113469 (Повышение вычислительной культуры школьников на уроках и внеклассных занятиях по математике), страница 7

б) если уменьшаемое уменьшено, разность надо увеличить.

2) При округлении вычитаемого:

а) если вычитаемое увеличено, то и разность надо увеличить;

б) если вычитаемое уменьшено, то и разность надо уменьшить.

Выгоднее округлять вычитаемое, так как разрядное или целое число легко вычитается из любого числа.

Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одинаковое число единиц (долей), то разность не изменится.

.

В данных примерах уменьшаемое и вычитаемое увеличены на одно и то же число, разность не изменилась.

.

В данных примерах уменьшаемое и вычитаемое уменьшены на одно и то же число, разность не изменилась.

.

В данных примерах, округляя уменьшаемое, мы уменьшали разность на несколько единиц (долей); округляя вычитаемое, мы также уменьшали разность на несколько единиц (долей). Следовательно, «округленная» разность должна быть увеличена на такую сумму единиц (долей), на какую мы уменьшили уменьшаемое и увеличили вычитаемое.

3. Арифметическое дополнение. Замена сложения вычитанием и вычитания сложением.

а) Арифметическим дополнением числа называется число, которое нужно прибавить к данному числу, чтобы получить единицу непосредственно высшего разряда. Дополнением числа 9247 будет число, которое надо прибавить к 9247, чтобы получить 10000. Поэтому, чтобы найти дополнение какого-либо числа, надо вычесть это число из единицы со столькими нулями, сколько в числе цифр: 10000 = 753. Таким образом, для получения дополнений надо все цифры данного числа вычитать из 9, за исключением последней справа значащей цифры, которую вычитать из 10. Если находят дополнение числа с нулями на конце, то приписывают столько нулей, сколько их было за последней значащей цифрой.

В замене сложения вычитанием первое слагаемое вычитаем из ближайшего разрядного числа (ищем его дополнение до разрядного числа), полученная разность вычитается из второго слагаемого и результат складывается с разрядным числом.

89 + 47:

1) 100 ; 2) ; 3) 100 + 36= 136.

Способ замены сложения вычитанием удобен в том случае, когда дополнение первого слагаемого до разрядного числа легко вычитается из второго слагаемого.

б) В замене вычитания сложением находим дополнение вычитаемого до ближайшего разрядного числа и к нему прибавляем разность между уменьшаемым и этим разрядным числом.

112 – 67:

1) ; 2) ; 3) 12 + 33 = 45.

Этот способ удобен, когда единицы, десятки и т.д. вычитаемого больше единиц, десятков и т.д. уменьшаемого.

а) Для одновременного производства сложения и вычитания можно вместо вычитаемых взять их дополнения до одного и того же числа, изображенного единицей с нулями, найти сумму новых слагаемых, а затем ее исправить, вычтя числа, до которых взяты дополнения. . Заменим все три вычитаемых дополнением каждого до 1000 и вычтем столько тысяч, сколько взято дополнений, т.е. 3000: 923 + 804 + 711 + 602 = 40.

Этот способ удобен в том случае, когда цифры вычитаемых больше пяти.

б) Когда же цифры вычитаемых меньше пяти, то можно не заменять вычитаемые их дополнениями. В таком случае следует подписать числа с их знаками одно под другим.

2.3.2 Умножение и деление

Мы знаем, что если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится. На этом свойстве основывается применение сокращенных способов умножения на 5, 25, 125 и на другие числа, представляющие собой делители числа, изображаемого единицей с нулями.

1. Умножение на 5, 50, 500 и т.д.

Умножение числа на 5, 50, 500 и т.д. заменяется умножением на 10, 100, 1000 и т.д. с последующим делением на 2 полученного произведения. Или: сначала множимое делится на 2, а потом полученное частное умножается на 10, 100, 1000 и т.д.

1) ; ;

2) ;

3) .

2. Умножение на 25, 250, 2500 и т.д.

При умножении числа на 25, 250, 2500 и т.д. достаточно данное число умножить на 100, 1000, 10000 и т.д. и полученный результат разделить на 4. Или: сначала данное число разделить на 1, затем полученное частное умножить на 100, 1000, 10000 и т.д.

1) ;

2) ;

3) .

3. Умножение на 125, 1250 и т.д.

При умножении числа на 125, 1250 и т.д. данное число умножают на 1000, 10000 и т.д., полученное произведение делят на 8. Или: данное число делят на 8 и полученное частное умножают на 1000, 10000 и т.д.

1) 72 = (72: 8) = 9 = 9000, или

72 = (100 + 25) = 100 + 72: 4 = 7200 + 1800 = 9000

4. Умножение на 37.

При умножении числа на 37, если данное число кратно 3, его делят на 3 и умножают на 111.

1) .

Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.

2) ;

3) .

Известно, что если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одинаковое число раз, то частное не изменится. На этом свойстве основывается применение сокращенных способов деления на 5, 25, 125 и на другие числа, представляющие какую-либо часть числа, изображенного единицей с нулями.

5. Деление на 5, 50, 500 и т.д.

Деление числа на 5, 50, 500 и т.д. заменяется делением на 10, 100, 1000 и т.д. с последующим умножением на 2. Или: делимое умножается на 2 и полученное произведение делится на 10, 100, 1000 и т.д.

1) 8740: 5 = (8740: 10) = 874 = 1748;

2) 197500: 50 = (197500: 100) = 3950;

3) 3,7: 500 = (3,7 ): (500 ) = 7,4: 1000 = 0,0074.

