116298 (Факультативный курс по теме "Элементы комбинаторики" для 8 класса)

ГОУ СПО «Кунгурское педагогическое училище»

ПЦК преподавателей естественно-математических дисциплин

Допущена к защите

Зам. директора по учебной работе

Л. А. Патракова

2009 г.

Председатель ПЦК

естественно-математических

дисциплин

Т.А. Трясцына

2009 г.

Разработка программы факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса

Выпускная квалификационная работа

по методике преподавания математики

Лузиной Татьяны Юрьевны

специальность: 050201 Математика

группа М-51

отделение: очное

Руководитель:

преподаватель математики

Л. Г. Янкина

2009

Оглавление

Введение

Глава 1. Использование комбинаторных задач на уроках математики

1.1 Правила решения комбинаторных задач

1.2 Методика обучения решению комбинаторных задач

Глава 2. Разработка программы факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса

2.1 Основные понятия о факультативном курсе

2.2 Программа факультативного курса

Заключение

Литература

Приложения

Введение

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не уступить ни одной из них. Для этого нужно осуществлять перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний; для составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач.

В ходе работы над темой был проведен анализ учебников математики на наличие в них комбинаторных задач и анализ программы по математике, а также анкетирование учителей школ г. Кунгура (приложение №1).

Анализ учебников показал, что только в учебниках Дорофеева Г. В. (6 класс) и Мордковича А. Г. (9 класс) имеются элементы комбинаторики. А, именно, разбираются два способа решения комбинаторных задач: перебор и дерево возможных вариантов, а также рассматриваются правила сложения и произведения.

Анализ программы для общеобразовательной школы показал, что элементы комбинаторики в процесс обучения математике не вводятся, а в школах (классах) с углубленным изучением математики они вводятся в 8 классе.

В лицее №1 г. Кунгура элементы комбинаторики изучаются не достаточно, только один час в неделю, (так как нет программы), поэтому автору работы было предложено разработать программу факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса.

Факультативный курс является одной из форм дифференцированного обучения. Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Включение комбинаторных задач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие учащихся.

Решение таких задач дает возможность расширить знания учащихся о самой задаче, о процессе решения, подготовить к решению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальное в данной ситуации решение, организовать элементарную исследовательскую и творческую деятельность учащихся. Следовательно, эта тема актуальна.

Учащиеся также знакомятся с новым методом решения задач – перебором возможных вариантов, который можно использовать в дальнейшем для решения другого типа задач.

Цель: разработка программы факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса.

Задачи:

1. изучить методическую и научную литературу по теме исследования;

2. выделить основные понятия комбинаторики и способы решения комбинаторных задач, показать методику работы на уроках математики при использовании элементов комбинаторики;

3. разработать программу и систему уроков для изучения данной темы.

Объект исследования: учебная деятельность учащихся 8 класса в процессе решения комбинаторных задач.

Предмет исследования: процесс решения комбинаторных задач учащимися 8 класса.

Контингент: учащиеся восьмого класса лицея №1 г. Кунгура.

В написании выпускной квалификационной работы помогла следующая литература:

• Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. В этой книге разбираются некоторые довольно сложные комбинаторные задачи, так же даются понятия о методах их решения.

• Журнал «Начальная школа», в котором были освещены следующие темы:

  • «Способы решения комбинаторных задач»;

  • «Методика обучения решению комбинаторных задач»;

  • «Характеристика комбинаторных задач».

• Газета «Математика», которая включала в свое содержание комбинаторные задачи для школьников различных возрастов.

Структура работы

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и приложений.

Во введении обоснована актуальность исследования, определены цель, задачи, охарактеризована используемая литература.

В главе 1 речь идет об истории науки «Комбинаторики», ее развитии. Освещены основные понятия комбинаторики, правила решения комбинаторных задач, а также представлена методика обучения решению комбинаторных задач

Во второй главе – основные понятия о факультативном курсе, а также программа факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики».

В заключении представлены основные выводы по работе, практическая значимость темы.

В приложении показана разработка занятий факультативного курса, а также анкетирование учителей школ города Кунгура.

Глава 1. Использование комбинаторных задач в обучении математике

1.1 Правила решения комбинаторных задач

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

Один из разделов теории вероятности – комбинаторика.

Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в XII веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.

Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой [23, 28].

Раздел комбинаторики, в котором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений комбинаторной задачи, называется теорией перечислений. Он тесно связан с теорией вероятностей. Во многих случаях при вычислении вероятности данного события надо найти число возможных вариантов и число благоприятных вариантов. Число вариантов отыскивается комбинаторными методами [23, 19].

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.

Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.

Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика «добилась» новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют «дерево возможностей») с применением правила умножения.

Возрастает роль комбинаторных задач уже в начальном обучении математике, так как в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни [11, 18].

Рассмотрим исходные понятия, лежащие в основе решения комбинаторных задач.

Правила решения комбинаторных задач

В основе науки «Комбинаторики» лежит теория множеств. Множество – это основное понятие теории множеств, поэтому никак не определяется, а поясняется на примерах (множество натуральных чисел, множество треугольников, квадратов).

В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, известно, что все натуральные числа являются целыми, т. е. множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Множество В называют подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.

Используя 2 цифры, например, 3 и 5, можно записать 4 двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, говорят об упорядоченных наборах элементов. Такие наборы называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3.

Рассматривают в математике и декартово произведение множеств. Декартовым произведением множеств А₁, А₂, … , А_n называют множество всех кортежей длины n, первая компонента которого принадлежит множеству А, вторая – множеству А₂, … , n-я множеству А_n.

Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов, то в декартовом произведении множества А и В содержится а·b элементов, т. е. n(A×B)=n(A)·n(B)=a·b [23, 6].

Задача: сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 5, 4 и 7?

Решение: запись любого двузначного числа состоит из двух цифр и представляет собой упорядоченную пару. В данном случае эти пары образуются из элементов множества А={5, 4, 7}. В задаче требуется узнать число таких пар, т. е. число элементов в декартовом произведении А×А. Согласно правилу n(A×А)=n(A)·n(А)=3·3=9. Значит, двузначных чисел, записанных с помощью цифр 5, 4 и 7, будет 9.

Таким образом, на основе некоторых понятий теории множеств строятся основные понятия комбинаторики.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач. Прежде всего, решая несложные комбинаторные задачи, нужно грамотно осуществлять перебор возможных вариантов.