113469 (Повышение вычислительной культуры школьников на уроках и внеклассных занятиях по математике), страница 6

Чтобы умножить сумму нескольких чисел на другую сумму, можно каждое слагаемое первой суммы умножить на каждое слагаемое второй суммы и полученные произведения сложить.

2.2.5 Умножение и деление

1. Перестановка членов ряда умножений и делений (переместительность ряда умножений и делений).

1) (если данное число разделить на какое-нибудь число и затем полученное частное умножить на это же число, то данное число останется без изменения) = (переместительность умножения) = (если данное число умножить на какое-нибудь число, отличное от 0, и затем полученное произведение разделить на это же число, то данное число останется без изменения) =512 (правило порядка действий: действия одной и той же ступени (при отсутствии скобок) выполняются в том порядке, в каком они записаны).

2) 486: 9: 2 = 486: : 9: 2 (если данное число разделить на какое-нибудь число и затем полученное частное умножить на это же число, то данное число останется без изменения) = 486: 2: : 2 (переместительность членов ряда умножений и делений) = 486: 2: 9 (если данное число умножить на какое-нибудь число (не равное нулю) и затем полученное произведение разделить на это число, то данное число останется без изменения) = 243: 9 = 27.

Результат ряда умножений и делений не меняется от перемены порядка членов данного ряда (разумеется, что каждый член ряда остается в своей прежней роли, иначе говоря, переносится на другое место вместе с написанным перед ним знаком действия).

2. Умножение числа на частное.

1) (если данное число умножить на какое-нибудь число (не равное нулю) и затем полученное произведение разделить на это же число, то данное число остаются без изменения) = (сочетательность умножения) = (если данное число разделить, на какое-нибудь число и затем полученное частное умножить на это же число, то данное число останется без изменения) = 800: 8 = 100 (порядок действий). Итак, .

Чтобы умножить число на частное, можно умножить его на делимое, и полученное произведение разделить на делитель.

2) .

3. Деление числа на произведение.

1) (если данное число разделить на какое-нибудь число и полученное частное умножить на то же самое число, то данное число останется без изменения) = (объяснение то же) = (переместительность умножения) = (сочетательность умножения) = 1890: 9: 7 (если данное число умножить на какое-нибудь число (не равное нулю) и затем полученное произведение разделить на это же число, то данное число останется без изменения) = 210: 7 = 30 (порядок действий).

Чтобы разделить число на произведение нескольких чисел, достаточно разделить его на первый сомножитель, полученное частное – на второй, новое частное – на третий и т.д. до конца.

2) 8,16: ( = 8,16: 0,8: 0,03 = 10,2: 0,03=340.

К указанным способам близки по обоснованию приема следующие: разложение делителя на множители и замена нескольких делителей их произведением.

3) 1890: 54 = 1890: ( = (1890: 9): 3: 2 = (210: 3): 2 = 70: 2 = 35.

4) 2800: 25: 8 = 2800: ( = 2800: 200 = 14.

4. Деление произведения на число.

(так как 3200 = ) = : 8 (порядок действий) = (переместительность умножения) = (сочетательность умножения) = (если данное число умножить на какое-нибудь число (не равное нулю) и затем полученное произведение разделить на это же число, то данное число останется без изменения) = (порядок действий).

Чтобы разделить произведение нескольких чисел на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число один из сомножителей, оставив другие без изменения.

5. Деление произведения нескольких чисел на другое произведение.

(следствие сочетательного закона) = (переместительность умножения (сочетательность умножения) = (переместительность) = (деление произведения на число) = 1680 (умножаем полученные числа).

Чтобы разделить произведение нескольких чисел на другое произведение, все сомножители которого входят в состав первого произведения, достаточно разделить, каждый из сомножителей первого произведения на соответствующий сомножитель второго произведения, а затем полученные частные и оставшиеся сомножители перемножить.

6. Деление числа на частное.

3200: (800: 32) = 3200: 800: (800: 32) (если данное число разделить на какое-нибудь число, а затем полученное частное умножить на это же число, то данное число останется без изменения)
= 3200: 32: 32 : (800: 32) (если данное число умножить на какое-либо число (не равное нулю), а затем полученное произведение разделить на это же число, то данное число останется без изменения)
= 3200: : 32: (800: 32) (переместительность ряда умножений и делений) = 3200: (800: 32): (800: 32) (сочетательность ряда умножения и деления) = 3200: 32 (если данное число умножить на какое-нибудь число (не равное нулю), а затем полученное произведение разделить на это же число, то данное число останется без изменения) = 4 = 128 (делим и умножаем полученные числа).

