113165 (Організація позакласної роботи з математики), страница 6

Систему числення, основану на позначенні всіх натуральних чисел десятьма знаками - цифрами, вперше описав і застосував у IX столітті талановитий син узбецького народу Магомет син Муси із Хорезму в рукописі "Арифметика індорум".

У Європі нова система нумерації стала відома на початку XIII століття завдяки італійському вченому Леонардо Пізанському, який описав її в 1202 році у своїй праці "Книга обчислень". Але утвердилася ця система в Західній Європі значно пізніше - у XV-XVI століттях.

На Русі про арабсько-індійську систему знали ще в XIII столітті. Так, на одному знайденому дзвоні, виготовленому у ті часи, знаходимо цю нову нумерацію. На початку XVII століття цими цифрами вже нумерують сторінки російських книг, їх карбують на золотих монетах. А в середині століття ними користуються в рукописних працях. В 1703 році в "Арифметиці" Леонтія Магницького, тій самій, з якої черпав свої перші знання з математики великий російський учений Михайло Ломоносов, усе арифметичне вчення викладене на основі позиційної системи числення, і тільки сторінки підручника позначені слов'янською нумерацією.

Наша мандрівка продовжиться на наступному занятті. А зараз розгадаємо декілька веселих віршованих загадок:

Три білки і сім зайчаток

Мов зграйка хлоп’ят і дівчаток.

Всі стали в кружок,

Пустилися у танок.

Підбігли ще до них

Шість мишок лісових.

Які ж прудкі звірята!

Лічімо їх, хлоп’ята.

Встала вранці мишка-мати

Дітям зерна роздавати.

6 дітей, і всім вона

Роздала по три зерна,

І собі взяла одно.

Скільки вас, питаю я,

Зернят з’їла вся сім’я?

Скільки трикутників на кожному малюнку?

Старовинна задача.

Один чоловік вип’є діжку води на 30 л за 10 днів, а разом із дружиною вип’є таку саму діжку води за 6 днів. За скільки днів таку діжку води вип’є дружина?

Заняття 4.

"Найдавніші цифри"

Сьогодні ми продовжимо нашу тему про стародавні цифри.

Про цифри досі ми тільки згадували. Мабуть, настав час познайомитися з ними ближче. Але передусім - як виникло саме слово "цифра"?

Походить воно від арабського слова "сифр", що в перекладі означає "порожнє, місце". Річ у тім, що індійці не мали чим позначати відсутність розрядного числа і там, де нині стоїть нуль, ставили крапку, яку називали "сифр". Коли ж з'явився нуль, його також стали називати цифрою. Так було до XVIII століття - поки він дістав своє наймення від латинського слова "нулюс", що означає "ніякий". А цифрами стали називати символи чисел взагалі.

Найдавніші цифри, які ми досі знаємо, - це числові символи вавілонян і єгиптян. Вавілоняни мали клинописні знаки для чисел 1, 10, 100 (або лише 1 і 10), решту ж натуральних чисел записували шляхом поєднання цих знаків між собою.

Єгиптяни мали значно різноманітніший набір знаків-ієрогліфів для позначення чисел.

У давньому єгипетському рукописі, що зберігається в Британському музеї в Лондоні, зустрічаються навіть дробові числа. Характерно, що єгиптяни визнавали такий дріб, у якого чисельник був одиницею, а знаменник - яким завгодно числом, та ще допускали дріб 2/3.

Якщо задача зводилася до відповіді у вигляді дробового числа, то його подавали як суму одиничних дробів.

Наприклад, 7/8 єгиптянин уявляв собі як 1/2+1/4+1/8 і записував без знаків додавання: 1/2 1/4 1/8.

Припустимо, треба 7 хлібин розділити на 8 рівних частин. Ми сказали б, що це буде 7/8 хлібини. Але ж тоді числа 7/8 не було і люди знали лише, що від ділення 7 на 8 одержують 1/2+1/4+1/8. Тому єгиптяни дійшли думки, що для поділу семи хлібин на вісім рівних частин треба мати 8 половинок, 8 чверток і 8 осьмушок. Вони розрізали 4 хлібини навпіл, 2 хлібини - на чвертки і 1 хлібину - на осьмушки. Отже, для такого поділу треба було зробити 17 (4+6+7) розрізів.