6. Деление на 25, 250 и т.д.

При делении числа на 25, 250 и т.д. достаточно разделить его на 100, 1000 и т.д. и полученное частное умножить на 4. Или: сначала делимое умножить на 4, а потом полученное произведение разделить на 100, 1000 и т.д.

1) 14200: 25 = (14200: 100) = 142 = 568;

2) 14, 4: 25 = (14,4: 100) = 0,144 = 0,576, или

14,4: 25 = (14,4 ): (25 ) = 57,6: 100 = 0,576.

7. Деление на 125, 1250 и т.д.

При делении числа на 125, 1250 и т.д. достаточно разделить его на 1000, 10000 и т.д. и полученное частное умножить на 8. Или: сначала делимое умножить на 8, а потом полученное произведение разделить на 1000, 10000 и т.д.

1) 35000: 125 = (35000: 1000) = 35 = 280;

2) 32250: 125 = (32250 ): (125 ) = 258000: 1000 = 258.

2.3.3 Умножение, сложение и вычитание

1. Округление одного из сомножителей.

Если один из двух сомножителей увеличить или уменьшить на несколько единиц (долей), то произведение соответственно увеличится или уменьшится на число, равное произведению другого сомножителя на прибавляемое или вычитаемое число единиц.

Рассмотрим четыре случая сокращенного умножения, основанных на этом свойстве.

а) Округляем множимое до разрядного (целого) числа, отнимая от него несколько единиц (долей), затем умножаем отдельно разрядное (целое) число и отнятые единицы (доли) на множитель и полученные произведения складываем.

.

б) Округляем множимое до разрядного (целого) числа, прибавляя несколько единиц (долей), умножаем отдельно разрядное (целое) число и прибавленные единицы (доли) на множитель и из первого произведения вычитаем второе произведение.

.

в) Округляем множитель до разрядного (целого) числа, уменьшая его на несколько единиц (долей), затем отдельно умножаем множимое на разрядное (целое) число и на отнятые единицы (доли) и полученные произведения складываем.

.

К этому способу сокращенного умножения относится умножение на 15; 150; 1,5; 0,15; 11; 111; 1,1; 0,11; 11,1; 35; 45; 65; 75; 80; 9,5; 4,5 и т.п.

При умножении на 15 умножают на 10 и прибавляют половину полученного произведения:

.

При умножении на 150 умножают на 100 и прибавляют половину полученного произведения:

.

При умножении на 11 данное число умножают на 10 и к полученному произведению прибавляют данное число:

.

г) Округляем множитель до разрядного (целого) числа, увеличивая его на несколько единиц (долей), затем умножаем множимое отдельно на разрядное (целое) число и на прибавленные единицы (доли) множителя и из первого произведения вычитаем второе произведение.

.

К этому способу сокращенного умножение подходит умножение на 9; 99; 999; 0,9; 9,9; 0,99; 19; 29; 39; 49; 69; 79; 89; 1,9; 2,9; 3,9; 4,9; 5,9; 6,9; 7,9; 8,9 и т.п. При умножении на 9; 99; 999 и т.п. умножают данное число на 10; 100; 1000 и т.п. и из полученного произведения вычитают данное число.

1) ;

2) .

При умножении на 19; 29; 39; 49; 59; 69; 79; 89 данное число умножают на 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80 и 90 и из полученного произведения вычитают данное число.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2. Округление слагаемых и замена сложения умножением.

На основании определения умножения и свойств изменения суммы при изменении слагаемых можно округлить слагаемые до одного и того же разрядного числа, разрядное слагаемое число умножить на число слагаемых и к произведению прибавить или из произведения вычесть разницу, которая получается в результате замены каждого слагаемого разрядным числом (целым числом).

3. Округление уменьшаемого в случае, когда вычитаемое записано в виде произведения.

Если уменьшаемое можно разложить на два слагаемых, одно из которых равно множимому вычитаемого, причем его легко отнять от уменьшаемого, то вычитание производят следующим образом:

.

2.3.4 Деление, сложение и вычитание

1. Округление делимого.

Округление делимого основано на изменении частного при изменении делимого на несколько единиц.

От увеличения или уменьшения делимого на какое-нибудь число частное соответственно увеличивается или уменьшается: увеличивается на частное, полученное от деления прибавленного числа на делитель, а уменьшается на частное, полученное от деления отнятого числа на делитель

630045: 9 = (630000 + 45): 9 = 630000: 9 + 45: 9 = 70000 + 5 = 70005.

Можно обосновать округление делимого: 1) свойствами десятичной системы счисления и 2) распределительным законом ряда умножений и делений.

Чтобы разделить число, близкое к разрядному, можно сначала разложить его на такие слагаемые, которые бы легко делились на данное число, затем каждое слагаемое разделить отдельно и полученные частные сложить.

36492: 12 = (36480 + 12): 12 = 36480: 12 + 12: 12 = 3040+ 1 =3041.

2.4 Систематизация приемов повышения вычислительной культуры для практической работы учителя

Предлагаемое в качестве приложения к выпускной квалификационной работе пособие рассчитано в основном на школьников 5–6 классов, однако многие его упражнения полезно предлагать учащимся средних и старших классов. Это пособие предназначено как для работы в классе на уроке, так и для самостоятельной работы ученика дома.

Основное назначение данного пособия – формировать у учеников прочные навыки вычислений с целыми числами, эффективно развивая внимание и оперативную память детей – необходимые компоненты успешного овладения школьным курсом математики.