111995 (Активізація пізнавальної діяльності учнів в процесі навчання математики), страница 7

Розглянемо звичайну фінансово-математичну проблему, яка сьогодні постає перед багатьма членами нашого суспільства - особливості грошового вкладу в банк. Сьогодні можна знайти деякі задачі з даної тематики у шкільних підручниках, але нажаль їх кількість дуже обмежена і вони не розкривають всіх необхідних аспектів банківської діяльності, з якими зустрічається кожний громадянин та які можуть бути розкриті у курсі математики основної школи.

Одним із видів діяльності банків є виконання валютних фінансових операцій. У нашій країні національною валютою є гривня. Проте часто громадяни України мають справу з такими іноземними валютами, як долар США, російський рубль, євро, японська ієна тощо. Учбові задачі можуть це проілюструвати. Наприклад, в ході ознайомлення учнів дев’ятого класу з темою “Елементи прикладної математики” можливо запропонувати таку задачу:

Задача 1. В таблиці наведені дані про курси гривні встановлені Національним банком України по рокам:

1) розрахуйте ціну гривні в іноземній валюті кожного року

Методика розв’язання цієї задачі може бути такою. Спочатку учням пропонується самостійно виконати це завдання. Після одержання даних в одній валюті – гривнях, клас колективно виконує вимогу задачі.

Робота з такими величинами привчає учнів до виконання правила порівняння одноімених величин, а також ознайомлює з різними найпоширеними національними валютами світу.

Введення поняття “іноземна валюта” через задачі на уроках математики активізує увагу учнів до запропонованої тематики, розширює їх світогляд та формує знання про іноземну валюту як засіб законного платежу на території відповідної іноземної держави з можливістю вільної конверсії у банківсько-кредитних установах на території України.

У дев‘ятому класі, під час вивчення теми “Відсоткові розрахунки” вчитель може створити проблемну ситуацію, яка збуджує емоції учнів та зацікавлює в пошуку відповіді на таку життєво важливу задачу: “Яка загальна формула нарахування відсоткових грошей в банку, якщо в банк покласти S₀ гривень під р % на n років, а відсотки нараховуються один раз на рік?” Пошук відповіді на це завдання проводить до виведення формул простого та складного відсотку за допомогою послідовних відповідей на такі запитання:

1. Яка сума нараховується на вклад через 1 рік?

2. Яка сума з‘являється на вкладі через 1 рік?

3. Які відсоткові гроші нараховуються на 2-ий рік?

4. Яким стане вклад через два роки з врахуванням початкової суми вкладу?

Далі, проводячи аналогічні міркування про третій та четвертий роки, учні помічають закономірність між зміною суми вкладу, кількістю років та відсотковою ставкою банку. В результаті, виводяться формули:

- формула складного відсотку, (2.1)

- формула простого відсотку, (2.2)

де S_n – сума вкладу після n нарахувань,

S₀ – початкова сума вкладу,

p – відсоткова ставка банку,

n – кількість нарахувань

Для сильних учнів, які знайомі з методом математичної індукції, можна запропонувати довести одержані формули відповідним методом.

Обов‘язково потрібно провести порівняльний аналіз цих формул та звернути увагу учнів на те, що відсотки називають простими, якщо нарахування відбуваються постійно на початковий капітал, а складні відсотки нараховуються на капітал, який утворюється протягом певного періоду.

Особливість нарахувань відсотків щомісячно можна проілюструвати на прикладі:

Задача 3. Обчислити відсоткові гроші у випадку вкладу 1000 грн. під 12 % річних, якщо відсотки нараховуються кожного місяця.

Перед розв’язанням задачі учні колективно шукають відповідь на запитання: Як знайти відсоткову ставку щомісячних нарахувань, якщо відома річна відсоткова ставка?

Для закріплення цього факту учням пропонується за даними задачі відповісти на запитання, якщо відсотки нараховуються кожного півріччя, кожного кварталу, кожного місяця. Після цього можна запропонувати самостійну роботу на виведення формули нарахувань відсоткових грошей, якщо відсотки нараховуються кожного півріччя, кожного кварталу, кожного місяця. Робиться висновок, що під n у формулі розуміється кількість періодів нарахування відсотків.

