ЛЕКЦИИ_ТФКП2 (ТФКП лекции), страница 3
Описание файла
Документ из архива "ТФКП лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "тфкп" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "ЛЕКЦИИ_ТФКП2"
Текст 3 страницы из документа "ЛЕКЦИИ_ТФКП2"
Пример.
Таким образом, получаем не изолированную особую точку.
1)m n устранимую особую точку,
2)m>n полюс порядка n-m.
Док-во: {для 2}
Теорема Сохоцкого.
Если -существенно особая точка функции , то .
Док-во:
б) Предположим противное:
ограничена в окрестности точки .
при (т.е. ограничена в окрестности ).
г)В круге ограничена, как непрерывная функция в замкнутой области.
д) Из б), в), г) следует ограничена на всей комплексной плоскости.
е) ограничена на С, аналитическая, по теореме Ляувилля противоречие.
а) имеет не изолированную особую точку.
б) -изолированная особая точка
имеет изолированную особую точку в имеет существенно особую точку по Утв2 имеет существенно особую точку в
Теорема доказана.
Особые точки в бесконечности
Утв. Если -изолированная особая точка , то
Док-во:
Пусть . Раскладываем в окрестности нуля:
Вычеты
Опр. -изолированная особая точка. называется вычетом, где - коэффициент при -1 степени в разложении ряда Лорана:
Основная теорема о вычетах.
Если G – односвязная область, Г – замкнутый контур, Г ограничевает G, G содержит конечное число изолированных особых точек функции , то
Док-во:
Г
Окружит каждую особую точку окружностью так, чтобы внутри не было других особых точек, и чтобы и не пересекались(i j).
Вычисление вычетов
1.
Утв. Если - устранимая особая точка , то (Т.к. главная часть ряда Лорана не содержит ни одного члена )
2.
а) Утв. Если -простой полюс (полюс кратности 1), то .
Док-во:
Пример.
Док-во:
3.
Утв. Если -полюс порядка n , то .
Док-во:
Пример1.
Пример2.
Лекция 9
Опр. - изолированная особая точка ,
Док-во:
Теорема. Если -изолированная особая точка, кроме имеется конечное число особых точек, то
Док-во:
Возьмем замкнутый контур С, охватывающий все особые точки, кроме
Логарифмический вычет.
Опр. Логарифмическим вычетом называется:
, если С – замкнутый контур, - аналитическая внутри С и на нем за исключением конечного числа особых точек, все особые точки лежат внутри С, все особые точки – полюсы.
Утв1. Если , - нуль кратности фунции , то .
Док-во:
Для функции - полюс I порядка.
Утв2. Если -полюс кратности n функции , то .
Док-во:
Принцип аргумента.
Теорема. Логарифмический вычет функции относительно контура С равен приращению аргумента при обходе контура С, деленному на , равно разности между числом нулей М и числом полюсов N функции в облости D, ограниченной контуром С:
Д ок-во:
Z W
z w
C
2) Внутри С будет иметь конечное число нулей, т.к. она аналитическая в замкнутой области. В силу Утв1 и Утв2 :
Теорема Руше.
ЕСЛИ G – односвязная область, С – замкнутый контур, ограничивающий G,
и аналитические в G и на С, на С, на С, - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции , - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции + , ТО .
Док-во:
w
Вектор из начала координат в точку, при такой конфигурации образа С, ни одного оборота не совершит. .
Пример. Найти количество нулей, которые имеет функция в круге .
имеет нуль кратности 5 w имеет 5 нулей.
Утв. Если , то имеет n корней.
Док-во:
имеет нуль кратности n, т.о. имеет n нулей.
Теорема. Если , аналитическая в G , то - аналитическая.
Док-во:
-
Из пунктов 1) и 2) следует, что для F выполнены условия Коши-Римана, следовательно F аналитическая.
Лекция 10
Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Теорема. Если при x=z, -изолированная особая точка f(z), имеет в нуль не ниже II порядка, не имеет особых точек на действительной оси, имеет конечное число особых точек, то , где распространяется на особые точки, лежащие выше действительной оси.
Док-во:
Возьмем круг такого радиуса, чтобы на нем и вне его не было особых точек, кроме бесконечности.
Y
R
-R R x
Операционное исчисление
Опр. Функция называется оригиналом, если:
1) определена при , и являются кусочно-непрерывными на любом конечном интервале,
Утв. Если -многочлен степени n, то .
Док-во:
Опр. называется изображением, соответствующим оригиналу f(t), если F(p) – интеграл Лапласа:
Теорема. Если f(t) оригинал, то - изображение ,
2) является в полуплоскости аналитической функцией от p.
Док-во:
, таким образом F(p) сходится.
2) Аналитичность следует из теоремы, доказанной в предыдущей лекции.
След. Если F(p) – изображение некоторого оригинала, то
Зам. Если , то F(p) сходится равномерно.
Свойства преобразования Лапласа:
-
Линейность
-
Однородность.
Док-во для 2:
Теорема о дифференцировании оригинала.
Если f(t) – оригинал, -оригинал, F(p)-изображение f(t), ,
Док-во:
Следствие. Если -оригиналы, то .
Док-во:
далее по индукции.
Теорема о дифференцировании изображения.
Теорема об интегрировании оригинала.
Док-во:
1) Докажем, что -оригинал.
а) кусочная гладкость – по свойству интеграла.
Лекция 11
Теорема об интегрировании изображения
Если f(t) – оригинал, – оригинал, то .
Док-во:
Теорема о запаздывание
Док-во:
Теорема смещения
Таблица соответствий
Опр. Сверткой функций f и g называется
Утв. Если , g(t) – оригиналы, то f*g(t) – оригинал.
Док-во:
Пункты 1) и 2) в определении оригинала очевидно выполнены. Докажем выполнение пункта 3).
Теорема о свертках.
Если f(t), g(t) – оригиналы, , , то .
Лемма Жордана
Лемма1. Если f(z) – аналитическая в верхней полуплоскости, за исключением, быть может, конечного числа точек, - полуокружность в верхней полуплоскости .
Лекция12
Лемма2. Если f(z) – аналитическая в левой полуплоскости, , то .
Док-во:
Лемма3.
Если f(z) аналитическая, , то .
y
R
Док-во:
4) Из пунктов 1), 2), 3) следует .
Лемма4. Если f(z) аналитическая , ,
Докозательство следует из Леммы3.
Теорема об интеграле Фурье.
Если f(t) кусочно непрерывна и кусочно дифференцируема на R, то (сходится абсолютно).
Теорема обращения преобразования Лапласа.
Док-во:
Теорема разложения. , для выполнены условия леммы Жордана, то .
Док-во:
Пример.
Лекция13
Линейные дифференциальные уравнения
Будем рассматривать ДУ вида:
где -многочлен степени меньше, чем кратность корня .
-т.к. ,
, т.е. решение ДУ является оригиналом.
Пример.
Пример.
Пример.
Используем теорему разложения:
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
Заданы начальные условия:
Всякое решение такой (5) системы ДУ, а именно функции -, будут оригиналами.
Пример.
Преобразование Лорана и его применение к разностным уравнениям.
Преобразования Лорана
Оригиналы по Лорану – функции целочисленного аргумента f(k),k=0,1,2,…
-изображение, -главная часть ряда Лорана, сходится в окрестности бесконечно удаленной точки .
Свойства
-
Линейность
, где - произвольные постоянные.
Доказательство очевидно.
-
Обращения преобразований Лорана.
3)Теорема разложения.
Пусть С-окружность большого радиуса такая, чтобы на этой окружности не было бы особых точек .
4)Теорема опережения.
Док-во: