86373 (Евклідова і неевклідова геометрії), страница 3
Описание файла
Документ из архива "Евклідова і неевклідова геометрії", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86373"
Текст 3 страницы из документа "86373"
III. Аксіоми конгруентності
III, 1. Якщо А и В – дві крапки на прямій а, А’ – крапка на тій же прямій або на іншій прямій а', то по дану від крапки А’ сторону прямій а' найдеться, і притім тільки одна, крапка В’ така, що відрізок А'’ конгруентний відрізку АВ. Кожний відрізок АВ конгруентний відрізку ВА.
III, 2. Якщо відрізки А'' і А”B” конгруентні тому самому відрізку АВ, то вони конгруентні й між собою.
III, 3. Нехай АВ і ВР - два відрізки прямій а, що не мають загальних внутрішніх крапок, А'' і B'' - два відрізки тій же прямій, або іншій прямій а', що також не мають загальних внутрішніх крапок. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А'', а відрізок ВР конгруентний відрізку B'', те відрізок АС конгруентний відрізку А''.
Сформульовані три аксіоми ставляться до конгруентності відрізків. Для формулювання наступних аксіом нам знадобляться поняття кута і його внутрішніх крапок.
Пари напівпрямих h і k, що виходять із однієї й тієї ж крапки О и не лежачих на одній прямій, називається кутом і позначається символом або .
Якщо напівпрямі задаються двома своїми крапками ОА й ОВ, то ми будемо позначати кут символом або . У силу теореми 4 будь-які два промені h і k, тридцятилітні кут , визначають, і притім єдину, площина α.
Внутрішніми крапками будемо називати ті крапки площини α, які, по-перше, лежать по ту сторону від прямої, що містить промінь h, що й будь-яка крапка променя k, і, по-друге, лежать по ту сторону від прямої, що містить промінь k, що й будь-яка крапка променя h.
III, 4. Нехай дані на площині α, пряма а' на цій же або на якій-небудь іншій площині α’ і задана певна сторона площини α’ відносно прямій а'. Нехай h’ – промінь прямій а', що виходить із деякої крапки О’. Тоді на площині α’ існує один і тільки один промінь k’ такий, що конгруентний , і при цьому всі внутрішні крапки лежать по задану сторону від прямій а'. Кожний кут конгруентний самому собі.
III, 5. Нехай А, У и С – три крапки, що не лежать на одній прямій, А’, B’ і С’ – інші три крапки, що також не лежать на одній прямій. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А'’, відрізок АС конгруентний відрізку А'’ і конгруентний , те конгруентний і конгруентний
Домовимося тепер про порівняння неконгруентних відрізків і кутів.
Будемо говорити, що відрізок АВ більше відрізка А'', якщо на прямій, обумовленої крапками А и В, найдеться лежача між цими крапками крапка З така, що відрізок АС конгруентний відрізку А'В'. Будемо говорити, що відрізок АВ менше відрізка А'', якщо відрізок А'' більше відрізка АВ.
Символічно той факт, що відрізок АВ менше відрізка А'' (конгруентний відрізку А'') будемо записувати так:
«крапка» | крапка проективної площини |
«пряма» | пряма проективної площини |
«рівність відрізків» | рівність прообразів відрізків |
Велике достоїнство проективної моделі полягає в тому, що крапки й прямі в ній зображуються звичними для нас образами. Однак, при вивченні властивостей конгруентних фігур сферична модель стає більше зручною.
Помітимо також, що прямі й площини зв'язування о Евклідова простору визначають нову модель площини S2, що відповідають геометричні образи якої представляються наступною таблицею:
S2 | Зв'язування прямих і площин в Е3 |
«крапка» | Площина зв'язування |
«поділ двох пар крапок» | Поділ двох пар прямих того самого пучка прямих |
«відстань між двома крапками» | Величина, пропорційна куту, між двома прямими зв'язування |
Реалізація еліптичної площини у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені, дозволяє на цій площині ввести координати (х, в, z), зв'язані співвідношенням
x2+y2+z2=R2;
де R називається радіусом кривизни, а зворотна величина квадрата радіуса — кривизною. У цих координатах відстань а між двома крапками А (х1, в1, z1) і В(х2, в2, z2 ) визначається по формулі
. (2.1)
Відношення відстані між крапками до радіуса кривизни називається наведеною відстанню. Дві крапки площини S2 називаються полярними, якщо відповідним цим крапкам прямі тривимірного Евклідова простору ортогональні. Інакше кажучи, полярні крапки характеризуються тим, що наведена відстань між ними рівняється . Відрізок прямій, обмежений полярно сполученими крапками, називається напівпрямій. Пряма складається із двох напівпрямих і має довжину, рівну . Очевидно, геометричне місце крапок, полярних даній крапці А (х1, в1, z1), утворить пряму
(2.1')
Ця пряма називається полярою крапки A, а крапка А - полюсом прямій (2.1').
Прямі, перпендикулярні прямій, перетинаються в її полюсі. Обернено, усяка пряма, що проходить через полюс даної прямої, буде перпендикулярної до цієї прямої. Звідси треба, що через кожну крапку площини, відмінну від полюса даної прямої, можна провести єдиний перпендикуляр до цієї прямої. Ці властивості безпосередньо випливають із визначення полюсів і поляр.
У геометрії S2 можна побудувати взаємно однозначне відображення між крапками й прямими, при якому кожній крапці відповідає її полярна пряма, а кожній прямій - її полюс. Таке відображення називається полярним відображенням. В еліптичній площині одиничної кривизни полярне відображення переводить дві прямі а, b у такі крапки А, В, що відстань між цими крапками рівняється куту між даними прямими. Звідси випливає так званий принцип подвійності в еліптичній планіметрії: якщо в якій-небудь теоремі еліптичної геометрії замінити слова «крапка», «пряма», «відстань» і «кут» відповідно на слова «пряма», «крапка», «кут» і «відстань», те в результаті одержимо також справедливу пропозицію в цій геометрії. Прикладом двоїстих пропозицій, тобто пропозицій, що виходять одне з іншого, зазначеного правила є наступне: будь-які дві крапки визначають пряму, їм інцідентну; будь-які дві прямі визначають крапку, їм інцідентну.