Для порівняння дії цих формул корисно запропонувати учням самостійно знайти складний відсоток, щоб через три роки на вкладі була така ж сама сума грошей, як і при простому відсотку нарахувань. Таке завдання активізує учнів та вчить порівнювати результати нарахування відсоткових грошей, аналізувати математичні данні.

Сформованість вмінь учнів дев’ятого класу розв‘язувати квадратні рівняння дає змогу розв’язувати задачі, які показують можливе використання послуг банку для власного планування грошових витрат. Це можуть бути, наприклад, задачі такого змісту.

Задача 4. На початку року є можливість внести в банк на рахунок 1640 гривень, але в кінці року треба зняти з рахунку 882 гривні, а через рік знову - 882 гривні. Під який відсоток потрібно внести гроші в банк, щоб вказані операції відбулися?

Початкова робота з даними цієї задачі потребує повторення фінансових понять – початковий вклад, відсоткові гроші, відсоток та прибуток.

Математичні залежності між цими величинами дають можливість пояснити данні задачі у вигляді тверджень: 1640 грн. – початковий вклад для першого року. Нехай х % - щорічні відсоткові нарахування банку. Тоді на кінець року банк нарахував (0,01х1640) грн., і на рахунку стало

(1 640 + 0,01х 1 640) грн. або (1 640 (1 + 0,01х)) грн.

На початку другого року вклад становив

(1 640 (1 + 0,01х) - 882) грн.

На цю суму було нараховані (0,01х (1 640 (1 + 0,01х) - 882)) грн. - відсоткові гроші, а сума, яка була на рахунку на кінець другого року, становила ((1 640 (1 + 0,01х) - 882) + 0,01х (1 640 (1 + 0,01х) - 882)) грн., або ((1640(1+0,01х)-882)(1+0,01х)) грн., що за умовою задачі дорівнює 882 грн.

Отримаємо рівняння:

(1640 (1 + 0,01х) - 882)(1 + 0,01х) = 882.

Введемо нову змінну у = 1 + 0,01х. Тоді рівняння має вигляд:

(1640у - 882) у = 882;

1640у² - 882у - 882 = 0;

820у² - 441у - 441 = 0.

Розв‘язуючи отримане квадратне рівняння, знаходимо:

Повертаючись до змінної х, зазначаємо, що значення у₁ не задовольняє умову задачі. Тому 1 + 0,01х = , а х = 5 (%).

Відповідь: 5%.

Методика розв’язування таких задач, як бачимо, традиційна. Це забезпечує успіх у їх використанні. Одночасно з удосконаленням вмінь розв’язувати квадратні рівняння учні здобувають первинні фінансові знання та з’ясовують для себе питання “вдалого” вкладу. Вони шукають найкращий варіант для збереження грошей – можливість отримати потрібний прибуток із певної кількості грошей.

Крім цього учні отримують інформацію і про те, що депозитний вклад - це кошти в готівковій або у безготівковій формі, у валюті України або в іноземній валюті, які розміщені клієнтами на їх іменних рахунках у банку на договірних засадах на визначений строк зберігання або без зазначення такого строку і підлягають виплаті вкладнику відповідно до законодавства України та умов договору [20].

Дуже часто банки пропонують різні види депозитного вкладу. Ознайомлення учнів із особливостями вкладів на депозитний рахунок, як показав експеримент, можна здійснити на уроці математики в 9класі під час вивчення теми “Відсоткові розрахунки”. Для цього учням у ході експерименту було запропоноване попереднє домашнє завдання, яке полягало в знаходженні різних умов вкладів до банків. На уроці було визначено як краще вкласти 1000 гривень на один рік. Кожен учень рахував прибуток, який буде отриманий за один рік, якщо всі гроші відразу покласти до банку та отримувати відсоткові гроші а)щомісяця, б) в кінці дії договору, та якщо вклад поповнювати через певні проміжки часу, наприклад щомісяця або щоквартально. Цікавим прикладом була пропозиція одного з банків про вклад “дитячий”, де банком, крім запропонованих відсоткових грошей, пропонувалась премія при закритті рахунку в термін, обумовлений договором, яка обчислювалась як сума відсоткового доходу, помножена на відсоток, що дорівнює середньому балу успішності.