Чтобы разделить число на частное, достаточно разделить его на делимое, а затем полученное частное умножить на делитель.

2.2.6 Деление, сложение и вычитание

1. Деление суммы на число.

(63028 + 14049): 7 = (63028 + 14049) (чтобы разделить одно число на другое, достаточно делимое умножить на число, обратное делителю) = (распределительность умножения) = 63028: 7 + 14049: 7 (замена умножения делением) = 9004 + 2007 (порядок действий) =11011.

Чтобы разделить сумму чисел на число, достаточно разделить на него каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

2. Деление разности на число.

1) (36042 ): 6 = (36042 ) (чтобы разделить одно число на другое, достаточно делимое умножить на число, обратное делителю) = (умножение разности на число) = 36042: 6 : 6 (замена умножения делением) = 6007 (порядок действии) = 3003.

Чтобы разделить разность чисел на число, достаточно разделить на него уменьшаемое, затем вычитаемое и из первого частного вычесть второе частное.

К указанному способу по обоснованию близок способ вынесения общего делителя за скобки.

2) 675: 45 + 225: 45 = (675 + 225): 45 = 900: 45 = 20.

2.3 Приемы устных вычислений, основанные на изучении результата действий в зависимости от изменения компонентов

2.3.1 Сложение и вычитание

1. Округление одного или нескольких слагаемых.

Этот прием основан на изменении суммы при изменении слагаемых.

а) Если одно из слагаемых увеличить (или уменьшить) на несколько единиц (или долей), а другое слагаемое оставить без изменения, то сумма увеличится (или уменьшится) на столько же единиц (или долей). Округляя слагаемое, мы увеличиваем (или уменьшаем) его, а следовательно, и сумму на несколько единиц (или долей). Чтобы сумма не изменилась, надо уменьшить (или увеличить) ее на столько же единиц (или долей).

1199 + 406 = (1200 + 406) = 1605.

б) Если одно из слагаемых увеличить (или уменьшить) на несколько единиц (или долей), другое слагаемое уменьшить (или увеличить) на столько же единиц (или долей), а остальные слагаемые оставить без изменения, то сумма не изменится. Перемещаем несколько единиц (долей) из одного слагаемого в другое, сумма не изменяется.

994 + 196 = 994 + 190 + 6 = (994 + 6) + 190 = 1000 + 190 = 1190.

В том случае, когда одно из слагаемых близко к разрядной единице (на несколько единиц больше или меньше) или близко к целому числу (на несколько долей больше или меньше его), удобнее заменить его разрядной единицей или целым числом, а в полученный от сложения результат внести необходимую поправку.

2. Округление уменьшаемого или вычитаемого.

Этот прием основан на изменении разности от изменения уменьшаемого или вычитаемого.

а) Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц (или долей), то разность соответственно увеличится или уменьшится на столько же единиц (или долей). Округляя уменьшаемое, мы увеличиваем или уменьшаем его на несколько единиц (или долей), следовательно, и разность увеличивается или уменьшается настолько же единиц (или долей). Чтобы разность не изменилась, надо ее уменьшить или увеличить настолько же единиц (или долей).

1) .

Уменьшаемое увеличено на несколько единиц, разность, записанная в скобках, должна быть уменьшена на столько же единиц.

2) .

Уменьшаемое уменьшено на несколько единиц; записанная в скобках разность должна быть увеличена на столько же единиц.

б) Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц (или долей), то разность соответственно уменьшится или увеличится на столько же единиц (или долей). Округляя вычитаемое, мы увеличиваем или уменьшаем его, а следовательно, разность уменьшается или увеличивается на несколько единиц (или долей). Чтобы разность не изменилась, надо ее увеличить или уменьшить на столько же единиц (или долей).

1) .

Вычитаемое увеличено на несколько единиц, записанная в скобках разность должна быть увеличена на столько же единиц.

2) 7,83 = (7,83 ) + 0,02 = 1,83 + 0,02 = 1,85.

Вычитаемое увеличено на несколько долей; разность, записанная и скобках, должна быть увеличена на столько же долей.

3) 910 = (910 ) = 396.

Вычитаемое уменьшено на несколько единиц, записанная в скобках разность должна быть уменьшена на столько же единиц.

Итак:

1) При округлении уменьшаемого:

а) если уменьшаемое увеличено, разность надо уменьшить;