86349 (Похідна Фреше та похідна Гато), страница 3

, якщо

Лінійність:

Обмеженість:

Остаточно маємо .

13. Задано відображення . Довести, що .

Доведення

Розглянемо для

Остаточно маємо .

14. Задано відображення . Довести, що .

Доведення

Розглянемо для

Остаточно маємо .

15. Знайти похідну Фреше відображення .

Розв’язок

,

причому

.

Лінійність:

, , тобто , ,

Обмеженість:

.

Остаточно знаходимо, .

16. Довести, що необхідною і достатньою умовою диференційовності за Фреше відображення в точці x є диференційовність ( в звичайно-му сенсі) функції багатьох змінних в точці .

Доведення

Необхідність. Нехай відображення диференційовне за Фреше в точці x: .

Функція в точці називається диференційовною, якщо

,(*)

де .

Приведемо до вигляду (*):

,

,

Виберемо , тоді

Виберемо , тоді знаходимо

, і т.д.

Виберемо , тоді

і

,

, .

Достатність. Нехай відображення диференційовне в звичайному сенсі: . Перевіримо лінійність та обмеженість по h. Адитивність та однорідність для скалярного добутку вірні, тому лінійність є.

Обмеженість:

, де

Остаточно знаходимо .

Розглянемо два приклади

1. ,

тоді

, .

2. , тоді

17. Знайти похідну Фреше відображення в точці :

Розв’язок.

; ;

;

18. Нехай і , де – стандартний базис в . Знайти похідну Гато .

Розв’язок

Якщо , то відображає в . Дійсно, позначимо , ряд збігається, тоді збігається й ряд , так що для довільного .

Обираємо за напрямок одиничного вектора орт і знаходимо

Тоді

Похідна існує і дорівнює

.

19. Якщо відображення диференційовне за Фреше, то воно диференційовне за Гато. Обернене твердження в загальному випадку невірне. Наприклад, в просторі розглянемо функцію

Дослідимо функцію на неперервність в точці (0,0):

Якщо , то і . Тобто неперервна в точці (0,0).

Розглянемо

Тобто, відображення диференційовне за Гато.

Розглянемо

– функція двох змінних, покладемо , нехай і розглянемо

,

тобто відображення не диференційне за Фреше.

20. Якщо диференціал Гато є обмеженим функціоналом, то він називається градієнтом функціонала і позначається .

Нехай Н – дійсний гільбертів простір, . Обчислити .

Розв’язок

За теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що

.

21. Нехай Н – дійсний гільбертів простір, . Обчислити .

Розв’язок

За теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що

.

22. Нехай Е – нормований простір. норма диференційовна за Гато. Розглянемо функціонал . Обчислити норму функціонала .

Розв’язок

З одного боку , з іншого боку – . Отже, , тобто .

Розглянемо

.

Переходячи до , нерівність зберігається:

, , отже .

23. Довести, що градієнт норми є непарним оператором, тобто довести співвідношення: .

Доведення

Нехай . Розглянемо

24. Нехай , де неперервна за обома аргументами і неперервно диференційовна за другим аргументом, а – неперервна функція. Знайти похідну Фреше в точці .

Розв’язок

,

Відповідь:

.

25. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках:

1)

Згідно з задачею 24 , тоді

, , .

2)

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

3)

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

4)

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

5)

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

6)

Згідно з задачею 24 , тоді

, ,

26. Нехай , де неперервна за всіма аргументами і двічі неперервно диференційовна за третім аргументом. Знайти похідну Фреше в точці .

Розв’язок

, ,

Відповідь:

.

27. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках, користуючись задачею 26.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

28. Нехай , де неперервна за всіма аргументами і неперервно диференційовна за другим та третім аргументами. Знайти похідну Фреше в точці .

Розв’язок

,

Відповідь:

29. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках, користуючись задачею 28.

1)

,

2)

,

3)

,

4)

,

30. Нехай , де – неперервна за всіма аргументами й неперервно диференційовна за всіма аргументами, починаючи з другого. Знайти похідну Фреше функціонала , де – нормований простір неперервно диференційовних на n-вимірних вектор функцій з нормою

, де

Розв’язок

,

31. Нехай на нормованому просторі задані функціоналів, диференційовних за Фреше в деякій точці . Нехай , тобто . Знайти похідну Фреше відображення в точці , якщо .

Розв’язок

,

32. Нехай задано відображення . Знайти похідну Фреше.

Розв’язок

Покажемо, що

Відповідь:

.

33. Нехай задано відображення . Знайти похідну Фреше

Розв’язок

Відповідь:

.

34. Нехай задано відображення . Знайти похідну Фреше

Розв’язок

Позначимо

,

тоді

,

Розглянемо

,

тоді

Відповідь:

.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.

3. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа, пер. с франц., М., 1967.

4. Березанский Ю.М., Ус, Шефтель Функциональный анализ