Знайдемо тепер відстані між двома нескінченно близькими крапками М (х, в, z) і M’ (х + dх, в + dу, z + dz). З формули (2.1) треба, що
. (2.2)
Звідки з точністю до нескінченно малих другого порядку включно маємо
ds=-2(xdx+ydy+zdz).
З огляду на, що координати крапки (х + dх, в + dу, z + dz) задовольняють рівності
(х + dх)2 +(в + dу)2+ (z + dz)2 =R2,
будемо мати
2(хdх + уdу + zdz) + dx2 + dу2 + dz2 = 0.
ds2 = dx2 + dу2 + dz2. (2.2')
Отримана формула приводить до очевидного висновку про те, що в малому геометрія еліптичної площини збігається зі сферичною геометрією. Зокрема, формули (1.12) і (1.13) відповідно теорему косинусів і синусів, справедливі й в еліптичній геометрії. Формула 2.2' показує також, що руху еліптичної площини S2 представляються обертаннями й відбиттями Евклідова простору E3 навколо Начало координат. Зазначені рухи визначаються ортогональними матрицями. Так називаються матриці, у яких сума квадратів елементів кожного стовпця рівняється одиниці, а сума добутків відповідних елементів різних стовпців рівняється нулю. Тому що матриці, що відрізняються знаками, індуцірують те саме рух в еліптичній площині, то група рухів останньої зв'язана.
Площа трикутників в еліптичній геометрії
Нехай в еліптичній площині даний трикутник AВС, позначеної на мал. 8 номером I. Як відомо, на даній площині породжуються ще три трикутники з тими ж вершинами. Ці трикутники позначені на малюнку номерами II, III, IV. Тому що вcя еліптична площина кінцева й має площу, рівну 2 R2 , то площа частини площини, обмеженої вертикальними кутами А трикутника I, рівняється
Аналогічно, площа частин еліптичної площини, обмежених вертикальними кутами В и С трикутника AВС, рівні 2R2B, 2R2С. З іншого боку, сума всіх трьох знайдених площ становить площу всієї еліптичної площини з доданою подвоєною площею SАВС даного трикутника АВС. У результаті одержуємо
.
Звідси випливає, що
SАВС = R2(A + B + C - ). (2.3)
Ця формула показує, що площа трикутника пропорційна його дефекту. Можна довести, що в геометрії Лобачевского площа трикутника АВС визначається по формулі, аналогічної (2.3),
SАВС = k2( - A - B - C ),
де k — радіус кривизни.
Окружність
Окружністю називається геометричне місце крапок М(х, в, z), що відстоять від даної крапки А(х1,в1,z1) на дану відстань r. Крапка A називається центром окружності, r - її радіусом.
До поняття окружності можна прийти іншим шляхом, відправляючись від пучків прямих і відповідних крапок на прямих даного пучка. Ці допоміжні поняття тут уводяться так само, як у геометрії Лобачевского. Сукупність прямих, що перетинаються в даній крапці A, називається пучком прямих першого роду. Крапка А називається центром пучка. Пучком прямих другого роду називаються прямі площини, перпендикулярні даній прямій а. Неважко переконатися, що ці пучки двоїсті один одному. Справді, поляра центра пучка прямих першого роду ортогональне перетинає всі прямі пучка й розглянута сукупність прямих є пучком прямих другого роду. Обернено, прямі пучка другого роду проходять через полюс осі пучка й становлять пучок прямих першого роду. Таким чином, усякий пучок прямих одночасно є пучком першого й другого роду. Припустимо, що крапки М и N лежать відповідно на прямих тиn даного пучка прямих. Ці крапки М, N називаються відповідними, якщо відрізок МN утворить рівні однобічні кути із прямими т и n. Найпростіша крива тут визначається так само, як у планіметрії Лобачевского. Ця крива по визначенню є множиною крапок, що відповідають крапці М на прямій т даного пучка. Отримана в такий спосіб найпростіша крива одночасно є окружністю радіуса r із центром у крапці А и еквидистантой з висотою r' = R/2 — r. Можна встановити, що окружність ортогональне розсікає прямі свого пучка.
З (2.1) треба, що рівняння окружності із центром у крапці А(х1,в1,z1) і радіусом r < R/2 приводиться до виду:
. (2.4)
Наявність подвійного знака пояснюється тим, що права частина позитивна, а вираження в дужках може мати значення різних знаків.
Помітимо, що множина крапок, віддалених від двох крапок A, В, складається із двох взаємно перпендикулярних прямих, що проходять через полюс прямій, певної даними крапками. Одна із цих прямих ділить навпіл один відрізок АВ, а інша - додатковий. Звідси випливає існування однієї й тільки однієї окружності, описаної біля заданого трикутника АВС. Зокрема, три крапки, що не належать прямій, визначають на еліптичній площині чотири трикутники. Таким чином, через три крапки А, В, З, що не лежать на одній прямій, можна провести чотири окружності, які на сферичній моделі визначаються наступними трійками крапок: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, де А', В', С' позначають крапки, діаметрально протилежні відповідно до крапок А, В, С.
Розглянемо коротенько властивості пар окружностей в еліптичній площині. У сферичній геометрії дві окружності, як і в евклідовій площині, можуть не перетинатися один з одним, стосуватися або перетинатися у двох крапках. В еліптичній геометрії властивості пара окружностей більше різноманітні. Щоб переконатися в цьому, припустимо, що еліптична площина інтерпретована у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені. У цьому випадку, окружність еліптичної площини представляється на такій сфері у вигляді двох окружностей, що лежать у паралельні й рівновіддалених від центра сфери площинах. Обернено, дві окружності, отримані від перетинання сфери симетричними щодо її центра площинами, зображують в еліптичній геометрії одну окружність. Зроблені зауваження дозволяють скласти уявлення про нові випадки взаємних положень двох окружностей у порівнянні зі сферичною або евклідовою планіметрією.