Таким чином, учні мають можливість познайомитись із особливостями депозитних вкладів у банках та спробувати самостійно здійснити розрахунки кількості власних грошей, які можуть бути покладені на депозитний рахунок.

Різні умови вкладів дають можливість застосовувати фінансові операції, навіть на етапі мотивації вивчення нового матеріалу на уроці. Так, у дев’ятому класі ознайомлення учнів із використанням геометричної прогресії ми провели на прикладі вкладу з обов’язковим поповненням.

Задача 5. Обчислити суму вкладу та прибуток, якщо банк пропонує умови вкладу, відображені в таблиці 2.1, а вкладник планує покласти 1000 гривень на два роки з поповненням по 1000 гривень щоквартально.

Таблиця 2.1

Основні умови вкладу (до задачі)

Це задача із зайвими даними. Учні, в першу чергу, повинні прийняти правильне рішення щодо виконання умов банку. Таким чином, для роботи маємо такі данні:

• Термін дії договору – два роки,

• Сума вкладу – 1000 гривень із щоквартальним поповненням у 1000 гривень,

• Відсоток банку – 12 % щорічно, або 12 : 4 = 3 % щоквартально.

Ці данні можуть бути зображені за допомогою мал.2.2 та продемонстровані учням за допомогою кодоскопа.

Мал. 2.2. Виконання умов договору (до задачі)

Аналіз мал.2.2 повинен включати визначення етапів нарахування відсотків. Маємо таку схему нарахування грошей:

• на останній внесок відсотки нараховується лише один раз, тому з цього внеску вкладник буде мати на кінець дії договору:

1000 + 1000 0,03 = 1000 (1 + 0,03) = 1000 1,03;

на шостий внесок (передостанній) відсотки нараховуються два рази, тому з цих грошей на кінець дії договору:

1000 + 1000 0,03 + (1000 + 1000 0,03) 0,03 =

1000(1 + 0,03) + 1000(1 + 0,03)0,03 = 1000(1 + 0,03)(1 + 0,03) = 10001,03²;

• з п’ятого внеску – 1000 1,03³, бо відсотки нараховувались три рази;

• ...

• з першого внеску – 1000 1,03⁸.

Отримали геометричну прогресію, у якої знаменник дорівнює q = 1,03, перший член (останній внесок) b₁= 1000, а кількість членів n =8.

Таким чином, вкладник у кінці дії договору має таку суму грошей:

S =10001,03 + 10001,03² + 10001,03³ +...+ 1000 1,03⁸.

Для обчислення значення цього виразу скористаємось формулою суми геометричної прогресії:

= 8 892,34 (грн.).

Після обчислення значення отриманого виразу, учнів потрібно ознайомити з фінансовими термінами, які використовувались для отримання результату, а саме:

• ануїтет - послідовність однакових внесків, зроблених через рівні проміжки часу,

• інтервал сплати – проміжок часу між двома послідовними платежами,

• строк ануїтету – час, від першого до останнього платежу.

Робота з такими даними показує учням застосування властивостей геометричної прогресії в банківських розрахунках.

При подальшому вивченні властивостей геометричної прогресії може бути розглянута проблемна задача, яка показує діяльність системи банків у нашій державі.

Задача 6. Вклади населення України в комерційних банках з 1995 року в національній валюті кожного року збільшуються приблизно в 2 рази, а у іноземній валюті – в 1,5 рази. В 1995 році вклади населення в комерційних банках в національній валюті становили 505 млн. грн., а в іноземній – 111 млн. грн. Чи буде загальна кількість вкладів утворювати геометричну прогресію, і якщо так, то який у неї буде знаменник?

Розглянемо один з можливих варіантів її розв’язання. Пропонуємо учням заповнити таблицю 2.2 наближених даних по вкладам населення України в комерційних банках з 1995 до 2000 року.