А як єгиптяни лічили? Є підстави гадати, що вони користувалися лічильною дошкою із накресленими на ній смугами. На кожній смузі розкладали камінці - їх було не більше дев'яти. Щоразу, коли доводилося класти десятий камінець, з цієї смуги скидали всі камінці і на сусідню, праву, смугу клали один камінець. Таким чином, єгиптяни лічили, як ми. Можна гадати, що їхня лічильна дошка була прообразом нашої рахівниці.

1) - А зараз розгадаємо декілька ребусів:

Цікава віршована задача:

2) Ось перед вами два гравці,

У кожного в них у руці

По два червоних камінці.

А скільки всього камінців

В обох оцих гравців?

3) Намалювали Гриць та Гнат

Багато в зошиті троянд.

Ось 5 троянд, ось ще 15,Розфарбували з них 12.

Роботу треба ще кінчати.

Троянд ще скільки фарбувати?

5) Старовинна задача:

Летіла зграя гусей, а назустріч їм гусак. "Здрастуйте, сто гусей", - говорить гусак. А йому у відповідь: "Ні, нас не сто. Якби нас було ще стільки, та ще півстільки, та ще чверть, та ти з нами, тоді було б сто". Скільки гусей було у зграї?

Заняття 5.

(30 січня)

(До теми: "Міри довжини. Кілометр. Порівняння значень величин" та "Міри маси. Грам")

"Від ліктя до метра. Тлумачний словничок деяких мір"

В різних народів за різних часів існували свої міри довжини й ваги. У стародавніх арабів, наприклад, найменшою мірою довжини був поперечник макового зерняти. Сім макових зернят складали більшу одиницю вимірювання, що дорівнювала поперечнику гірчичного зерна. Міряли араби і ячмінними зернами, і фалангами великого пальця.

Римляни за одиницю міри площі - югер - брали площу, яку могла зорати за день пара волів. А в Сибіру була міра довжини бука. Це віддаль, на якій людина перестає розрізняти роги бичка.

На початку XII століття англійський король Генріх І видав грамоту про міри довжини. На вулицях Лондона оповісники по кілька разів голосно читали це королівське веління. В ньому говорилося, що віднині зразком міри служитиме рука його величності короля.

Такий наказ нікого не здивував, бо в ті часи населення країни вимірювало товари власними руками й ногами-ліктями й футами.

Лікоть - міра довжини, що дорівнювала віддалі від ліктя до кінця середнього пальця правої руки, - прийшов у Європу зі Сходу разом з арабами в раннє середньовіччя. Фут (в перекладі з англійської - "ступня") - це європейська міра довжини, яка дорівнює довжині людської ступні. Але ж руки і ступні в людей неоднакові. От і наказав король, щоб не було ніякого ошуканства, взяти мірою довжини його, королівську руку - від кінчика пальця до ліктя.

... У 1789 році було розв'язано дуже важливе для міжнародних торгових зв'язків питання. Французькі вчені вирішили, що за одиницю довжини найкраще взяти одну сорокамільйонну частину Паризького меридіана. Цій мірі дали грецьку назву - "метр". Від метра походить дециметр (1/10 його частина), сантиметр (1/100 частина) і міліметр (1/1000 частина).

У дореволюційній Росії була надзвичайно строката система мір. Та, власне, ніякої такої системи й не було. Поряд із старими слов’янськими мірами користувалися деякими англійськими, що прийшли ще за часів Петра І. Тут безборонно співіснували верста, сажень, аршин, вершок, фут, дюйм, географічна і морська милі. Масу визначали в пудах, фунтах, лотах, золотниках, долях, а місткість - бочками, відрами, штофами, пляшками, сотками.

І лише 14 вересня 1918 року Рада Народних Комісарів прийняла постанову про введення в нашій країні метричної системи мір.

Декрет, підписаний Леніним, зобов'язував повністю перейти на нові міри до 1 січня 1922 року.

Тлумачний словничок деяких мір.

Аршин - від персидського "арш" (лікоть), старовинна міра довжини. На Русь аршин прийшов 500 років тому разом з купцями з далеких східних країн.

Дюйм - від голландського "дюїм" (великий палець), міра довжини. Дорівнює 2,54 см.

Лінія - дуже маленька одиниця довжини, всього 2,54 міліметра. У Росії лініями вимірювали два види предметів: нижній діаметр стекол для гасових ламп І калібр гвинтівки або кулемета.

Метр - від грецького "метрон" (палиця для вимірювання). Це основна одиниця довжини, рівна одній сорокамільйонній частині Паризького меридіана.