2.3 Геометрія Лобачевского в системі Вейля
Про псевдоевклідові планіметрії
а) В евклідовій площині, як відомо, формула квадрата відстані між двома крапками М(х1, х2) і N(в1, в2) у декартовой, прямокутній системі координат представляється у вигляді
d(M,N)2=(y1 - x1)2+(y2 - x2)2. (3.1)
Кут між векторами ОМ і ОN обчислюється зі співвідношення
. (3.2)
Перша формула по суті виражає теорему Піфагора для прямокутного трикутника з катетами, рівними абсолютним величинам і гіпотенузою МN. Друга ж формула представляє собою формулу косинуса різниці кутів, утворених відповідно ОМ і ON c координатним вектором .
Тепер змінимо формули (3.1) і (3.2) і будемо визначати відстань між зазначеними двома крапками й величини даних кутів по формулах відповідно
d(M,N)=(y1 - x1)2 - (y2 - x2)2 (3.3)
(3.4)
Колишні пари крапок тепер будуть мати інші відстані» а колишні кути - інші величини. Це по суті нова своєрідна двомірна геометрія.
Щоб підкреслити наявність іншої метрики й не плутати нові відстані й величини кутів зі старими, умовимося називати координатну площину (x1, x2) формулами (3.3), (3.4) псевдоевклідовою площиною.
б) Для більшої аналогії з евклідовою геометрією доцільно ввести новий скалярний добуток векторів як добуток їхніх довжин на косинус кута між ними. Ясно, що цей добуток векторів відрізняється від звичайного скалярного добутку тих же векторів, тому що довжини векторів (відстань між початкової його й кінцевої крапками) і косинус кута розуміється в змісті псевдоевклідової геометрії.
Не будемо далі перераховувати наслідків з формул (3.3), (3.4) і дамо аксіоматичне визначення псевдоевклідової геометрії. Робиться це в такий спосіб.
Замість аксіоми IV, 3 вейлевської аксіоматики, у якій говориться про те, що скалярний квадрат вектора ненегативний, уводиться інша аксіома IV, 3' про існування ненульових векторів першого, другого, і третього типів, скалярні квадрати яких відповідно позитивні, негативні й дорівнюють нулю.
Всі інші аксіоми Вейля зберігаються без зміни в псевдоевклідової геометрії. Звичайно, припускаємо, що аксіоми розмірності III відповідним чином погоджені. Якщо мова йде про площину, то в аксіомі III, 1 затверджується існування двох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 затверджується, що всякі три вектори лінійно залежні.
Сукупність крапок називається псевдоевклідовою площиною, якщо ці крапки і їхні впорядковані пари (вільні вектори) задовольняють аксіомам груп /--///, IV, 1, 2, 3', V. Очевидно, вектори псевдоевклідової площини задовольняють аксіомам /--///- IV - 1, 2, 3' і утворять двомірний псевдоевклідовий векторний простір.
У псевдоевклідової геометрії афінна частина повністю збігається з афінної частиною евклідової геометрії. Але в метричних питаннях геометрії ці значно відрізняються друг від друга, метрика простору по суті визначається аксіомами скалярного добутку векторів і серед них важливу роль грає саме аксіома IV, 3'.
в) Скалярний добуток двох векторів , у змісті псевдоевклідової геометрії будемо позначати символом П. Вектори , називаються перпендикулярними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
Як і раніше число П називається скалярним квадратом вектора ; корінь квадратний з П якого називається довжиною вектора й позначається через | |.Таким чином,
,
Ясно, що довжина вектора буде позитивної, чисто мнимий або нульовий, якщо відповідно скалярний квадрат П >0, П <0 або П =0. Вектори позитивної й чисто мнимої довжини називають також відповідно просторовими й тимчасовими.
Ненульові вектори, довжини яких дорівнюють нулю, називаються ізотропними.
Уведемо поняття прямокутної декартовой системи координат. Прямокутної декартовой системою координат або просто прямокутною системою координат псевдоевклідової площини називається така афінна система координат, вектори якої одиничні або взаємно перпендикулярні.
Отже, один з координатних векторів псевдоевклідової площини, наприклад, буде одиничним, а іншої – мнимо одиничним Таким чином, скалярний добуток координатних векторів прямокутної системи координат визначаються рівностями
. (3.5)
Очевидно, скалярний добуток двох векторів
і квадрат довжини вектора в прямокутній системі координат обчислюються по формулах виду
(3.6)
(3.7)
За відстань між двома крапками M(х1, х2) і N(y1, y2) визначенню приймається довжина вектора :
d(M,N)2=(y1 - x1) - (y2 - x2)2.
Величиною кута між векторами й називається число, певне по формулі
(3.8)
У правій частині (3.8) чисельник позитивний, а знаменник при неізотропних векторах , може бути позитивним і негативним.
Якщо вектори , однієї природи, тобто обидва множники в знаменнику одночасно просторові або тимчасові, те , якщо ж один з векторів просторовий, а інший тимчасовий, то .
Неважко далі довести, що чисельник в (3.8) не менше знаменника. Дійсно, якщо координати векторів і будуть відповідно (х1, х2) і (в1, в2) у деякій прямокутній системі координат, те
.
Отже, якщо вектори , одночасно будуть просторовими або тимчасовими, те
. (3.9)
Думаючи в цьому випадку , одержимо
. (3.10)
У псевдоевклідової площини існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора, якщо напрямний вектор буде просторова, тимчасова або ізотропним, те пряма називається відповідно до просторової, тимчасовий або ізотропної.
г) Перейдемо тепер до визначення поняття окружності.
Окружністю в псевдоевклідової площини називається множина її крапок, що відстоять від даної крапки, називаної центром на те саме відстань r; величина r називається радіусом окружності. Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі окружності, переконаємося, що координати поточної крапки (х1, х2) даної окружності задовольняють рівнянню
.
У цій геометрії існує три типи окружностей - окружності речовинного, чисто мнимого й нульового радіусів. На мал. 13 окружності нульового радіуса зображуються з погляду евклідової геометрії бісектрисами координатних кутів, окружності речовинного радіуса - гіперболами, що перетинають вісь Ох1 і окружність чисто мнимого радіуса - гіперболами, що перетинають вісь Ох2.
