8480705122, p₄=0.8480705122

Но нас интересуют только положительные величины, так как частоты отрицательные значения принимать не могут.

Пример 2

Определить собственные частоты системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс: , укрепленных на стальном валу с жестокостями и .

При данных значениях физических величин решение уравнения (2.17) имеет вид:

p₁=-1,370821968, p₂=-0,7879385321, p₃=1,370821968, p₄=0,7879385321

Пример 3

Определить собственные частоты системы, состоящей из четырех дисков с моментами инерции масс: , укрепленных на стальном валу с жестокостями , и .

При данных значениях физических величин решение уравнения (2.20) имеет вид:

p₁=-2,417091066, p₂=-1,581138830, p₃=2,417091066, p₄=1,581138830

Приведем программную реализацию решения прямой спектральной задачи, использующую команды математического пакета MAPLE

Решение примера 1:

> I1:=0.2;

> I2:=0.3;

> I3:=0.1;

> k1:=0.1;

> k2:=0.2;

> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;

Подставим данные значения в уравнение (2.17)

> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;

> solve(y,p);

Решение примера 3:

> restart;

> i1:=0.2;

> i3:=0.3;

> i2:=0.1;

> i4:=0.2;

> k1:=0.1;

> k2:=0.2;

> k3:=0.3;

Подставим данные значения в уравнение (2.20)

> y:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;

> fsolve(y,p);

2. Диагностирование характеристик вала с дисками по спектру частот колебаний

2.1 Постановка обратной спектральной задач

Поставим теперь к задаче определения частот крутильных колебаний вала с дисками обратную спектральную задачу.

Поскольку изменения величин моментов инерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении могут характеризовать степень изношенности дисков, налипание к валу инородных предметов и так далее, то обратная задача состоит в диагностировании характеристик вала с дисками по собственным частотам колебаний вала. Известно, что изменения указанных значений характеристик вала проявляются в изменениях значений собственных частот его колебаний, что в свою очередь может привести к ненужным вибрациям, увеличению шума и т. п.

Поэтому возникает также задача сохранения заданного (безопасного) диапазона частот крутильных колебаний вала. Подобную проблему мы предлагаем решить также при рассмотрении обратной задачи.

Итак, известны собственные частоты р крутильных колебаний вала с дисками. Необходимо определить характеристики вала с дисками по спектру частот его колебаний. К диагностируемым характеристикам мы отнесем моменты инерции масс дисков и коэффициенты жесткости участков вала на кручении.

Остановимся на диагностировании этих характеристик подробнее.

2.2 Диагностирование коэффициентов жесткостей участков вала между дисками

При исследовании задачи о колебаниях вала с тремя дисками получено следующее частотное уравнение (2.17):

Здесь, по-прежнему, k₁, k_2. – коэффициенты жесткостей участков вала между дисками, р_. – собственная частота крутильных колебаний вала, I₁, I_2, I_3.. – моменты инерции масс трех дисков соответственно.

Обратная задача: Известны собственные частоты колебаний вала, моменты инерции дисков. Неизвестны коэффициенты жесткости участков вала между дисками.

Преобразуем уравнение (2.17) к виду

.

Если рассмотреть две собственные частоты р₁ и р₂, то последние уравнения представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными k₁, k_{2 .}

(3.1)

Вычитая из первого уравнения системы (3.1) второе, получим

.

Разделим обе части последнего равенства на :

Выразим :

, (3.2)

и подставим его в первое уравнение системы (3.1):

Преобразуем последнее равенство к виду:

Решая последнее уравнение относительно , получим

, (3.3)

где

Таким образом, формулы (3.2) и (3.3) однозначно определяют коэффициенты жесткости участков вала на кручении для вала с тремя дисками.

Поставим теперь подобную обратную задачу для вала с четырьмя дисками, частотное уравнение для крутильных колебаний которого имеет вид (2.20):