Миля - від латинського "міліа" (тисяча). Колись милею називали відстань у тисячу подвійних кроків.

Сажень - від слова "саджати" (малося на увазі саджати молоді деревця). Означає відстань між великими пальцями витягнутих у сторони рук.

Фут - міра довжини, у перекладі з англійської означає "ступня".

Ярд - англійська одиниця довжини; 1 ярд дорівнює З футам.

Грам - від грецького "крамме" (дрібна міра маси). Кожна мідна монета важить стільки грамів, який ЇЇ номінал (позначення вартості на монетах): 5 копійок - 5 грамів, 3 копійки - 3 грами і т.д.

Золотник - російська одиниця маси. Нею вимірювалася маса золотих виробів.

Кілограм - головна одиниця маси; народився він наприкінці XVIII ст. у Франції.

Пуд - стародавня міра маси, дорівнює 16 кг.

Фунт - міра маси. Походить від латинського слова "пондус" (вага, гиря), становить 450 г.

Доба - це час, протягом якого Земля обертається навколо своєї осі; 1 доба = 24 год.

Календар - від латинського "календаріум", боргова книжка. За календарем можна полічити великі проміжки часу - місяці, роки, століття, можна одержати відповіді на запитання: "Яке сьогодні число?" і "Скільки минуло років?"

Місяць - одна з мір часу (від двадцяти восьми днів до тридцяти одного).

Рік - це час, за який Земля обертається навколо Сонця; за рік змінюють один одного чотири пори року; 1 рік =12 місяцям = 365 або 366 добам.

Тиждень - це сім днів, які йдуть один за одним. Кожен з днів має свою назву: неділя - коли "не роблять ніякого діла", тобто відпочивають, понеділок - одразу після неділі, вівторок - Другий (вторий) день, (Середа - середина, четвер - четвертий, п'ятниця - п'ятий, субота, по-єврейськи - шабаш, тобто день, коли не працюють.

Хвилина - проміжок часу; з 60 хвилин складається година.

Вузол - одиниця швидкості морських суден; вузол - це морська миля за годину або 1,85 кілометра за годину.

Гектар - від "гектон" (сто) і "ар" (площа, поверхня); 1 га = 100 арів = 10 000 м².

Градус - у перекладі з латинської означає "крок", "ступінь". Градусами вимірюють різні величини - кути і дуги, температуру.

Бал - з французької, означає "м'яч", "куля". Ним оцінюють знання і поведінку, силу землетрусу і густину льоду, майстерність спортсмена і хмарність неба, силу вітру, якість землі тощо.

Математика - у перекладі з грецької означає "знання", "наука". Розтлумачує кількісні та просторові поняття.

Ось такі цікаві відомості на сьогодні. А зараз поміркуємо.

1) Два брати пішли до школи. Коли пройшли 240 м, то старший брат згадав, що забув вдома лінійку і повернувся, а молодший продовжував свій шлях. Старший узяв лінійку і відразу пішов до школи. Коли він підійшов до того місця, звідки повертався, то молодший брат саме заходив до школи. Яка відстань від дому до школи? (Швидкість руху братів однакова)

2) З двох метрів полотна

Виходить простиня одна,

А скільки метрів слід купити,

Щоб 8 простиней пошити?

3) - Розгадаємо декілька ребусів:

4) Стародавня задача.

Купив один чоловік трьох видів сукна 120 аршин, першого виду взяв на 12 більше від другого, а другого на 9 більше від третього. Скільки якого сукна було взято?

Заняття 6.

(6 березня)

"Римська нумерація"

Ця система нумерації склалася приблизно у II-І століттях до нашої ери, коли Римська держава досягла найвищого рівня розвитку культури.

За основу нової нумерації взяли всього сім літер, які означали: І - одиниця, V - п'ять, X - десять, L - п'ятдесят, С - сто, D - п'ятсот, М - тисяча.

Решта чисел - похідні й утворюються шляхом додавання і віднімання основних знаків. Яким чином?

Якщо після символу більшого значення стоять один або кілька символів меншого значення, то вони збільшують значення першого на величину другого (других). Наприклад:

VI=5+1=6; ХV=10+5=15; МСХІ=1000+100+10+1=1111.

Якщо перед символом більшого значення стоїть символ меншого значення, то він зменшує значення більшого на відповідну величину. Наприклад:

ІV=5-1=4; СD=500-100=400; XС=100-10=90.