д) На закінчення розглянемо коротенько руху в псевдоевклідової площини. Рух визначається як перетворення, що відповідають крапки якого мають ті самі координати щодо вихідної й довільно заданої прямокутних систем координат. Як і в евклідовій геометрії доводиться, що рух є ізометрією й, обернено, усяка ізометрія є рухом. Ізометрія визначається як перетворення, що зберігає відстань між двома довільними крапками. Як і в геометрії евклідової площини, руху можна розділити
на власні рухи - руху з визначником = 1 і невласні - руху з визначником = - 1. Але тепер кожну із цих сукупностей у свою чергу можна розділити на дві сукупності. Щоб переконатися в цьому, відзначимо попередньо наступні два зауваження.
По-перше, ясно, що просторові, тимчасові й ізотропні вектори при рухах залишаються відповідно просторовими, тимчасовими й ізотропними.
По-друге, при безперервних обертаннях навколо даної крапки вектори ізотропного конуса відокремлюють у цій крапці тимчасові вектори від просторових.
Перейдемо тепер до подальшого поділу на частині рухів псевдоевклідової площини. Неважко бачити, що у формулах
(3.11)
визначальне обертання, величина не звертається в нуль. Справді, припустимо, що в (3.11) коефіцієнт рівняється нулю. У такому випадку просторовий вектор {1, 0} при обертанні (3.11), перейшов би у вектор {0, }, що є тимчасовим, що неможливо. Таким чином, при змінах координатних векторів , викликуваних безперервними обертаннями, коефіцієнт буде постійним.
Отже, всі рухи діляться на чотири типи залежно від значення визначника перетворення = 1 або = - 1 і знака > 0 або < 0.
Представниками цих чотирьох типів будуть, наприклад, руху з матрицями:
Псевдоевклідовий тривимірний простір
а) узагальнимо побудови псевдоевклідової площини на тривимірні простори. Аксіоми псевдоевклідового тривимірного простору збігаються з аксіомами Вейля псевдоевклідової площини, за винятком аксіом розмірності III. Тепер в аксіомі III-I мова йде про існування трьох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 - усякі чотири вектори лінійно залежні.
Скалярний добуток двох векторів , у псевдоевклідовом просторі будемо позначати, як і у випадку псевдоевклідової площини, символом . Вектори , - перпендикулярні, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
Число називається скалярним квадратом вектора. Довжиною вектора називається корінь квадратний зі скалярного квадрата цього вектора й позначається через :
.
Підкореневе вираження може бути >0, <0, і = 0. Довжини векторів відповідно до цим випадкам будуть речовинні, чисто мнимі й нульові. Вектори речовинної довжини називаються також просторовими, вектори чисто мнимої довжини - тимчасовими й вектори нульової довжини - ізотропними.
У псевдоевклідовом просторі вводиться прямокутна система координат. По визначенню так називається афінна система координат, вектори якої одиничні й взаємно перпендикулярні. Будемо розглядати так званий простір Минковського, у якому із трьох координатних векторів прямокутної системи координат два одиничні, а третій — мнимо одиничний. Будемо вважати, що
(3.12)
У цій системі координат скалярний добуток двох векторів і квадрат довжини вектора , мабуть, обчислюються по формулах виду
І квадрат довжини вектора , мабуть, обчислюються по формулах виду
, (3.13)
. (3.14)
За відстань між двома крапками М(x1, x2, x3) і N(y1, y2, y3) по визначенню приймається довжина вектора , тобто
. (3.15)
Величиною кута між векторами й називається число, певне по формулі
.
Якщо вектори , однієї природи, тобто обоє просторові або тимчасові, то . Більше того, , якщо для х, у виконується нерівність Коші й , якщо нерівність це не виконується. Думаючи в останньому випадку , одержимо .
б) У псевдоевклідовом просторі існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора. Тут існують також три види площин залежно від природи її нормального вектора.
в) Докладніше розглянемо питання про сфери. Сферою псевдоевклідова простору П3 називається множина крапок цього простору, що відстоять від даної крапки А, називаної центром сфери, на те саме відстань r. Величина r називається радіусом сфери.
Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі сфери, переконаємося в тім, що координати х1, х2, х3 поточні крапки сфери радіуса r задовольняють рівнянню
. (3.17')
Ясно, що перші два координатних вектори прямокутної системи тут передбачаються одиничними, а третій вектор - мнимо одиничним.
У псевдоевклідовом просторі існують три типи сфери речовинного, чисто мнимого й нульового радіуса.
Рівняння сфери речовинного радіуса r збігається (3.17'), у якому величина r речовинна. Якщо сфера чисто мнимого радіуса r = ki, де k речовинне, то рівняння (3.17') приводиться до виду
(3.17)
Якщо ж сфера буде нульового радіуса, то з (3.15) треба, що
. (3.18)
Рівняння (3.18) в евклідовому просторі є рівнянням конуса, а попередні два - рівняння гіперболоїдів.
Ясно, що конус (3,18) складається з асимптот сфер (3.17, 17'), що мають центр на Начало координат. Очевидно, асимптотичеський конус сфери збігається з ізотропним конусом її центра. З рівняння (3.15) треба також, що на сферах псевдоевклідова простори є прямолінійні утворюючі - прямі цілком лежачі на сфері.
Очевидно, лінією перетинання сфери із площиною є окружність. Якщо січна площина проходить через Начало Координат, то радіус окружності приймає значення, рівне радіусу сфери. Одержувані в такий спосіб окружності сфери називаються більшими окружностями.
За сферичну відстань між двома крапками М ( ), N ( ) сфери приймаємо відстань по великій окружності, що з'єднує дані крапки. Очевидно, ця відстань рівняється добутку радіуса сфери на значення кута, утвореного радіусами векторами , . Отже, сферична відстань визначається по формулі
. (3.19)
Якщо сфера чисто мнимого радіуса r = ki, то формула (3.19) приводиться до виду
.
