79

Міністерство науки і освіти України

Дніпропетровський національний університет

Факультет механіко-математичний

Кафедра математичного аналізу

БАКАЛАВРСЬКА ДИПЛОМНА РОБОТА

“Похідна Фреше та похідна Гато”

Виконавець:Керівник роботи:

студентка 4 курсу доцент

Дніпропетровськ

200_

РЕФЕРАТ

Випускна робота: 40 с., 4 джерела

Об’єктом дослідження є похідні Фреше та Гато.

Мета роботи – дослідити похідні Фреше та Гато у різних просторах.

Методи дослідження – методи функціонального аналізу.

Результати досліджень можуть бути застосовані при вивченні спеціальних курсів.

Ключові слова: ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЬ, ПОХІДНІ ФРЕШЕ ТА ГАТО, ЛІНІЙНИЙ НОРМОВАНИЙ ПРОСТІР.

RESUME

The graduation research of the fourth year student Lisnyak Ludmila (DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematical Analysis) deals with Freshe’s and Gato’s derivatives. The work is interesting for student and post- graduate student.

Bibliog. 4

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ТА ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЛІНІЙНИХ НОРМОВАНИХ ПРОСТОРАХ

1.1 Диференціал та похідна Фреше

1.2 Основні теореми

1.3 Похідна Гато

1.3.1 Основні теореми

1.3.2 Похідні по підпростору

РОЗДІЛ 2. ПОХІДНІ ФРЕШЕ ТА ГАТО В ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ

Список використаних джерел

ВСТУП

Деякі задачі, які виникають в функціональному аналізі, носять суттєво нелінійний характер, вони приводять до необхідності розвивати поряд з “лінійним” і “нелінійний” функціональний аналіз, а саме вивчати нелінійні функціонали й нелінійні оператори в нескінченновимірних просторах. До нелінійного функціонального аналізу відноситься така класична область математики як варіаційне числення, підвалини якого буди закладені ще в XVII-XVIII століттях в роботах Я. Бернуллі, Л. Ейлера, Ж. Лагранжа. Але в цілому нелінійний функціональний аналіз являє собою нову область математики, поки ще далеку від свого завершення. В роботі викладено деякі початкові поняття, які відносяться до нелінійного функціонального аналізу, а саме до теорії диференціювання, і деякі застосування цих понять.

Визначення похідної Фреше, яке нині загальноприйняте, вперше з’явилось в лекціях К. Вейерштраса (1861). В кінці 19 століття це визначення почало входити до підручників. Але до моменту, коли М. Фреше почав розробку нескінченновимірного аналізу, класичне нині визначення диференціала було настільки не загальноприйнятим, що й сам Фреше вважав, що визначений ним диференціал на нескінченновимірному просторі є новим поняттям і в скінчено вимірному випадку. Тепер термін вживається тільки при розгляді нескінченновимірних відображень.

Визначення варіації Гато було введено в 1913-14 роках Р. Гато (R.Gateaux). Для функціоналів класичного варіаційного числення це визначення було дано Ж. Лагранжем.

Нехай – сукупність усіх відображень з в ( – лінійні топологічні простори), і – деяка топологія в . В залежності від вибору в можна отримати різні визначення похідних. Якщо обираємо – топологію поточкової збіжності, то отримаємо диференційовність по Гато. Якщо банахові простори, а топологія в є топологією рівномірної збіжності на обмежених множинах в , то приходимо до диференційовності по Фреше.

РОЗДІЛ 1

ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ТА ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЛІНІЙНИХ НОРМОВАНИХ ПРОСТОРАХ

В розділі 1 ми розглянемо різні означення похідної відображення лінійних нормованих просторів та деякі їх застосування.

1.1 Диференціал та похідна Фреше

Нехай X та Y – лінійні нормовані простори, G – відкрита множина простору X. Відображення (функція, оператор) називається диференційовним за Фреше в точці , якщо існує неперервний лінійний оператор , такий, що для будь-якого , яке задовольняє умові ,

,

де , якщо в смислі збіжності за нормою в просторі Y.

Головна частина , яка лінійно залежить від , приріст називається диференціалом Фреше відображення f в точці x та позначається , а вираз називається остачею приросту.

Таким чином, та приріст оператора записується у вигляді

,

де

Лінійний оператор називається похідною Фреше відображення в точці та позначається . Тобто, .

Відображення, диференційовне в кожній точці множини G називається диференційовним на G.

