113469 (Повышение вычислительной культуры школьников на уроках и внеклассных занятиях по математике), страница 4

Таблица составляется следующим образом: в первой строке пишут число 1; этот первый квадрат прибавляют к нечетному числу следующей строчки из второй колонки и получают второй квадрат 4. Прибавляя 4 к третьему нечетному числу (5) из второй колонки, получаем 3², т.е. 9. Вообще, квадрат числа есть сумма нечетного числа, которое стоит в одной с ним строке и непосредственно предшествующего квадрата. В одной и той же строке слева направо расположены: 1) целое число; 2) нечетное число, для которого это целое число служит номером в ряде нечетных чисел; 3) квадрат целого числа.

б) Второй способ составления таблицы квадратов чисел от 1 до 25.

В первой вертикальной колонке пишутся по порядку целые числа, начиная с единицы. Во второй колонке пишется ряд нечетных чисел, начиная с 3. В третьей колонке, которая должна содержать ряд, квадратов всех целых чисел, пишется сначала квадрат 1, т.е. единица. Чтобы получить каждый из следующих квадратов, прибавляют к последнему числу третьей колонки то нечетное число, которое стоит слева от него, во второй колонке. Каждое из чисел третьей колонки есть квадрат соответствующего числа первой колонки.

в) Третий способ составления таблицы квадратов чисел.

Квадраты чисел от 1 до 10 включительно определяем по таблице умножения: в первой колонке пишем числа, во второй – их квадраты. Чтобы получить квадрат следующего числа, к квадрату данного числа прибавляем сумму данного числа и следующего числа. Рассмотрим на числовых примерах.

1) квадрат числа 11 равен 100 + (10+ 11)= 121;

2) квадрат числа 12 равен 121 + (11 + 12) = 144 и т.д.

Объяснение этого способа нахождения квадрата числа следующее:

(k + 1)² = k² + 2k • 1 + 1² = k² + [k + (k + 1)].

3) 75² = 5625. 76² = (75 +1)² = 75² + [75 + (75 + 1)] = 75² +
+ (75 + 76) = 5625 + 151 = 5776. Получаем 76² = 5776.

2. Возведение в квадрат и умножение с помощью формул сокращенного умножения.

а) Вычисления по формуле .

.

б) Вычисления по формуле .

.

в) Особенно полезным оказывается применение в устных вычислениях формулы .

1) .

2) .

3. Устное возведение в квадрат смешанных чисел. Случаи возведения в степень смешанного числа по формулам сокращенного умножения.

а) Квадрат смешанного числа с дробью . Чтобы возвести в квадрат смешанное число с дробью , достаточно умножить целую часть числа на число, единицей большее, и к произведению приписать .

Дано: число k + , где k – целое. Доказать: (k + )² = k (k + 1) + .

Доказательство: (k + )² = k² + 2 • k • + = k² + k + = k (k + 1) + .

б) Квадрат смешанного числа с дробью . Чтобы возвести в квадрат смешанное число с дробью , достаточно возвести в квадрат целую часть этого числа, затем прибавить ее половину и, наконец, к полученной сумме прибавить , если целая часть – четное число. Если же целая часть – нечетное число, то к квадрату целой части прибавляется половина числа, на единицу меньшего данной целой части смешанного числа, и к сумме прибавляется .

1) Дано: число k + , где k – четное число. Доказать: (k + )² = k² + + .

Доказательство: (k + )² = k² + 2 • k • + = k² + + .

2) Дано: число k + , где k – нечетное число. Доказать: (k + )² = k² + + + (в данном случае k’ на единицу меньше числа k).

Доказательство: k = k’ + 1, следовательно,

(k + )² = k² + + = k² + + + = k² + + .

1) k – четное число

.

2) k – нечетное число

.

2.2 Приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий

2.2.1 Сложение

1. Замена нескольких слагаемых их суммой (сочетательный закон).

1) 187 + 247 + 153 = 187 + (247 + 153) (группу слагаемых заключаем в скобки и складываем, на основании сочетательного закона) = 187 + 400 = 587.

2) 16,53 + 4,47 + 9,84 = (16,53 + 4,47) + 9,84 = 21 + 9,84 = 30,84.

2. Перестановка слагаемых (переместительный закон).

1) 238 + 487 + 362 = 238 + 362 + 487 (делаем перестановку слагаемых, применяя переместительный закон, чтобы получить круглое число при сложении) = (238 + 362) + 487 (группу слагаемых заключаем в скобки и складываем на основании закона сочетательности) = 600 + 487 = 1087.

2) 3,57 + 4,68 + 6,43 = 3,57 + 6,43 + 4,68 = (3,57 + 6,43) + 4,68 = 14,68.

3) 235 + 47 + 7 + 265 + 3 + 53 = 235 + 265 + 47 + 53 + 7 + 3 = (235 + 265) + (47 + 53) + (7 + 3) = 500 + 100 + 10 = 610.

4) 8,3 + 3,85 + 9,7 + 5,15 + 2,25 = 8,3 + 9,7 + 3,85 + 5,15 + 2,25 = (8,3 + 9,7) + (3,85 + 5,15) + 2,25 = 18 + 9 + 2,25 = 29,25.

Близок к указанному способу прием перемещения единиц. Например:

1) 1347 + 2235 = 1347 + 33 + 2202 = (1347 + 33) + 2202 = 1380 + 2202 = 3582.

2) 13,98 + 7,12 = 13,98 + 0,02 + 7,1 = (13,98 + 0,02) + + 7,1 = 14 + 7,1 = 21,1.

Для упрощения вычислений мы разбивали слагаемое на части с целью привести вычисления к сложению целых чисел или круглых десятков, применяя сочетательный закон.

3. Прибавление суммы к числу.

1) 384 + (416 + 548) = 384 + 416 + 548 (на основании следствия сочетательного закона) = (384 + 416) + 548 (сочетательный закон) = 800 + 548 (правило порядка действий) = 1348.

Итак, правило прибавления суммы можно сформулировать следующим образом: чтобы прибавить к числу сумму, достаточно прибавить к нему одно за другим все слагаемые.

2) 3,64 + (4,36 + 9,78) = 3,64 + 4,36 + 9,78 = (3,64 + 4,36) + 9,78 = 8 + 9,78.

4. Прибавление числа к сумме.

1) (337 + 488) + 663 =663 + (337 + 488) (переместительный закон) = 663+ + 337 + 488 (правило прибавления суммы) = (663 + 337) + 488 (сочетательный закон) = 1000 + 488 = 1488.