Геометрія Лобачевского
Переконаємося тепер, що геометрія сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі є Двомірною геометрією Лобачевского. Обмежуючись лише однієї, наприклад, верхньої порожньої сфери, покажемо, що в множині її крапок і більших окружностей здійснюється планіметрія Лобачевского. Для простоти ці крапки можна спроектувати із центра сфери на дотичну до неї площина в крапці N. Криву перетинання дотичної площини з ізотропним конусом будемо називати абсолютом.
При проектуванні крапки півсфери перейдуть у внутрішні крапки кола, обмеженого абсолютом, а більші окружності - у хорди абсолюту. Очевидно, останні є лініями перетинання площин більших окружностей із внутрішністю абсолюту. Інцідентність крапок і прямих розуміється у звичайному змісті. Ясно, що в системі крапок внутрішності абсолюту і його хорд аксіоми 1,1 - 3 виконуються. Аналогічно аксіоми II порядку й IV безперервності переходять у щирі пропозиції геометрії дотичної площини. Що стосується аксіом III групи - аксіом конгруентності, те вони також переходять у щирі пропозиції тривимірної псевдоевклідової геометрії. При цьому вважаємо конгруентними ті відрізки (кути), яким на сфері чисто мнимого радіуса відповідають сфери дуги більших окружностей, що сполучаються при деяких, обертаннях (кути між більшими окружностями).
З'ясуємо тепер, яка виконується аксіома паралельності: V або V'.
Припустимо, що нам дана на верхній півсфері більша окружність і не лежача на ній крапка. У зв'язуванні прямих і площин, центр якого збігається із центром сфери, цієї великої окружності й крапці відповідають відповідно площина й пряма a зв'язування.
Очевидно, що через пряму а можна провести незліченну множину площин зв'язування, що розсікають півсферу по більших окружностях, що не перетинаються з даною великою окружністю. У такий спосіб у розглянутій моделі виконується аксіома паралельності Лобачевского. Інакше кажучи, площинна геометрія Лобачевского збігається з геометрією сфери чисто мнимого радіуса.
Ці міркування дозволяють прийняти наступне загальне визначення n-мірних неевклідових геометрій.
Неевклідовими геометріями n-вимірів називаються геометрії, які породжуються на n-мірних сферах, Sn речовинного або чисто мнимого радіуса в (n+1)-мірному евклідовому відповідно псевдоевклідовом просторі. Передбачається також» що діаметрально протилежні крапки цих сфер ототожнені, тобто такі пари крапок уважаються за одну крапку.
Із цього визначення треба, що при зростанні n число типів неевклідових просторів також росте. Неевклідові геометрії є геометриями найпростіших римановых просторів певної й невизначеної метрики, що становлять так званий клас просторів постійної ненульової кривизни. Кожне з таких n-мірних просторів допускає сукупність рухів, що залежить від n(n+1)/2 параметрів.
Очевидно, при n=2 одержимо еліптичну площину й площину Лобачевского. Геометрія, цих площин буде відповідно геометрією сфери Евклідова простору й геометрією сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі.
Наше найближче завдання — вивести основні формули сферичного трикутника (так називаються трикутник на сфері, утворений трьома дугами більших окружностей). Ці формули виражають основні математичні співвідношень у трикутниках геометрії Лобачевского.
а) СНачало доведемо так звану теорему косинусів. Припустимо, що нам даний сферичний трикутник з вершинами А( ), В ( ), З ( ), кутами A, В, С и протилежними сторонами відповідно а, b, с.
Очевидно, ці сторони пов'язані з радіус-векторами вершин сферичного трикутника наступними рівностями
(3.21)
Припустимо далі, що дотична площина до сфери в крапці З перетинає радіуси ОА й ОВ у крапках і . Ці числові множники , радіусів векторів крапок A1 і B1 визначаються зовсім просто, якщо врахувати ортогональність векторів , і , Дійсно,
.
Звідси на підставі (3.21) треба, що
. (3.22)
Повторюючи наведені міркування для іншої пари й ортогональних векторів, одержимо
. (3.23)
Знайдемо тепер скалярний добуток векторів і . З одного боку, маємо
,
Де
Отже, на підставі (3.22, 3.23) маємо
Тому
.
З іншого боку,
.
Застосовуючи потім (3.21), (3.22), (3.23), одержимо
(3.25)
Порівнюючи (3.24) і (3.25), містимо
Або
. (3.26)
Формула (3.26) не залежить від нашого припущення про крапки перетинання А1 і В1. Ця формула виражає теорему косинусів сферичного трикутника сфери чисто мнимого радіуса: косинус гіперболічної сторони сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів гіперболічних двох інших сторін без добутку синусів гіперболічних цих же сторін на косинус кута між ними.
б) Переходимо тепер до висновку теореми синусів. Обчислимо для цього квадрат відносини . На підставі (3.26), маємо
. (*)
Бачимо, що чисельник правої частини є симетричним вираженням щодо змінних а, b, с. Неважко переконатися, що такою ж симетричністю щодо цих змінних володіє й знаменник. Справді
(3.27)
Таким чином, квадрат шуканого відношення симетричний щодо сторін а, b, с. Це означає, що заміняючи позначення сторін а, b, з і кутів А, В, С у круговому порядку в (*) одержимо відносини , , рівні . Витягаючи із цих відносин квадратних корінь, одержимо формули
, (3.28)
теорему, що виражає, синусів сферичного трикутника в геометрії сфери чисто мнимого радіуса: синуси гіперболічних сторін сферичного трикутника ставляться як синуси протилежних кутів.
в) Помітимо, що формули (3.26) і (3.28) геометрії сфери чисто мнимого радіуса r = ki у псевдоевклідовому просторі можна одержати з відповідних формул сферичного трикутника в евклідовому просторі, заміняючи на , на , на .
Застосовуючи це правило, одержимо другу теорему косинусів для сферичного трикутника у випадку сфери мнимого радіуса:
(3.29)
Інакше, косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку синусів двох інших кутів на косинус гіперболічної сторони між цими кутами без добутку косинусів двох інших кутів.
Звідси треба, що якщо кути одного сферичного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого сферичного трикутника, те такі трикутники рівні.