Доведемо, що похідна диференційованого відображення визначається однозначно. Нехай – інший неперервний лінійний оператор такий, що

,

якщо . Тоді

,

якщо . Покладемо , де – довільний ненульовий елемент простору X. Якщо , то і ми знаходимо

.

В силу лінійності та це означає, що

,

тобто . Оскільки оператори та в нулі дорівнюють нулю, то при будь-яких . Однозначність визначення похідної доведено.

Приклад 1. Нехай відображення , де і відкрито.

Тоді наведені вище означення диференційовності відображення і похідної співпадають з означеннями диференційовності та похідної векторної функції векторного аргументу. В цьому випадку є лінійним оператором, який визначається матрицею , де – координатні функції відображення .

Приклад 2. Нехай – гільбертов простір, і . Нехай спочатку . Тоді

(1)

Оскільки , то

, (2)

де при . Із рівностей (1) та (2) випливає, що

,

де – лінійний по функціонал і

.

Оскільки , то при . Таким чином, диференційовна в будь-якій ненульовій точці простору і

.

Нехай тепер . Тоді . Покажемо, що не існує елемента такого, що при всіх достатньо малих

, (3)

де при . Якщо б це було так, то також

, або , (4)

де при . Але тоді з рівностей (3) та (4) випливає при , що неможливо.

Таким чином, відображення не диференційовне за Фреше в точці .

Приклад 3. Нехай і , де ядро неперервне в квадраті , – функція двох змінних, визначена в полосі і неперервна в цій області. Тоді – функція, визначена на і яка приймає значення в цьому ж просторі.

Припустимо, що функція не тільки неперервна, але й має частинну похідну , рівномірно неперервну в полосі .

Тоді – диференційовна функція. А саме, для довільної функції маємо

За теоремою Лагранжа,

,

де

. Далі, маємо

.

При , тобто при рівномірно на , також рівномірно на , оскільки функція, неперервна в замкненій обмеженій області , рівномірно неперервна в цій області. Тому

,

де

і .

При цьому

і тому при .

Таким чином, диференційовна за Фреше і

.

Приклад 4. Якщо і границя існує, то диференційовне в точці і . Дійсно, в цьому випадку , де при , і диференційованість очевидна.

Множина відображень, визначених в околі точки , які приймають значення в просторі Y та диференційовних в точці , є лінійною системою , а також оператор диференціювання є лінійним, тобто

,

або, інакше,

.

Далі, з рівності

випливає, що функція , диференційовна в точці , неперервна в цій точці.

Обернене твердження не вірне (приклад 2).

Якщо – лінійний неперервний оператор, що діє з X в Y, то для будь-якого маємо . Дійсно, тоді при всіх

,

звідки й випливає наведене твердження.

Слід зазначити, що відображення та , які мають область визначення в одному і тому просторі, діють в різні простори, а саме , а . Якщо диференційовне всюди на G, то , .

1.2 Основні теореми

Теорема 1 (про диференційовність композиції відображень). Нехай – лінійні нормовані простори й задані відображення , де , – відкрита множина; , де , – відкрита множина. Якщо множина не порожня , відображення диференційовне в точці , а диференційовне в точці , то складне відображення диференційовне в точці і

.

Доведення. Насамперед, якщо достатньо мале, то в силу відкритості множин та й неперервності відображень і відповідно в точках та , точки і не вийдуть за границі множин та . Далі маємо

.

Оскільки диференційовне в точці , то

,

де , якщо . В свою чергу,

де , якщо . Тому

Вираз є лінійним оператором по , і залишається довести, що , якщо .

Маємо

.

Перший доданок справа прямує до нуля, оскільки , якщо . Прямування до нуля другого доданка можна довести так. Оскільки диференційовне в точці , то , якщо . Тому для будь-якого знайдеться , таке, що , якщо . В свою чергу, в силу неперервності в точці для даного знайдеться таке, що , якщо . Далі, оскільки диференційовне в точці , то знайдеться таке, що , якщо . Нехай . При маємо

,

і оскільки довільне, то це означає, що , якщо .

Теорему доведено.

Приклад 5. Розглянемо відображення , диференційоване на відкритій множині , і точки такі, що . Тоді функція , визначена рівністю

,

диференційовна на і .

Приклад 6. Нехай відображення диференційоване на і – лінійний неперервний оператор. Тоді – відображення, диференційовне на , і .