Формули прямокутного трикутника
Припустимо, кут Із трикутника AВС є прямим. Застосовуючи теорему косинусів (3.26), одержимо
. (3.30)
Ця рівність виражає теорему Піфагора в геометрії Лобачевского: косинус гіперболічної гіпотенузи прямокутного трикутника рівняється добутку косинусів гіперболічних катетів. Застосовуючи формулу (3.28) будемо мати:
, (3.31)
. (3.32)
Отримані формули можна виписати за мнемонічним правилом, аналогічному правилу Непера в сферичній геометрії.
У цих формулах зв'язуються п'ять елементів прямокутного трикутника, які можна розглядати в циклічному порядку . Для кожного елемента попередній і наступний елементи називаються прилеглими, а інші два елементи - протилежними елементами. Мнемонічне правило формулюється в такий спосіб.
Косинус елемента прямокутного трикутника в геометрії Лобачевского рівняється добутку синусів протилежних елементів або добутку котангенсів прилеглих елементів.
Якщо під знаком функції входить кут, то функція розуміється в тригонометричному змісті. Якщо ж входить довжина, то вона ділиться на радіус кривизни і їхня функція розуміється в гіперболічному змісті. Нарешті, у випадку, коли під знаком функції коштує катет, функція міняється на суміжну: синус - на косинус, тангенс - на котангенс і навпаки.
Користуючись наведеним правилом, одержимо для кожного елемента відповідні вираження через прилеглі й протилежні елементи прямокутного трикутника:
(3.33)
Основна формула Лобачевского
Нехай дана на площині Лобачевского пряма a і крапка A, не інцідентна їй. Опустимо із крапки А перпендикуляр АВ на пряму а (мал. 19). Проведемо також через крапку А пряму АТ, паралельну прямій а в якому-небудь напрямку. Кут , як указували вище, називається кутом паралельності, а відрізку АВ. Для одержання основний формул Лобачевского, що зв'язує кут паралельності ВАО = П(p) з відрізком p=АВ, візьмемо на промені В яку-небудь крапку С. Для прямокутного трикутника AВС, маємо
Будемо видаляти тепер крапку З по промені нескінченно, прагне при цьому до 1 і в межі, одержимо
Звідси треба, що
Вставляючи в останню рівність
остаточно одержимо
Ця формула, що зв'язує кут паралельності П(р) з відповідним відрізком р, називається основною формулою Лобачевского. З її треба, що кут паралельності є монотонно убутною функцією. Якщо відрізок паралельності р прагне до нуля, то кут паралельності прагне до прямого кута, якщо ж р прагне до нескінченності, то кут П(р) прагнути до нуля.
Геометрія сфери простору Лобачевского
Візьмемо в тривимірному просторі Лобачевского сферу радіуса R із центром у деякій крапці О. На цій сфері індуцирується деяка сферична геометрія. сукупність, Що Виходить, пропозицій називається геометрією сфери в просторі Лобачевского. Розглянемо в цій геометрії прямокутний трикутник AВС, утворений з дуг АВ = з, АС = b, ВР = a більших кіл. Дуги більших кіл тут, як і в сферичній геометрії звичайного простору є найкоротшими для досить близьких крапок на сфері. Кути між більшими колами розуміються як лінійні кути двогранних кутів, утворених площинами більших кіл. Припустимо, що кут З даного трикутника прямої. Опустимо далі із крапки В перпендикуляри ВА1 і ВР1 на радіуси ОА й ОС відповідно. Застосовуючи відомі формули до прямокутного трикутника ОВС1 (мал. 20), одержимо
Аналогічно із трикутників ОВА1 і А1ВР1 треба, що
Крім із цих трьох співвідношень ВР1 і ВA1, одержимо формулу
співпадаючу з відповідною формулою для прямокутного сферичного трикутника в евклідовому просторі. Виведемо тепер теорему Піфагора для прямокутного трикутника ABС у геометрії сфери в просторі Лобачевского. Із трикутника ОВС1 маємо
Аналогічно із трикутників ОВА1 і OA1C1 відповідно треба, що
Крім із отриманих трьох рівностей відрізки ОС1 і OA1 виводимо
Ця формула збігається з відповідною формулою для прямокутного трикутника звичайної сферичної геометрії. Зазначеним способом можна переконатися, що в цілому геометрія сфери простору Лобачевского збігається з геометрією сфери Евклідова простору.
Про геометрію Лобачевского в малому
Припустимо тепер, що в трикутнику лінійні розміри a, b, c малі в порівнянні з радіусом кривизни k простору. Це припущення свідомо виконується для трикутників з малими лінійними розмірами або в просторі досить малої кривизни 1/k2. Розкладаючи в статечні ряди гіперболічні функції у формулі (3.26), що виражає теорему косинусів у геометрії Лобачевского, одержимо
З огляду на тут члени до другого порядку малості включно, будемо мати
a2 = b2 + c2 – 2 bc cosA.
Ця залежність між елементами трикутника виражає теорему косинусів в евклідовій геометрії. У випадку прямокутного трикутника cosA=0; отже,
a2 = b2 + c2
т. е. справедлива теорема Пифагора. Далі при наших припущеннях синуси гіперболічні у формулі (3.28) у першому наближенні пропорційні аргументам, тому
т. е. сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Останні три рівності дозволяють затверджувати, що формули геометрії Лобачевского для фігур з малими лінійними розмірами збігаються з відповідними формулами евклідової геометрії.
2.4 Різні моделі площини Лобачевского. Незалежність 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта
У попередньому параграфі познайомилися з основними формулами двомірної геометрії Лобачевского, які в той же час були формулами геометрії сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі.
Ця сфера, по суті, є одна з можливих моделей площини Лобачевского. Інша модель - модель Бельтрами-Клейна. Вона вийшла з першої моделі шляхом центрального проектування крапок сфери на яку-небудь її дотичну площину. Остання, мабуть, буде евклідовою площиною.
Площина Лобачевского в моделі Бельтрами-Клейна зображується у вигляді внутрішності кола, причому прямі зображуються хордами. Пересічні прямі зображуються пересічними хордами. Якщо загальна крапка буде прагнути по одній із прямих до нескінченності, то паралельні прямі будуть зображуватися хордами, загальна крапка яких належить абсолюту (обмежуючої внутрішність кола окружності). Нарешті, зверхпаралельні прямі в розглянутій моделі зображуються хордами, які, будучи продовжені, перетнуться в крапці, що належить зовнішньої області абсолюту.
Неважко переконатися, що пучок прямих першого роду при Даному відображенні переходить у сукупність хорд, що перетинаються в загальній крапці, що належить внутрішності абсолюту. Пучок прямих другого роду, тобто прямих, паралельних один одному в даному напрямку, переходить у сукупність хорд, що перетинаються в деякій крапці абсолюту. Нарешті, пучок прямих третього роду відображається в сукупність хорд, що перетинаються в деякій крапці поза абсолютом. Крапки абсолюту називаються нескінченно вилученими крапками й крапки поза абсолютом - ідеальними крапками площини Лобачевского. Тому пучки прямих другого й третього родів називаються іноді пучками з нескінченно вилученими або відповідно ідеальними центрами.
Неважко переконатися також, що вісь пучка прямих третього роду є полярою полюса - свого ідеального центра. Справді, допустимо, що вісь пучка не є полярою ідеального центра. Припустимо, наприклад, що вона не проходить через крапку перетинання поляри крапки Р с абсолютом. Тоді на площині Лобачевского буде існувати пряма СС1 одночасно перпендикулярна й паралельна до прямій СВ, що неможливо.
Переносячи по відображенню у внутрішність абсолюту основні поняття відображуваної площини Лобачевского, у підсумку одержимо так звану модель Бельтрами-Клейна.
Ясно, що до моделі Бельтрами-Клейна можна прийти безпосередньою перевіркою аксіом Гильберта I-IV і аксіоми паралельності Лобачевского в множині крапок внутрішності кола і його хорд, уводячи між ними відповідним чином основні відносини. Крапками й прямими в цій моделі є внутрішні крапки абсолюту і його хорди без кінців. „інцідентність" крапок і прямих, а також „между" для трьох крапок, що належать одній прямій, розуміються у звичайному змісті. Два відрізки (кута) уважаються конгруентними, якщо вони будуть відповідними при деякому взаємно однозначному крапковому відображенні розширеної (за рахунок додавання невласної прямої) евклідової площини, при якому абсолют залишається незмінними „прямі" переходять в „прямі".
У моделі Бельтрами-Клейна довжини й кути спотворюються, якщо малюнки 23, 24 розуміти в евклідовому змісті.
У розглянутій моделі через крапку А, дану поза прямій а, можна провести прямі, які перетинають пряму а; прямі АU, АV, паралельні а й, нарешті, прямі b – зверх паралельні, що розташовуються у внутрішності заштрихованих вертикальних кутів. У цій моделі виконуються всі аксіоми Гильберта, у тому числі й аксіома Лобачевского. Відстань d(А, В) між двома крапками A, У в моделі Бельтрами-Клейна виражаються за допомогою проективних понять. Якщо хорда АВ перетинає абсолют у крапках М, N, то
де (ABMN) позначає подвійне відношення зазначених чотирьох крапок (АМ: ВМ): (АN: BN). У самому діді, припустимо, що
(4.1)
є рівнянням абсолюту в однорідних координатах. Крім того, за умовою нам дані крапки А(аi) і В(bi). Становлячи рівняння прямій АВ, одержимо
(4.2)
Щоб знайти крапки перетинання М, N, прямій АВ з абсолютом, вирішимо спільно систему рівнянь (4.1) і (4.2) щодо невідомих . Вставляючи з рівності (4.2) у рівняння (4.1), одержимо
. (4.3)
Розгортаючи більш докладно ліву частину (4.3), будемо мати
.
Тому що крапка А (аi) не належить абсолюту, тобто , те вирішуючи квадратне рівняння
знайдемо наступних значень відносини , для шуканих крапок:
З іншого боку, як відомо, подвійне відношення чотирьох крапок А, B, М, N дорівнює подвійному відношенню, складеному з відповідних значень параметра , тому
Але ця рівність можна переписати у вигляді
(4.4)
Вставляючи в праву частину (4.4) знайдені вираження , і з огляду на (3.21), одержимо
Тому що по визначенню
те попередня рівність можна переписати так:
Логарифмуючи цю рівність, маємо остаточно
(4.5)
Ця формула показує, що відстань між двома крапками А и В рівняється з точністю до множника подвійному відношенню даних крапок А, У и крапок М, N перетинання прямій АВ з абсолютом.
Кут між двома променями а, b, що виходять із крапки З, також виражається через проективні поняття комплексної геометрії, Нехай т, n позначають дотичні до абсолюту, що проходять через крапку С. Помітимо, що прямі m, n необхідно комплексно сполучені. Аналогічно попередній формулі маємо
Модель Бельтрами-Клейна примітна тим, що прямі площини Лобачевского в ній зображуються у вигляді відкритих відрізків прямих евклідової площини. Вона здійснює геодезичне відображення площини Лобачевского на внутрішність кола евклідової площини.
Перш ніж перейти до інших моделей площини Лобачевского потрібно зробити наступні два важливих зауваження. По-перше, до моделі Бельтрами-Клейна можна прийти на основі відображення площини Лобачевского на граничну поверхню, на якій здійснюється Евклідова геометрія. Тому аксіоми геометрії Лобачевского тут виконуються автоматично по відображенню. Але наведене тут опис по відображенню основних понять дозволяє у свою чергу прийти до цієї моделі самостійним образом, на основі доказу выполнимости послідовно кожної аксіоми I - IV, V.
По-друге, до цієї ж моделі Бельтрами-Клейна можна прийти, мабуть, проектуванням у просторі Минковского сфери чисто мнимого радіуса з її центра на дотичну до неї площина, наприклад, у північному полюсі.
Припустимо тепер, що абсолют із центром Про модель Бельтрами-Клейна є більшим колом сфери. Ортогональне проектування внутрішності абсолюту на одну з отриманих півсфер дозволяє одержати нову модель площини Лобачевского на півсфері. Потім стереографическое проектування цієї півсфери на вихідну площину з полюса S, розташованого в іншій півсфері, де відрізок OS перпендикулярний площини абсолюту, приводить до моделі Пуанкаре усередині кола. Отже, у колишньому абсолюті прямими тепер є дуги окружностей, що ортогональне перетинають абсолют і діаметри абсолюту. Відносини інцидентності, лежати між і конгруентності кутів мають звичайний сенс. Поняття конгруентності відрізків також відповідним чином переноситься з моделі Бельтрами-Клейна.
Застосовуючи потім дрібно-лінійне відображення комплексного змінного до внутрішньої області абсолюту, одержимо відому модель Пуанкаре на напівплощині. У цій моделі «крапками» є крапки верхньої напівплощини, «прямими» - півкола із центром на граничній прямій - абсолюті. До «прямих» зараховуються також, напівпрямі верхньої напівплощини, перпендикулярні до абсолютної прямої. Відносини інцідентності й лежати між розуміємо у звичайному змісті. Конгруентність кутів у цій моделі збігається з евклідової конгруентностью. Модель Пуанкаре представляє собою конформне відображення площини Лобачевского на Евклідову напівплощина.
Що стосується поняття конгруентності відрізків, то воно визначається через рухи або відстань між двома крапками А и В, причому поняття відстані між крапками в останньому випадку не припускає виміру відрізків. По визначенню воно означає число.
(*)
якщо крапки A, У лежать на півкола або число
(**)
якщо крапки лежать на напівпрямій, перпендикулярній граничній прямій XX. У цих формулах кути , і ординати в1 , в2 мають звичайний сенс, ясний з малюнка 29,буд.
Очевидно, завжди можемо припускати, що позначення кутів символами , і ординат в1, в2 для даних крапок A, У здійснено так, що праві частини в (*), (**) позитивні. Тепер неважко визначається конгруентність відрізків. Відрізки АВ і СD конгруентні, якщо відстань між кінцями A, В одного відрізка дорівнює відстані між кінцями З, D іншого відрізка.
Підкреслимо ще раз, що до моделі Пуанкаре на напівплощині ми прийшли в результаті відображення першої моделі Пуанкаре у внутрішності кола. Тому аксіоми Гильберта геометрії Лобачевского виконуються автоматично по відображенню.
Опису основних образів, що приводяться тут, і відносин інцидентності, лежати між, конгруентності відрізків і кутів дозволяють прийти до цієї моделі Пуанкаре на напівплощині самостійним образом, шляхом доказу кожної аксіоми гильбертовської аксіоматики.
На закінчення зупинимося на питанні незалежності 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта. Відповідно до загальної установки, викладеної в главі 1, досить побудувати яку-небудь модель, на якій би виконувалися всі аксіоми Гильберта I - V за винятком аксіоми паралельності V. Аксіома ця, еквівалентна щодо аксіом I - IV твердженню 5-го постулату, полягає в наступному. Через крапку А, не приналежній прямій а, можна провести в площині, обумовленою цією крапкою А и прямій а, не більше одній прямій, що не перетинається з даній прямій a.
Очевидно, будь-яка модель геометрії Лобачевского, наприклад, Бельтрами-Клейна дозволяє довести незалежність аксіоми паралельності від попередніх аксіом I - IV. Дійсно, на цій моделі виконуються всі 19 аксіом I - IV, а аксіома V не виконується. Звідси містимо, що за допомогою аксіом I - IV, Гильберта неможливо довести аксіому паралельності V. Інакше кажучи, 5-й постулат Евкліда не можна вивести як теорему з попередніх аксіом I - IV.
Висновок
Відкриття неевклідової геометрії, Начало якому поклав Лобачевский, не тільки зіграло величезну роль у розвитку нових ідей і методів у математиці природознавства, але має й філософське значення. Панування до Лобачевского думки про непорушність геометрії Евкліда значною мірою ґрунтувалося на навчанні відомого німецького філософа І. Канта (1724-1804), родоначальника німецького класичного ідеалізму. Кант затверджував, що людина впорядковує явища реального миру відповідно до апріорних уявлень, а геометричні подання й ідеї нібито апріорні (латинське слово aprior означає - споконвічно, заздалегідь), тобто, не відбивають явищ дійсного миру, не залежать від практики, від досвіду, а є вродженими людському миру, раз і назавжди зафіксованому, властивими людському розуму, його духу. Тому, Кант уважав, що Евклідова геометрія непохитна, незмінна, і є вічною істиною. Ще до Канта геометрія Евкліда вважалася непорушної, як єдино можливе вчення про реальний простір.
Відкриття неевклідової геометрії довело, що не можна абсолютувати уявлення про простір, що «уживана» (як назвав Лобачевский геометрію Евкліда) геометрія не є єдино можливою, однак це не підірвало непорушність геометрії Евкліда. Отже, в основі геометрії Евкліда лежать не апріорному, уроджені розуму поняття й аксіоми, а такі поняття, які пов'язані з діяльністю людини, з людською практикою. Тільки практика може вирішити питання про те, яка геометрія вірніше викладає властивості фізичного простору. Відкриття неевклідової геометрії дало вирішальний поштовх грандіозному розвитку науки, сприяло й понині сприяє більше глибокому розумінню матеріального світу.
Список літератури
1. Глейзер Г.І. Історія математики в школі IX - X класи. – К., 2004
2. Даан Дальмедино А., Пейффер І. Шляхи й лабіринти. Нариси по історії математики. – К., 2003
3. Егоров І.П. Лекції по аксіоматиці Вейля й неевклідовим геометріям. – К., 2003
4. Егоров І. П. Основи геометрії. – К., 2003
5. Клайн М., Математика. Втрата визначеності. – К., 2004
6. Лаптєв Б.Л. М.І. Лобачевский і його геометрія. – К., 2006
7. Неевклідові простори й нові проблеми фізики. – К., 2003
8. Розенфельд Б.А. Неевклідові простори. – К., 2005
9. Широков П.А. Короткий нарис основ геометрії Лобачевского. – К., 1999.
10. Яглам І.М. Принцип відносності Галілея й неевклідова геометрія. – К., 2000
Евклідова і неевклідова геометрії
0>0>